Задание 1
Решите уравнение $$cosfrac{pi(x-7)}{3}=frac{1}{2}.$$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Ответ: -4
Скрыть
$$frac{pi(x-7)}{3}=pmfrac{pi}{3}+2pi n$$
$$x-7=pm1pm6n$$
$$left{begin{matrix} x=8+6n\ x=6+6n, nin Z end{matrix}right.$$
Заметим, что значениям $$ngeq0$$ соответствуют только положительные корни, поэтому они сразу отбрасываются. Теперь последовательно переберем отрицательные значения $$n,$$ получим:
— при $$n=-1$$ имеем $$x=2$$ и $$x=0;$$
— при $$n=-2$$ имеем $$x=8-12=-4$$ и $$x=6-12=-6;$$
— при $$nleq-3$$ корни будут убывать.
Таким образом, наибольший отрицательный корень равен $$-4.$$
Задание 2
В коробке 6 красных и 4 синих карандашей. По очереди из коробки извлекают два случайных карандаша. Найдите вероятность того, что сначала появится красный, а затем — синий карандаш. Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,27
Скрыть
$$P(A)=frac{6}{10}cdotfrac{4}{9}approx0,27$$
Задание 3
В треугольнике АВС угол С равен $$90^{circ},$$ СН — высота, $$АС=7, tgA=frac{33}{4sqrt{33}}.$$ Найдите АН.
Ответ: 4
Скрыть
$$tg A=frac{CB}{CA}$$
По т. Пифагора:
$$7^2=(4sqrt{33}x)^2+(33x)^2$$
$$49 = 528x^2 + 1089x^2$$
$$1617x^2=49$$
$$x^2=frac{1}{33}$$
$$x=frac{1}{sqrt{33}}$$
$$АH=4sqrt{33}cdotfrac{1}{sqrt{33}}=4$$
Задание 4
Найдите значение выражения $$frac{sin(a-pi)-3cos(-frac{3pi}{2}+a)}{sin(a-3pi)}.$$
Ответ: -2
Скрыть
$$frac{sin(a-pi)-3cos(-frac{3pi}{2}+a)}{sin(a-3pi)}=frac{sin(-pi+a)+3sin a}{sin(-3pi+a)}=frac{-sin a+3sin a}{-sin a}=frac{2sin a}{-sin a}=$$
$$=-2$$
Задание 5
От треугольной призмы, объём которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части.
Ответ: 4
Скрыть
$$V_1=frac{1}{3}S_{осн}cdot h=frac{1}{3}S_{осн}cdot CC_1$$
$$V_2=S_{осн}cdot h=S_{осн}cdot CC_1$$
$$V_1=frac{1}{3}V_2=frac{1}{3}cdot6=2$$
$$V_2-V_1=6-2=4$$
Задание 6
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x),$$ определенной на интервале $$(-7;4).$$ Найдите промежутки возрастания функции $$f(x).$$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ: -3
Скрыть
Промежутки возрастания данной функции $$f(x)$$ соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна то есть промежуткам $$(−7; −5,5]$$ и $$[−2,5; 4).$$ Данные промежутки содержат целые точки $$−6, −2, −1, 0, 1, 2, 3.$$ Их сумма равна $$−3.$$
Задание 7
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $$l=sqrt{frac{Rh}{500}},$$ где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 6,4 километров. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 9,6 километров?
Ответ: 20
Скрыть
Найдём высоту, на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии 6,4 километра.
$$6,4=sqrt{frac{6400cdot h}{500}}=sqrt{frac{64cdot h}{5}} $$
$$frac{64^2}{10^2}=frac{64h}{5}$$
$$h=3,2$$ м
Найдём высоту, на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии 8 километров.
$$9,6=sqrt{frac{6400cdot h}{500}}=sqrt{frac{64cdot h}{5}}$$
$$9,6^2=frac{64h}{5}$$
$$h=7,2$$ м
Найдём высоту, на которую нужно подняться наблюдателю:
$$7,2-3,2=4$$ (м).
По условию высота ступеньки 20 см = 0,2 м. Найдём наименьшее количество ступенек, на которое нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 9,6 километров.
$$frac{4}{0,2}=20$$
Задание 8
Из первого бака перелили 30% имевшейся в нем воды во второй бак, а затем из второго перелили 40% имеющейся в нем воды в третий бак. В итоге количество воды в третьем баке увеличилось на 32%. Сколько воды отлили из первого бака, если известно, что первоначально в первом и третьем баках воды было поровну, а во втором баке было 60 л.?
