Мама договорилась с мишей что в воскресенье он будет готовиться к экзамену по математике

Спрятать решение

Мама договорилась с Мишей,что в воскресенье он будет готовится к экзамену по математике,…

Сборник

 «Арифметическая
и геометрическая прогрессия в решениях прикладных задач»

Составитель
Маслова Юлия

Ученица
9 класса МАОУ «СОШ № 17»

 город
Краснотурьинск

Оглавление.

Прогрессии в медицине………………………………………………………………………………………………..4.

Прогрессии в физике…………………………………………………………………………………………………….7.

Прогрессии в математике……………………………………………………………………………………………..10.

Прогрессии в биологии………………………………………………………………………………………………..14.

Прогрессия в экономике и банковской
системе…………………………………………………………….17.

Интересные задачи……………………………………………………………………………………………………….20

Ответы…………………………………………………………………………………………………………………………23.

Список использованной
литературы…………………………………………………………………………….27.

Интересные факты

При повышении температуры по
арифметической прогрессии, скорость химической реакции растёт по геометрической
прогрессии.

1.

Больной
принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а
в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40
капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием
на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному,
если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

 Дано:
5,10,15,…40,40,40,35,30,…5.

Решение.

40=5+5(n-1),  5+5n—5=40, 5n=40,  n=8

,

180+180+40=400(капель)

400:250=1,6(пузырька)

Ответ. Больному нужно
купить 2 пузырька лекарства.

2.

Больной, заболевший гриппом, может за день
заразить четырёх человек. Через сколько дней заболеют все учащиеся школы в
количестве 1176 человек?

3.

Лечащий врач Андрея посоветовал своему
пациенту в первый день занятий после операции провести на беговой дорожке 15
минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой
дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в
общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать рекомендациям своего
лечащего врача?

4.

Дима
на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных
палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерии (Они удваиваются).

Сколько дизентерийных палочек будет у Димы
кишечнике через 12 часов?.

5.

 Сколько граммов опасного вещества оседает
в легких курильщика в среднем в сутки, если с каждой последующей сигаретой это
количество увеличивается в 2 раза и, выкурив третью сигарету,  будет равно
0,0008 г.

6.

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в
первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10
минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы
достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

7.

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за
другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что
воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.

Интересные факты

Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает
его на 2 части. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4
части и т. д. — это геометрическая прогрессия.

Задачи

1

Диаметры пяти шкивов, насажанных на общий
вал, образуют арифметическую прогрессию. Найти диаметры шкивов, если сумма
первого и третьего составляет 268 мм, а второго и четвёртого — 316 мм.

Решение: По условию задачи+=268, Найти.

Составим и решим систему уравнений,
используя формулуd(n-1)

; ; 

.

Подставив полученные значения в формулуd(n-1),
найдём остальные значения

.

Ответ: 110, 134, 158, 182, 206.

2.

После каждого качания поршня под колоколом
воздушного насоса давления воздуха уменьшается на 0,83 начального давления.
Определить, как велико будет давление воздуха под колоколом после 15 качание,
если первоначальное давление было равно 760 мм ртутного столба.

 Решение:
Из условия задачи получаем, что q=0,83;
n=16.

.

По формуле , значит:

.

Ответ: 46,45.

3

Мощности пяти электромоторов составляют
возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность первого 5 кВт, а третьего 9,8
кВт. Рассчитать мощности остальных электромоторов (ответ дать в кВт).

 Решение:
По условию задачи

Найти .

По условию задачи

Для того, чтобы найти остальные значения,
найдём q,

q

,

.

Ответ: 7; 13,72;
19,208.

4.

 Шар, катящийся по жёлобу, в первую
секунду проходит 0,6 м, а путь, пройденный в каждую следующую секунду,
увеличивается на 0,6 м. Сколько секунду будет двигаться шар по шестиметровому
жёлобу?

5.

При свободном
падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше.
Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5с
после начала падения.

 Решение:
Составим математическую модель задачи: в первую секунду — 5м, во вторую секунду
— 15м, в третью секунду — 25м, в четвертую секунду — 35м, в пятую секунду —
45м. Всего за пять секунд — 5+15+25+35+45=125(м).

Ответ:
глубина шахты 125м.

1

Два тела, находясь на расстояни153 м друг
от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело
движется со скоростью 10 м/с, второе в первую секунду прошло 3 м, а в каждую
последующую — на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела
встретятся?

Решение:

            Первое
тело движется равномерно, поэтому путь, пройденным этим телом, вычисляется по
формуле: ∙. Движение второго тела
подчиняется законам арифметической прогрессии, где , d
= 5,

Поэтому ∙. +

необходимо найти t.

