Ларин егэ вариант 366

Задание 1

В школе 800 учеников, из них 30%—ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Ответ: 112

Скрыть

     Если 30% в младшей, то 100-30=70% в средней и старшей школах. Найдем количество учеников там: 100*0,7=560 человек.

     Так как изучают 20%, то это значение составляет: 560*0,2=112 человек

Задание 2

Ответ: 1

Скрыть

На момент запуска (0 минут) давление составляло 1 атм

Задание 3

Ответ: -2

Скрыть

 Используя теоремы Пифагора, найдем стороны треугольника AOB из прямоугольных треугольников:

$$BO=sqrt{1^{2}+3^{2}}=sqrt{10}$$

$$OA=sqrt{2^{2}+2^{2}}=sqrt{8}$$

$$BA=sqrt{5^{2}+1^{2}}=sqrt{26}$$

     Из теоремы косинусов:

$$Delta OAB cos BOA=frac{OB^{2}+OA^{2}-AB^{2}}{2*OB*OA}=$$$$frac{10+8-26}{2*sqrt{10}*sqrt{8}}=frac{-8}{2*4sqrt{5}}=$$$$-frac{1}{sqrt{5}}$$

     По основному тригонометрическому тождеству:

$$sin BOA=sqrt{1-(-frac{1}{sqrt{5}})^{2}}=frac{2}{sqrt{5}}$$

     По определению тангенса:

$$tg BOA =frac{2}{sqrt{5}}:(-frac{1}{sqrt{5}})=-2$$

Задание 4

Игрок зажал в кулаке носовой платок так, что между пальцами торчат только четыре уголка. Второй игрок наудачу выбирает два уголка. Он выигрывает, если взял платок за диагональ, и проигрывает в противном случае. Найдите вероятность выигрыша второго игрока. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,33

Скрыть

     Всего два конца из четырех возможно взять $$C_{m}^{n}=frac{m!}{(m-n!)}=$$$$C_{4}^{2}=frac{4}{(4-2)}=6=N$$ способами. По диагонали же $$n=2$$ способами

     Вероятность: $$P=frac{n}{N}=frac{2}{6}=0,(3)$$. Округлим до сотых: 0,33

Задание 5

Решите уравнение $$2^{7-x}=100*5^{x-7}$$

Ответ: 5

Скрыть

$$2^{7-x}=10*5^{x-7}|:5^{x-7}Leftrightarrow$$$$frac{2^{7-x}}{5^{x-7}}=100Leftrightarrow$$ $$2^{7-x}*5^{7-x}=100Leftrightarrow$$ $$10^{7-x}=10^{2}Leftrightarrow$$ $$7-x=2Leftrightarrow x=5$$

Задание 6

Ответ: 10

Скрыть

Пусть $$angle A=alpha$$, тогда $$angle AEB=90-alpha$$. Но тогда $$angle CED=alpha$$, следовательно, треугольники ABE и CED подобны. Из подобия получаем отношение: $$frac{AB}{BE}=frac{ED}{CD}$$. Тогда $$CD=frac{ED*BE}{AB}=frac{5*8}{4}=10$$

Задание 7

Прямая $$y=3x+1$$ является касательной к графику функции $$y=ax^{2}+2x+3$$. Найдите a .

Ответ: 0,125

Скрыть

     Чтобы прямая являлась касательной, тогда производные должны быть одинаковы:
$${y_{1}}’={y_{2}}’Leftrightarrow$$ $$3=2ax+2Leftrightarrow$$ $$x=frac{1}{2a}(1)$$
     С другой стороны, функции тоже должны быть одинаковы:
$$y_{1}=y_{2}Leftrightarrow$$ $$3x+1=ax^{2}+2x+3 (2)$$

     Подставим (1) в (2):

$$3*frac{1}{2a}+1=a*(frac{1}{2a})^{2}+2*frac{1}{2a}+3Leftrightarrow$$$$frac{3}{2a}+1=frac{a}{4a^{2}}+frac{2}{2a}+3Leftrightarrow$$ $$frac{3}{2a}+1=frac{1}{4a}+frac{2}{2a}+3Leftrightarrow$$$$frac{3}{2a}-frac{1}{4a}-frac{2}{2a}=3-1Leftrightarrow$$ $$frac{6-1-4}{4a}=2Leftrightarrow$$ $$frac{1}{4a}=2Leftrightarrow$$ $$a=frac{1}{8}=0,125$$

