Ларин егэ 367

Задание 1

Решите уравнение $$(x^2-9)(sqrt{3-2x}-x)=0.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Ответ: 1

Скрыть

ОДЗ:

$$​0leq xleqfrac{3}{2}$$​

​$$x^2=3$$​

$$​x=3$$ — не подходит под ОДЗ

$$​x=−3$$​ – не подходит под ОДЗ

$$sqrt{3-2x}=x​$$

$$x^2+2x−3=0$$​ (возвели в квадрат)

$$​x=1$$​ – подходит

$$​x=−3$$ ​– не подходит под ОДЗ

Задание 2

В группе шесть человек, среди них — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найти вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

Ответ: 0,2

Скрыть

Пусть Михаил попадет в какую-то из групп (неважно в какую), тогда для Олега останется только 1 место в этой группе, а всего мест 5 (т.к Михаил свое занял)

$$​P(A)=frac{1}{5}=0,2$$

Задание 3

Ответ: 0,6

Скрыть

Треугольник ​AOD​ – прямоугольный, ​OF​ – высота в прямоугольном треугольнике, значит

​$$OF^2=AFcdot FD=4xcdot x=4x^2$$​

​$$OF=2x​$$

​$$AO=sqrt{16x^2+4x^2}=2sqrt{5}x$$​

$$cosalpha=frac{4x}{2sqrt{5}x}=frac{2}{sqrt{5}}$$​

​$$cos2alpha=2cos^2alpha-1=0,6$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{5sin98^{circ}}{sin49^{circ}cdotsin41^{circ}}$$

Ответ: 10

Скрыть

$$frac{5cdot2sin49^{circ}cos49^{circ}}{sin49^{circ}cdotsin41^{circ}}=frac{10cos(90^{circ}-41^{circ})}{sin41^{circ}}=10$$

Задание 5

Ответ: 17

Скрыть

Из рисунка:

$$​C_3M=2​$$

$$​NM=3​$$

​$$AN=2​$$

​$$AM^2=9+4=13​$$

$$​AC_3^2=4+13=17$$

Задание 6

Ответ: 4

Скрыть

По геометрическому смыслу производной $$​f'(x_0)=tgalpha$$​

Видно, что в точках ​$$x=−2;4$$​ функция убывает, значит $$​f'(x=−2;4)<0​.$$

Из рисунка видно, что в точке $$x=4$$ тангенс угла больше чем в точке $$x=-2,$$ значит, значение будет наименьшим именно в точке $$x=4.$$

Задание 7

Ответ: 50

Скрыть

Нужно решить неравенство

$$​2cdotcos(240^{circ}t−120^{circ})geq1$$​

$$cos(240^{circ}t-120^{circ})geq0,5$$

$$-frac{pi}{3}+2pi nleq240^{circ}t-120^{circ}leqfrac{pi}{3}+2pi n$$

$$​-60^{circ}+360^{circ}nleq240^{circ}t-120^{circ}leq60^{circ}+360n$$​

$$​60^{circ}+360^{circ}nleq240^{circ}tleq180^{circ}+360^{circ}n​$$

​$$frac{1}{4}+1,5nleq tleqfrac{3}{4}+1,5n​$$

​$$n=0​$$

$$frac{1}{4}leq tleqfrac{3}{4}$$​

Значит на протяжении первой секунды лампа будет гореть ​$$frac{3}{4}-frac{1}{4}=0,5$$​ или $$50%$$

Задание 8

Из пункта А в пункт В вышел грибник, через час из А в В вышел турист, скорость которого на 25% больше скорости грибника, а еще через час после этого из А в В вышел спортсмен, скорость которого на 60% больше скорости туриста. Грибник и турист прибыли в пункт В одновременно. На сколько минут раньше прибыл в пункт В спортсмен?