Из условия задачи
получаем уравнение: , где tN

5

.

Второй корень не
удовлетворяет условию .

Ответ:
Тела встретятся через 5 секунд.

2

 Турист, двигаясь по пересечённой
местности, за первый час пути прошёл 800 м, а за каждый следующий час проходил
на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на путь, равный
5700м?

3

Длина,
ширина и высота прямоугольного параллелепипида образуют геометрическую
прогрессию. Обьём параллелепипида равен 216 , а сумма длин всех еего
рёбер равен 104 м. Найдите измерения параллелепипида.

4.

Альпинисты в
первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий
день они проходи ли на 100м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они
покорили высоту в 5000м? 

Дано: 1400;
1300; …; a1=1400; d=-100; Sn=5000

Найти: n

 Решение Sn=
(2a1+ d (n-1))n/2;

5000= (2·1400-100
· (n-1))
n/2;

10000= (2800-100 n+100)
n;

10000= (2900-100 n) n;

100 n2-2900 n+10000=0;

n2-29 n+100=0;

 n=25, n=4 – условию задачи удовлетворяет n=4( при
n=25, аn=-1000, но аn>0)

Ответ:
Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

5.

Работники нанялись вырыть колодец с таким
условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый
следующий 15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они,
если за всю работу получили 16 р. 90 к.?

Решение. a1=40, d=15, Sn=1690.

Найти n.

Sn=(2a1+d(n-1))·n:2; n>0;

1690=(80+15(n-1))·n:2;

1690=(80+15(n-1))·n:2;

3380=(65+15n)·n;

15n2+65n-3380=0;

3n2+13n-676=0;

n1=-52/3;

 n2=13.
Так как по условию задачи n>0, то n=13.

Ответ. Работники выкопали колодец глубиной
13 аршин.

6.

В правильный треугольник со стороной 32 см
последовательно вписываются треугольники; вершины каждого последующего
треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Запишите
формулу n-го
члена полученной прогрессии.

7.

Числа, выражающие длину, ширину и высоту
прямоугольного параллелепипеда, образуют геометрическую прогрессию. Объём параллелепипеда
равен 216 , а диагональ  м. Найдите измерения
параллелепипеда, зная, что его диагональ вычисляется по формуле , где a,b,c
— его измерения, а d — длина
диагонали.

Интересные факты:

Интенсивность
размножения бактерий используют… в пищевой промышленности (для приготовления
напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) в сельском
хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в
фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном
хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации
нефтяных пятен)

“Потомство
пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней Девятое
поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или
же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

1

Известно, что бактерия в питательной среде
через каждые полчаса делится на две. Сколько бактерий может образоваться из
одной бактерии за 10 часов?

Решение:
Бактерия была одна, следовательно, . Она делится на две,
значит q=2?
а так как время деления полчаса, то за 10 часов произойдёт 20 делений и нам
нужно найти  

По формуле

.

Ответ: ..

2.

 Улитка
ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую
минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка
вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его
основания?

3.

Бактерия, попав в живой организм, к концу
20-й минуты делится на две бактерии, а каждая из них к концу следующих 20 минут
делится опять на две и так далее. Найдите число, бактерий, образующихся из
одной бактерии к концу суток.

Решение. В сутках 1440 минут, каждые 20
минут появляется новое поколение — за сутки 72 поколения.

По формуле суммы nпервых
членов геометрической прогрессии, у которой =1, q=2,
n=72,
находим, что

4.

Одно растение одуванчика занимает на земле
площадь 1 кв м и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё
потомство одной особи одуванчика через 10 лет при прогрессии

б) Хватит ли этим растениям на n-й
год места на поверхности суши земного шара?

5.

Некто поместил пару кроликов в некое
место, огороженное со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов
при этом родится в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц
одна пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со 2
месяца после своего рождения.

6.

На
опушке леса живут 4 куницы, которые питаются белками. Белки питаются орехами.
Одна куница съедает 10 белок, каждая белка- 10орехов. Для улучшения плодородия
сосны сибирской (кедр) нужны почвенные бактерии. Для одной сосны  10 бактерий.
Сколько нужно белок, орехов, бактерий, чтобы построить экологическую пирамиду
данного участка леса, используя геометрическую прогрессию.

Дано:

b₁ = 4, b₂ = 40

Найти: b₃ = ?, b₄ = ?
q = 40 / 4 = 10
b₃ = b₁ · q^n-1 = 4 · 10^3-1  = 4 · 10² = 400
b₄ = 4 · 10^4-1 = 4 · 10³ = 4000

Для экологического равновесия этого участка леса необходимо на 4
куницы 40 белок, 400 орехов, 4000 бактерий.