Задание 8

Ответ: 6

Скрыть

$$AD_{1}^{2}=AH^{2}+HH_{1} ^{2}+H_{1}D_{1}^{2}=$$$$1^{2}+2^{2}+1^{2}=6$$

Задание 9

Найдите значение выражения $$(b^{2}-49)(frac{b+1}{b-7}-frac{b-1}{b+7})-15b+7$$ при $$b=123$$

Ответ: 130

Скрыть

$$(b^{2}-49)(frac{b+1}{b-2}-frac{b-1}{b+7})-15b+7=$$$$(b^{2}-49)frac{((b+1)(b+7)-(b-1)(b-7))}{(b-7)(b+7)}-15b+7=$$$$(b^{2}+8b+7-b^{2}+8b-7)-15b+7=$$$$16b-15b+7=b+7=123+7=130$$

Задание 10

Очень лёгкий заряженный металлический шарик с зарядом $$q=2*10^{-6}$$Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $$v=6$$м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $$alpha$$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $$B=5*10^{-3}$$Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, направленная вверх перпендикулярно плоскости и равная $$F=qvBsin alpha$$(Н). При каком наименьшем значении угла $$alpha in [0;180]$$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $$F$$ была больше $$3*10^{-8}$$ H?

Ответ: 30

Скрыть

$$F=qvB sin alpha Leftrightarrow$$ $$sin alpha =frac{F}{qvB}$$

$$sinalpha =frac{3*10^{-8}}{2*10^{-6}*6*5*10^{-3}}=$$$$frac{10}{2*2*5}=frac{1}{2}$$

$$alpha=30$$

Задание 11

Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?

Ответ: 4

Скрыть

     Пусть x-количество оборотов в минуту первой, y- количество оборотов в минуту второй, тогда если оборот принять за 1:

$$left{begin{matrix}frac{1}{y}-frac{1}{x}=frac{5}{60} 1*x-1*y=2 end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}frac{1}{y}-frac{1}{x}=frac{1}{12} x=2+y(2)end{matrix}right.$$

     Подставим (2) в первое уравнение:

$$frac{1}{y}-frac{1}{2+y}=frac{1}{12}Leftrightarrow$$ $$12(2+y-y)=2y+y^{2}Leftrightarrow$$$$y^{2}+2y-24=0$$

$$left{begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-2 y_{1}*y_{2}=-24 end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}y_{1}=-6 y_{2}=4 end{matrix}right.$$

    Отрицательной скорость быть не может, следовательно, второе тело совершает 4 оборота в минуту

Задание 12

Найти наименьшее значение функции $$y=log_{0,5} (frac{sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}-sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}}{x})$$ на интервале $$(0;infty)$$

Ответ: 0

Скрыть

     При x>0: $$sqrt{4x^{4}=3x^{2}+9}>sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}$$

     Пусть $$t=frac{sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}-sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}}{x}=$$$$frac{4x^{4}-3x^{2}+9-(4x^{4}-8x^{2}+9)}{x(sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}+sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9})}=$$$$frac{5x^{2}}{sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}+sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}}=$$$$frac{5}{sqrt{4x^{4}-frac{9}{x^{2}}-3}+sqrt{4x^{4}-frac{9}{x^{2}}-8}}$$

     Учтем, что $$a^{2}+b^{2}geq 2ab$$. Пусть $$a^{2}=4x^{2}, b^{2}=frac{9}{x^{2}}$$. Тогда: $$4x^{2}+frac{9}{x^{2}}geq 2sqrt{4x^{2}*frac{9}{x^{2}}}=2*6=12(1)$$

     Следовательно $$sqrt{4x^{4}-frac{9}{x^{2}}-3}+sqrt{4x^{4}-frac{9}{x^{2}}-8}(2)$$ минимальна при выполнении (1):

$$sqrt{12-3}+sqrt{12-8}=3+2=5$$. Чем меньше (2), тем больше t и тем меньше: $$log_{0,5}tRightarrow log_{0,5}frac{5}{5}=log_{0,5}1=0$$

Задание 13

Ответ: А)$$frac{pi}{2}+pi n, n in Z$$ Б)$$frac{3pi}{2}$$

Скрыть

А)   $$frac{2+cos 4x-8cos^{4}x }{4(cos x+sin x)}=frac{1}{sin x}$$

     Область определения D: $$left{begin{matrix}cos x+sin x neq 0 sin xneq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}tg xneq -1xneq pi n , n in Zend{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix} xneq -frac{pi}{4}+pi nxneq pi nend{matrix}right.$$