Ответ: 36
Скрыть
| I б. | II б. | III б. |
|---|---|---|
| x л | 60 л и +0,3x | x л |
$$0,4(60+0,3x)=x+0,32x$$
$$x+24+0,12x=1,32x$$
$$0,2x=24 |:0,2$$
$$x=120$$ л — было в I и III баках.
30% от $$120 = 120cdot0,3=36$$ л — отлили из I бака
Задание 9
На рисунке изображен график функции $$f(x)=b+log_a x.$$ Найдите значение $$x,$$ при котором $$f(x)=2.$$
Ответ: 81
Скрыть
График проходит через $$(1;-2)$$ и $$(3;-1).$$ Тогда:
$$left{begin{matrix} -2=b+log_a 1\ -1=b+log_a 3 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=-2\ log_a 3=1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=-2\ a=3 end{matrix}right.$$
Получим:
$$-2+log_3 x=2Leftrightarrow log_3 x=4Leftrightarrow x=81$$
Задание 10
В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришёл мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?
Ответ: 0,7
Скрыть
Пусть A — 1-й автомат; B — 2-й автомат,
Тогда:
$$P(A) = 0,3$$ — вероятность что кофе закончилось в 1 автомате
$$P(B) = 0,3$$ — вероятность что кофе закончилось в 2 автомате
$$P(Acap B) = 0,21$$ — вероятность, что кофе закончилось в обоих автоматах
$$P(frac{B}{A})$$ — условная вероятность, что кофе закончится в «В» при условии, что он закончился в «А»
По правилу совместного события (пересечение вероятностей) $$P(Acap B) = P(A)cdot P(frac{B}{A})$$
Отсюда:
$$P(frac{B}{A}) = frac{P(Acap B)}{P(A)}$$
$$P(frac{B}{A}) = frac{0,21}{0,3} = 0,7$$
Задание 11
Найдите точку максимума функции $$y=(2x^2-30x+30)cdot e^{x+30}.$$
Ответ: 0
Скрыть
$$y=(2x^2-30x+30)e^{x+30}$$
$$y’=(4x-30)e^{x+30}+(2xx^2-30x+30)e^{x+30}$$
$$y’=e^{x+30}(4x-30+2x^2-30x+30)$$
$$y’=e^{x+30}(2x^2-26x)$$
$$e^{x+30}neq0;$$ $$e^{x+10}>0$$
Найдём нули производной:
$$2x^2-26x=0$$
$$2x(x-13)=0$$
$$2x=0$$ и $$x-13=0$$
$$x=0$$ и $$x=13$$
____+________—_______+
________о________о_______у/
________0________13
$$x=0$$ — точка максимума
Задание 12
А) Решите уравнение $$sin^2x+0,5sin 2x+x^{ln1}=1$$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{3pi}{2};0]$$
Ответ: А)$$-frac{pi}{4}+pi k;pi n; kin Z,nin Z / left{0right}$$ Б)$$-frac{5pi}{4};-pi;-frac{pi}{4}$$
Задание 13
В правильной треугольной призме $$АВСА_1В_1С_1$$ сторона основания равна 3 и боковое ребро равно 9. Точка М — середина ребра $$А_1С_1,$$ точка О — точка пересечения диагоналей грани $$АВВ_1А_1$$
А) Докажите, что точка пересечения $$ОС_1$$ с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью АВМ, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника
Б) Найдите угол между $$ОС_1$$ и сечением призмы плоскостью АВМ
Ответ: $$arccosfrac{13}{14}$$
Задание 14
Решите неравенство: $$log_{625x}25cdotlog_{0,2}^2(25x)leq2$$
Ответ: $$(0;frac{1}{625}),[frac{1}{125};1]$$
Задание 15
Зависимость количества Q (в шт., $$0leq Qleq30000$$) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой $$Q = 30000 — P.$$ Затраты на производство Q единиц товара составляют $$5000Q + 3000000$$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей $$(0 < t < 15000)$$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $$PQ-5000Q-3000000-tQ$$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $$tQ$$ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Ответ: 12500
Задание 16
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что АВ=АЕ. Отрезок ВЕ пересекает АС в точке М, а отрезок AD в точке N.
А) Докажите, что точки C, D, M, N лежат на одной окружности
Б) Точка О — центр описанной вокруг треугольника CMD окружности. Найдите радиус этой окружности, если АО = 12, АВ = 4.
Ответ: $$8sqrt{2}$$
Задание 17
Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение
$$a|x+8|+(2-a)|x-8|+6=0$$
имеет ровно два различных решения.