Интересные факты:

Прогрессия имеет очень широкие приложения
в экономике. С её помощью банк производит расчёты с вкладчиком, решает, стоит
ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько
лет и т.д.

1.

Клиенту в банке предлагают сделать вклад
на условии 2% в месяц. Какая сумма будет на счету через а) 2 месяца, б)
полугодие, в) десять лет, если первоначальная суммавклада равнялась 100 тыс.
руб. (Ответ дайте в рублях, округляя до сотых).

2.

Вклад
составляв 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок хранения вклада — 5 лет. Если
вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу срока хранения вы получите в
итоге сумму, равную10 000 • (1 + ) , т. е. 15 000 р. Если же вы выбрали
стратегию сложных процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге
сумму, равную 10 000 • ( 1 + )5, т. е. 16 105,1 р.

3.

Клиент
взял в банке кредит в размере 50000 рублей на 5 лет под 20 % годовых. Какую
сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

4.

Два
приятеля положили в банк по 10000 рублей каждый, причем первый положил деньги
на вклад с ежеквартальным начислением 10 %, а второй- с ежегодным начислением
45%.  Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им
процентами. Кто получил большую прибыль?

5.

Один гражданин взял в коммерческом банке
кредит на n месяцев с условием, что
в первый месяц он возвращает 1/nчасть
кредита, а за каждый последующий месяц выплата увеличивается на 5 долларов по
сравнению спредыдущем месяцем. Всего он вынужден будет отдать 1995 долларов,
при этом в последний месяц 150 долларов. Сколько денег было взято сначала?

6.

Рабочий обслуживал 6 автоматических
станков, каждый из которых производил 30 деталей в час. Станки последовательно
вводились в рабочий режим через каждые 10 минут. Но в течении пяти лет
конструкция станков была дважды усовершенствована: вначале производительность
была доведена до 36 деталей в час, а потом станки стали вводить в рабочий режим
в 2 раза быстрее. Найти: а) Производительность труда за смену (7 ч) до усовершенствования
и после каждого из двух усовершенствований; б) Месячный (22 дня) заработок
рабочего до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований, если
за каждую деталь в начале оплачивали 0,8 к., после первого усовершенствования —
0, 77к. и 0,75к. после первого усовершенствования.

7.

За изготовление и установку самого нижнего
железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц, а за каждое
следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по
окончании работы было уплачено ещё 40 у.е. Средняя стоимость изготовления и
установки кольца оказалась равной   у.е. Сколько колец было
установлено?

8.

Предположим, что в 1776 году, когда
образовались США, 1 доллар был отдан под 10% годовых. В какую сумму он превратился
к 1976 году – 200-летней годовщине образования США?

Используем формулу сложных процентов.

Решение:

Ответ: Более 32 000 000 долларов.

1.

Мама договорилась с Мишей, что в
воскресенье он будет готовиться к экзамену по математике, решая задачи из
пособия . за первую задачу она разрешит ему играть на компьютере 10 минут, а за
каждую следующую задачу ему можно будет играть на 3 минуты больше, чем за
предыдущую. Сколько минут можно будет играть Мише в воскресенье, если он решит
8 задач?

2.

Папа договорился с Олей, что в субботу она
будет учить английские слова. За первое выученное слово он разрешит ей смотреть
телевизор 5 минут, а за каждое следующее слово ей можно будет смотреть
телевизор на 2 минуты больше, чем за предыдущее. Сколько минут можно будет
смотреть телевизор Оле в субботу, если она выучит 12 слов?

3.

При хранении
бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен
находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение. Составим математическую модель задачи:
1, 2, 3, 4,…,12.

Это
арифметическая прогрессия, а1=1, d=1,аn=12.

 Надо найти
n. аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1);

 n=12. Sn=(a1+an)∙n:2;

Sn=(1+12)·12:2;

Sn=78. В одной кладке находится 78 бревен.

Ответ: 78
бревен.

4.

В соревновании по стрельбе за каждый
промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах
— одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за
предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

5.

Представьте, что вы – учетчик на стройке.
Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить,
сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу. Количество бревен легко
подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной
единице, если бревна уложены так, как показано на рисунке.

6.

Олегу нужно решить 315 задач. Ежедневно он
решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущем днём.
Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач
решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

7.