     Рассмотрим числитель первой дроби:

$$cos 4x=2 cos^{2}2x-1=$$$$2(2 cos ^{2}x-1)^{2}-1=2(4cos ^{4}x-4cos ^{2}x+1)=$$$$8cos^{4}x-8 cos ^{2}x+1=$$$$3+8cos^{4}x-8 cos ^{2}x+1-8cos ^{4}x=4-8cos ^{2}x$$

     Выполним преобразования:

$$frac{4(1-2cos^{2}x)}{4(cos x+sin x)}=frac{1}{sin x}Leftrightarrow$$$$frac{1-2 cos ^{2}x}{cos x+sin x}=frac{1}{sin x}Leftrightarrow$$$$sin x-2 cos^{2}x*sin x=cos x+sin xLeftrightarrow$$$$cos x+2 cos^{2}x sin x=0Leftrightarrow$$$$cos x(1+2cos x sin x)=0Leftrightarrow$$

     Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 

$$left[begin{matrix}cos x=01+sin 2x=0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x=frac{pi}{2}+pi n2x=-frac{pi}{2}+2pi nend{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x=frac{pi}{2}+pi nx=-frac{pi}{4}+pi nnotin Dend{matrix}right.$$

Б)   Найдем корни, принадлежащие данному промежутку: $$piapprox 3,14Rightarrow$$ $$frac{pi}{2}approx 1,57$$. Тогда $$frac{pi}{2}+pi=frac{3 pi}{2}in [2 ;5]$$

Задание 14

Ответ: 1,35

Скрыть

     (Чтобы построить сечение, нужно будет проводить $$N_{1}O$$ до пересечения с $$BC$$ в точке F, и соединять KF)

A)   1)$$angle ACB=2 arcsin frac{4}{5}Rightarrow$$ $$sin angle ACB =sin (2 arcsin frac{4}{5})=$$$$2sin (arcsin frac{4}{5})cos(arcsin frac{4}{5})=$$$$2frac{4}{5}-sqrt{1-(frac{4}{5})^{2}}=$$$$frac{8}{5}*frac{3}{5}=frac{24}{25}$$. Учитываем, что угол $$arcsin$$ которого составляет $$frac{4}{5}$$ больше $$in (45;90)$$. Следовательно, двойной угол будет $$in (90;180)$$, то есть его косинус отрицательный: $$cos angle ACB=-sqrt{1-(frac{24}{25})^{2}}=-frac{7}{25}$$

     2) $$A_{1}B_{1}=sqrt{C_{1}A_{1}^{2}+C_{1}B_{1}^{2}-2C_{1}A_{1}*C_{1}B_{1}*cos A_{1}C_{1}B_{1}}=$$$$sqrt{2^{2}+2^{2}+2*2^{2}*frac{7}{25}}=frac{16}{5}$$

     3) $$AK=frac{7}{16}AB=frac{7}{16}*frac{16}{5}=frac{7}{5}$$; $$KB=frac{9}{16}*frac{16}{5}=frac{9}{5}$$; $$B_{1}L=frac{7}{5}$$; $$LA_{1}=frac{9}{5}$$; $$K_{1}M_{1}=B_{1}M_{1}-LB_{1}=frac{8}{5}-frac{7}{5}=frac{1}{5}=MK$$

$$LM_{1}left | right |KM$$ и $$MM_{1}perp AB A_{1}B_{1}Rightarrow$$ $$Delta LM_{1}O_{1}=Delta O_{1}MKRightarrow M_{1}O_{1}=O_{1}K$$, но $$LN_{1}left | right |KNleft | right |OO_{1}Rightarrow C_{1}O=OC$$

Б)   1) $$O_{1}Lperp N_{1}L$$ т.к. $$M_{1}Lperp N_{1}L$$ (теорема о трех перпендикулярах)

$$B_{1}L=frac{7}{5}Rightarrow$$ $$frac{B_{1}L}{B_{1}M_{1}}=frac{7}{5}*frac{5}{8}=frac{7}{8}Rightarrow$$ $$N_{1}L=frac{7}{8}C_{1}M_{1}=frac{7}{8}OO_{1}Rightarrow$$ $$S_{OO_{1}LN_{1}}=frac{OO_{1}+frac{7}{8}OO_{1}}{2}*O_{1}L=frac{15}{16}OO_{1}*O_{1}L$$ (так как имеем прямоугольную трапецию)

$$O_{1}Lperp N_{1}L$$ т.к. $$M_{1}Lperp N_{1}L$$ (теорема о трех перпендикулярах)