Ответ: $$(-infty;-frac{3}{8}),(frac{19}{8};infty)$$
Задание 18
Для каждого натурального числа $$n$$ обозначим через $$a_n$$ максимальный делитель числа $$n,$$ являющийся квадратом натурального числа, и $$b=frac{n}{a_n}.$$
А) Может ли у числа $$b_n$$ быть 18 делителей?
Б) Для скольких натуральных чисел $$n (1leq nleq 1000)$$ выполняется равенство $$a_n=25?$$
В) Последняя цифра числа $$n$$ равна 9. Чему равна сумма последних цифр чисел $$a_n$$ и $$b_n?$$
Ответ: А) нет, Б) 26, В) 10
| 3655 | Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q , AD=2BC. a) Докажите, что точка Q – середина отрезка AR б) Найдите площадь треугольника APQ  Решение |
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD ! Тренировочный вариант 221 от Ларина Задание 16 # Решение пункта Б |  |
| 3471 | а) Решите уравнение cos(3x)/(2sin(x)+sqrt(2))=sin(x)/(2sin(x)+sqrt(2)) б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; pi].Решение  График |
а) Решите уравнение cos3x /(2sinx + sqrt2 = sinx /2sinx +sqrt2 ! Тренировочный вариант 399 от Ларина Задание 12 | |
| 3470 | В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 8 и 10, а его большая диагональ равна 2sqrt73. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4. а) Докажите, что две боковые грани являются прямоугольными треугольниками. б) Найдите площади двух других боковых граней Решение |
В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 8 и 10, а его большая диагональ равна 2sqrt73 ! Тренировочный вариант 399 от Ларина Задание 13 | |
| 3469 | Решите неравенство 64^x/(36^x-27^x)+(4(16^x-12^x))/(16^x-2*12^x+9^x). <= 16^(x+0.5)/(12^x-9^x).Решение График |
Решите неравенство 64^x / 36^x -27^x +4(16^x-12^x) /16^x -2*12^x+9^x <= 16^ x+0,5 / 12^x-9^x ! Тренировочный вариант 399 от Ларина Задание 14 |
|
| 3468 | На сторонах АВ, ВС и АD квадрата ABCD взяты соответственно точки М, К и N, такие, что АМ : МВ = 3 : 1, ВК : КС = 2 : 1 и АN : ND = 1 : 2. а) Докажите, что площадь четырехугольника МКСN составляет 11/24 площади квадрата ABCD. б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника МКCN Решение |
На сторонах АВ, ВС и АD квадрата ABCD взяты соответственно точки М, К и N, такие, что АМ : МВ = 3 : 1, ВК : КС = 2 : 1 и АN : ND = 1 : 2 ! Тренировочный вариант 399 от Ларина Задание 16 | |
| 3467 | В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. В эту трапецию вписали окружность с центром О. Прямая АО пересекает продолжение отрезка ВС в точке Е а) Докажите, что AD=CE+CD б) Найдите площадь трапеции ABCD, если АЕ=10, /_BAD=60^@ Решение |
В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС ! Тренировочный вариант 398 от Ларина Задание 16 | |
| 3466 | Найдите значение выражения ((root(4)(3)-root(4)(27))^2+7)((root(4)(3)+root(4)(27))^2-7)Решение |
Найдите значение выражения ((root(4)(3) -root(4)(27))2 +7 ((root(4)(3)+root(4)(27))2 -7) ! Тренировочный вариант 398 от Ларина Задание 6 | |
| 3465 | Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй ‐ 25% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Соединив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в получившемся сплаве?Решение |
Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова ! Тренировочный вариант 398 от Ларина Задание 9 | |
| 3464 | а) Решите уравнение sqrt(2sin(x)+sqrt(2))*log_{4}(2cos(x))=0 б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(5pi)/2; -pi].Решение График |
а) Решите уравнение sqrt(2sinx +sqrt2) log4 2cosx = 0 ! Тренировочный вариант 398 от Ларина Задание 12 | |
| 3463 | SMNK – правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР:PS=1:3, точка L – середина ребра MN. а) Доказать, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4 Решение |
SMNK – правильный тетраэдр ! Тренировочный вариант 398 от Ларина Задание 13 | |
Показать ещё…
Показана страница 1 из 89
- О сайте
- Карта сайта
- Пользовательское соглашение
- Политика конфиденциальности
© 2020-2023, ege314.ru, ОГЭ и ЕГЭ по математике | Генератор вариантов ЕГЭ 2023.
Частичное или полное копирование решений (включая графические элементы) с данного сайта для распространения на других ресурсах, в том числе и бумажных, строго запрещено. Все решения являются собственностью сайта.