Компания
«Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001
году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года,
она получала прибыль, которая составляла прибыль 100% от капитала предыдущего
года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую
отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005
года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего
года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой
к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Справочный материал

Арифметическая прогрессия

Определение. Арифметической прогрессией называется
последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему
члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью
арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: ,  + d,  + 2d,  + 3d, … и обозначается знаком: ÷

Свойства арифметической прогрессии:

n-ный (общий) член арифметической прогрессии: 

Характеристическое
свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии,
начиная со второго, равен среднему арифметическому между предшествующим и
последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 —
убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть
ограниченным, либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов,
то ее сумму можно вычислить по формуле  или 

Геометрическая прогрессия

Определение. Числовая последовательность, первый член которой
отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему
члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется
геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия
имеет вид:

Свойства геометрической прогрессии:

q.

Для того чтобы
задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый
член и знаменатель q.

Последовательность
называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член
последовательности больше (меньше) предыдущего. Таким образом, если q > 0,
то прогрессия является монотонной последовательностью.

Однако, если q =
1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является
постоянной последовательностью.

Для нахождения
n-ого члена геометрической прогрессии есть формула:.

Характеристическое свойство

последовательность (b_n) является
геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная
со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов.

Для нахождения
суммы числа членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

 

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство,
а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что , т. е. произведение членов,
равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответы:

Медицина:

Задача №1

Ответ: 2
пузырька лекарства.

Задача №2

Ответ. За 6 дней.

Задача №3

Ответ. За 5 занятий.

Задача №4

Ответ.30*.

Задача №5

Ответ. 0,0002 г.

Задача №6

Ответ. 10 дней.

Задача №7

Ответ. 16 ран.

Физика:

Задача №1

Ответ: 110, 134, 158, 182, 206.

Задача №2

Ответ: 46,45.

Задача №3

Ответ: 7; 13,72; 19,208.

Задача №4

Ответ: 4.

Задача №5

Ответ:
глубина шахты 125м.

Математика:

Задача №1

Ответ: 5.

Задача №2

Ответ: 8.

Задача №3

Ответ: 2м, 6м, 18м.

Задача №4

Ответ: Значит,
альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Задача №5

Ответ. Работники выкопали колодец глубиной
13 аршин.

Задача №6

Ответ:

Задача №7

Ответ: 2, 6 и 18 м.

Биология:

Задача №1

Ответ: ..

Задача №2

Ответ:
Через 10 минут.

Задача №3

Ответ.

Задача №4

а)Ответ: 1012 .

б)Ответ. Нет, Sсуши
= 148 млн.

Задача №5

Ответ: 144.

Прогрессия в экономике и в банковской
системе:

Задача №3

Ответ:
124 416 рублей.

Задача №4

Ответ:
Первый приятель получил большую прибыль.

Задача №5

Ответ: 529.

Задача №6

Ответ: а) 1458 — после первого
усовершенствования станков, а после второго — 1548деталей.
            б) до первого усовершенствования — 213р. 84к.

                после первого
усовершенствования — 246р. 844к.

                после второго
усовершенствования — 255р. 42к.

Задача №7

Ответ: 9 колец.

Задача №8

Ответ: Более 32 000 000
долларов.

Интересные задачи:

Задача №1

Ответ:
164минуты.

Задача №2

Ответ:
192 минуты.

Задача №3

Ответ: 78
бревен.

Задача №4

Ответ. 21 раз.

Задача №5

Ответ: 78 бревен.

Задача №6

Ответ. 59 задач.

Задача №7

Ответ. 704000.

Список использованной литературы:

1.     
Алгебра. 9 класс. В 2 ч.Ч.1. Учебник
для общеобразовательных учреждений/А.Г.Мордкович.-9-е изд.,
стер.-М.:Мнемозина,2007-231с.

2.      Алгебра. 9 класс : учеб, для общеобразоват.
организаций. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под
ред. С. А. Теляковского. — 21-е изд. — М. 2014. — 271 с.

3.     
Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных
учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.:
Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)

4.     
Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.:
Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б.
Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В.
Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;

5.     
Математика.Подготовка к ЕГЭ-2017.Базовый уровень.
40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года: учебно методическое
пособие/Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.О. Иванова.-Растов-на
Дону:Легион,2016.-352с.

6.     
Перельман Яков Исидорович. Живая математика.
Математические рассказы и головоломки. 2007 год

7.     
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга
для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.;

8.     
Энциклопедический словарь юного математика /Сост.
А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.

Мама договорилась с Мишей,что в воскресенье он будет готовится к экзамену по математике,…

Мама договорилась с Мишей,что в воскресенье он будет готовится к экзамену по математике,…