     2) из $$Delta LO_{1}A_{1}:$$ $$O_{1}M_{1}=sqrt{LM_{1}*M_{1}A_{1}}=sqrt{frac{1}{5}*frac{8}{5}}=frac{2sqrt{2}}{5}$$

$$K_{1}O_{1}=sqrt{(frac{1}{5})^{2}+(frac{2sqrt{2}}{5})^{2}}=sqrt{frac{1}{25}+frac{8}{25}}=frac{3}{5}$$

$$OO_{1}=C_{1}M_{1}=sqrt{2^{2}-(frac{8}{5})^{2}}=sqrt{4-frac{64}{25}}=frac{6}{5}$$

     3) Тогда площадь всего сечения есть удвоенная $$S_{OO_{1}LN_{1}}$$: $$S=frac{15}{16}*frac{6}{5}*frac{3}{5}*2=1,35$$

Задание 15

Решите неравенство: $$log_{8} (frac{1}{3}-x) log_{|2x+frac{1}{3}|} (frac{1}{3}-x) > log_{2} frac{frac{1}{3}-x}{sqrt[3]{(2x+frac{1}{3})^{2}}}$$

Ответ: $$(-infty;-frac{2}{3})cup(0;frac{1}{12})$$

Скрыть

$$log_{8}(frac{1}{3}-x)log_{12x+frac{1}{3}}(frac{1}{3}-x)>log_{2}frac{(frac{1}{3}-x)}{sqrt[3]{(2x+frac{1}{3})^{2}}}$$

     С учетом того, что $$sqrt[3]{(2x+frac{1}{3})^{2}} geq 0$$ получаем следующую область определения $$D(x)$$:

$$left{begin{matrix}frac{1}{3}-x>0 |2x+frac{1}{3}|>0 |2x+frac{1}{3}|neq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x<frac{1}{3} 2x+frac{1}{3}neq 0 2x+frac{1}{3}neq 1 2x+frac{1}{3}neq -1end{matrix}right.Leftrightarrow $$$$left{begin{matrix}x<frac{1}{3} xneq -frac{1}{6} xneq -frac{1}{3} xneq -frac{2}{3}end{matrix}right.$$

     Преобразуем правую часть неравенства: $$log_{2}frac{(frac{1}{3}-x)}{sqrt[3]{(2x+frac{1}{3})^{2}}}=$$$$log_{2}(frac{1}{3}-x)-log_{2}sqrt[3]{(2x+frac{1}{3})^{2}}=$$$$log_{2}(frac{1}{3}-x)-frac{2}{3}log_{2}|2x+frac{1}{3}|$$

     Пусть $$a=frac{1}{3}-x$$ и $$b=|2x+frac{1}{3}|$$, тогда:

$$frac{1}{3}log_{2}alog_{b}a-log_{2}a+frac{2}{3}log_{2}b>0Leftrightarrow$$$$log_{2}alog _{b}a(1-frac{3}{log_{b}a}+frac{2 log_{2}b}{log_{2}a log_{b}a})>0Leftrightarrow$$$$log_{2}a log_{b}a(frac{log_{b}^{2}a-3log_{b}a+2}{log_{b}^{2}a})>0Leftrightarrow$$$$frac{log_{2}a}{log_{b}a}(log_{b}^{2}a-3log_{b}a+2)>0Leftrightarrow$$$$frac{log_{a}b}{log_{a}2}(log_{b}a-2)(log_{b}a-1)>0Leftrightarrow$$$$log_{2}b(log_{b}a-log_{b}b^{2})(log_{b}a-log_{b}b)>0Leftrightarrow$$

     Воспользуемся методами рационализации для логарифмов:

$$(b-1)(a-b^{2})(b-1)(a-b)(b-1)>0Leftrightarrow$$$$(b-1)(a-b^{2})(a-b)>0$$

     Вернемся обратно к заменам:

$$(left | 2x+frac{1}{3} right |-1)(frac{1}{3}-x-(2x+frac{1}{3})^{2})(frac{1}{3}-x-left | 2x+frac{1}{3} right |)Leftrightarrow$$$$(left | 2x+frac{1}{3} right |-1)(36x^{2}+21x-2)(left | 2x+frac{1}{3} right |-left | frac{1}{3}-x right |)>0$$