Ответ: 30

Скрыть

Пусть ​$$x$$​ – скорость грибника, тогда

$$​1,25x​$$ – скорость туриста

$$​1,25cdot1,6x=2x$$​ – скорость спортсмена

​$$S=xt_1​$$

$$​S=1,25xt_2​$$

$$​t_1−t_2=1​$$

$$frac{S}{x}=5=t_1$$​ – это и есть время $$t_1$$ (за сколько дошел грибник до B)

Значит, $$t_2=t_1−1=4​$$

$$​S=2xcdot t_3$$​

$$t_3=frac{S}{2x}=frac{5}{2}=2,5$$​

Но так как спортсмен вышел через два часа, то ​$$dt_3=2,5-2=0,5​$$ часа или $$30$$ минут

Задание 9

Ответ: 15

Скрыть

Угловой коэффициент прямой легко найти через тангенс $$tgalpha=k=0,5$$​

$$​b=−3​$$

$$5cdot acdotsqrt{4},$$ откуда $$​a=2,5​$$

Теперь найдем точки пересечения:

$$​2,5sqrt{x}=0,5x-3$$​ – решаем уравнение

$$​x=36​$$

$$​f(36)=15$$

Задание 10

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?

Ответ: 0,125

Скрыть

Так как всего в турнире 16 игроков и каждая команда из 2 человек, тогда в каждом туре участвуют:

1) 16 человек

2) 8 человек

3) 4 человека

4) 2 человека

Тогда благоприятные события:

$$A_1$$ –  они попадутся в 1-ом туре ​$$P(A_1)=frac{1}{15}$$​

$$A_2$$ –  не играли в 1-ом туре, но попались во втором, т.е. оба матча в 1-ом туре они выиграли ​

$$P(A_2)=frac{14}{15}cdot0,5cdot0,5cdotfrac{1}{7}=frac{1}{30}$$​

$$A_3$$ –  не играли в 1-ом туре и во 2-ом туре, но попались в 3-ем туре, т.е. они выиграли предыдущие два тура

$$​P(A_3)=frac{14}{15}cdot0,5cdot0,5cdotfrac{6}{7}cdot0,5cdot0,5cdotfrac{1}{3}=frac{1}{60}$$​

$$A_4$$ – встретились в 4-ом туре, выиграли предыдущие 3 тура

$$​P(A_4)=frac{14}{15}cdot0,5cdot0,5cdotfrac{6}{7}cdot0,5cdot0,5cdotfrac{2}{3}cdot0,5cdot0,5cdot1=frac{1}{120}$$​

$$​P_{иск}(A_1+A_2+A_3+A_4)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)=0,125$$

Задание 11

Найти наибольшее значение функции $$y=frac{2}{sqrt{x^2+2x+5}}$$ на промежутке $$[-2;2].$$

Ответ: 1

Скрыть

$$y=frac{2}{sqrt{(x+1)^2+4}}$$

Нужно найти наибольшее значение функции, значит, знаменатель должен принимать наименьшее значение

$$sqrt{(x+1)^2+4}quad min?$$

Очевидно, что выражение будет минимально, когда $$​(x+1)^2=0​$$

$$​x=−1​$$

$$​y(−1)=1$$

А) Решите уравнение $$frac{2(cos x+sqrt{3})}{ctg x}=sqrt{3}cdottg x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-pi;0]$$

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро которого равно 3, проведено сечение через вершину В и середины ребер A₁D₁ и C₁D₁.

А) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью BCC₁

Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение куба, а вершиной — точка D.

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K , что треугольник ABK -прямоугольный.

А) Доказать, что $$S^2_{ABK}=S_{ABC}cdot S_{AHB}$$

Б) Найти площадь треугольника ABK

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых система

$$left{begin{matrix} 2x^2+(5a-8)x+2a^2-10a+8leq0\ |2x-2a-1|leq3 end{matrix}right.$$

имеет хотя бы одно решение.

А) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

Б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

В) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Канал видеоролика: Математикс

Смотреть видео:

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Облегчи жизнь другим ученикам — поделись! (плюс тебе в карму):

07.11.2021