     С учетом D(f): $$frac{1}{3}-x>0$$, при всех Х. Тогда $$frac{1}{3}-x$$ мы можем представить, как $$|frac{1}{3}-x|$$, а так же $$1=|1|$$ и воспользоваться методами рационализации для модулей:

$$(2x+frac{1}{3}-1)(2x+frac{1}{3}+1)(x-frac{1}{12})(x+frac{2}{3})(2x+frac{1}{3}-frac{1}{3}+x)(2x+frac{1}{3}+frac{1}{3}-x)>0Leftrightarrow$$$$(2x-frac{2}{3})(2x+frac{4}{3})(x-frac{1}{2})(x+frac{2}{3})(3x)(x+frac{2}{3})>0Leftrightarrow$$$$(x+frac{2}{3})(x-frac{1}{3})(x-frac{1}{12})x>0$$

     Получаем, что (промежутки выделены синим цветом): $$left[begin{matrix}x< -frac{2}{3} left{begin{matrix}x> 0 x<frac{1}{2}end{matrix}right. x> frac{1}{3}end{matrix}right.$$

     С учетом $$D(x)$$: $$left[begin{matrix}x< -frac{2}{3}left{begin{matrix}x>0x<frac{1}{12} end{matrix}right.end{matrix}right.$$

Задание 16

Ответ: $$frac{14sqrt{5}}{55}$$

Скрыть

A)   1) Из $$Delta ABC$$: $$AC=sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB*BC*cos B}=$$$$sqrt{9+9-2*5*frac{1}{9}}=$$$$sqrt{18-2}=4$$

     2)по свойству биссектрис: $$frac{AM}{MP}=frac{AC}{DC}=$$$$frac{1,5}{4}=frac{3}{8}Rightarrow$$ $$MD=frac{3}{11}AC=frac{12}{11}$$

     3) Из $$Delta MDQsim Delta ADCRightarrow$$ $$frac{MD}{AD}=frac{DQ}{DC}=frac{3}{11}Rightarrow$$ $$DQ=frac{1,5*3}{11}=frac{9}{22}Rightarrow$$ $$BQ=1,5+frac{9}{22}=frac{3}{2}+frac{9}{22}=$$$$frac{33+9}{22}=frac{42}{22}=frac{21}{11}$$

     4) Из $$Delta PBQsim Delta ABCRightarrow$$ $$frac{PQ}{AC}=frac{BQ}{BC}=$$$$frac{21}{11}:3=frac{21}{33}$$. Тогда $$PQ=frac{21*4}{33}=frac{84}{33}$$

     5)$$PM=PQ-QM=frac{84}{33}-frac{12}{11}=$$$$frac{84-36}{33}=frac{48}{33}=frac{16}{11}$$

Б)   1) $$BP=BQ=frac{21}{11}$$, $$p=frac{frac{21}{11}+frac{21}{11}+frac{84}{33}}{2}=$$$$frac{42+28}{22}=frac{70}{22}=frac{35}{11}$$

     2) По формуле Герона: $$r=frac{S}{p}=sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$. Тогда: $$r=sqrt{frac{(frac{35}{11}-frac{21}{11})^{2}(frac{35}{11}-frac{28}{11})}{frac{35}{11}}}=$$$$sqrt{(frac{14}{11})^{2}*frac{7}{11}*frac{11}{35}}=$$$$frac{14}{11sqrt{5}}=frac{14sqrt{5}}{55}$$

Задание 17

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счет будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Ответ: 2008

Скрыть

     Очевидно, что необходимо снимать деньги в тот год, когда увеличение цены на 2000 рублей будет меньше, чем увеличение на 10%, согласно ставке банка. Пусть n — год, в который это произойдет.

     Следует учитывать, что начисление 2000 рублей происходит в конце года, а снять и положить можно только в начале, потому результат мы должны будем увеличить на единицу (например, в конце пятого года цена бумаги позволяет ее перекладывать, то переложим мы только в шестом году).

     Если взять n-ый год, то стоимость бумаги составит: $$7000+2000n$$. Если бы мы ее положили под 10%, то на нее начислилась бы сумма $$0,1(7000+2000n)=700+200n$$. И эта сумма должна быть больше, чем 2000, чтобы был смысл перекладывать деньги в банк:

     $$700+200n>2000Leftrightarrow$$$$200n>1300|:200Leftrightarrow$$$$n>6,5$$.

     Так как n — число натуральное, то получаем, что $$n=7$$. То есть в конце 7 года цена бумаги станет такой, что 10% от ее стоимости, составят больше 2000, и тогда на 8 год (2008) мы ее продаем.

Задание 18

Найдите все значения параметра , при которых система $$left{begin{matrix}log_{2} (3-x+y)=log_{2} (25-6x+7y) y+2=(x-2a)^{2}+a+2xend{matrix}right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-1;3)$$

Скрыть

     Рассмотрим область определения данной системы. Так как даны логарифмы, то: $$left{begin{matrix}3-x+y>025-6x+7y>0end{matrix}right.Rightarrow$$ $$left{begin{matrix}y>x-3y>frac{6x-25}{7}end{matrix}right.$$ (желтым выделено решение для первого неравенства, синим — для второго, серым — их пересечение)

     Рассмотрим первое уравнение системы:

$$log_{2}(8(3-x+y))=log_{2}(25-6x+7y)Leftrightarrow$$$$24-8x+8y=25-6x+7yLeftrightarrow$$$$y=2x+1 (1)$$

     Построим график данной функции с учетом области определения:

     Как видим, чтобы было два пересчения, x должен быть больше 4 (иначе часть прямой лежит вне области определения)

     Подставим  (1) во второе:$$2+2x+1=(x-2a)^{2}+a+2xLeftrightarrow$$$$(x-2a)^{2}=3-a$$

     Так как число в квадрате, то правая часть уравнения должна быть больше нуля (если равна нулю, то корень всего один): $$3-a>0Rightarrow a<3$$

     Рассмотрим график второгой функции:

$$y+2=x^{2}-4ax+2a^{2}+a+2xLeftrightarrow$$$$y=x^{2}+x(2-4a)+4a^{2}+a-2$$

     Найдем вершину параболы:

$$x_{0}=-frac{2(1-2a)}{2}=2a-1$$

$$y_{0}=4a^{2}-4a+1-2(2a-1)^{2}+4a^{2}+a-2=8a^{2}-3a-1-8a^{2}+8a-2=5a-3$$

     Рассмотрим возможное расположение графика с учетом области определения:

     Как видим, координата y вершины параболы должна быть больше -8, а х больше -3 (если будет левее, то отно пересечение точно не попадет в область определения) :

$$left{begin{matrix}2a-1>-35a-3>-8end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}a>-1a>-1end{matrix}right.$$

     С учетом того, что $$a<3$$, получаем: $$a in (-1;3)$$

Задание 19

Ответ: да,нет,да

Скрыть

А)   Да.Есть два возможных расположения чисел 2 и 11 относительно других чисел. 

• если они идут рядом. Пусть числа идут в порядке возрастания (2,11). Тогда мы всегда сможем начать убывающую последовательно с 11. Из оставшихся 9 чисел в любом случае надется расположение двух, идущих друг за другом, в порядке убывания). Исключение составляет случай, когда все следующие будут расположены в порядке возрастания, но тогда из них мы сможем построить возрастающую последовательность. Аналогичное рассуждение для убывания.
• если между ними есть число. Тогда они в любом случае будут или возрастающей последовательностью (2,а,11) или убывающей (11, а, 2)

Б)   Нет. Достаточно привести пример: 7 5 2 9 6 11 4 10 3 8. (Смысл его построения сводится к тому, что в середину ставится 11, а далее через одно раскидываются больше оставшиеся, а промежутки заполняются меньшими. Подобное расположение не дает построить последовательность, будь то возрастающая или убывающая, более, чем из 4 чисел) 

В)   Да. Рассмотрим уже имеющуюся в пункте (Б) полседовательность. Для каждого числа из нее мы подберем пару чисел (a,b), где а — количество чисел максимально длинной возрастающей последовательности, начинающей с текущего числаб b — убывающей: 7(3,4)  5(3,3)  2(3,1)  9(2,4)  6(2,3)  11(1,3)  4(2,2)  10(1,2)  3(2,1)  8(1,1). Как видим среди встречающихся пар чисел нет повторяющихся. При этом, в пункте (Б) мы доказали, что a,b<5, то есть числа в парах могут быть только 1,2,3,4. Согласно комбинаторике, если $$a,b in [1;3]$$, то число возможных пара (a,b) составляет $$3*3=9$$. А у нас пар числе 10. Это означает, что однозначно одна пара чисел будет содержать хоть одну 4. Следовательно, будет последовательность из 4 чисел.