Каталог заданий
Задания 4. Вероятности сложных событий. Математическое ожидание
Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 50 рублей. Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание выигрыша?
| Выигрыш | 10 | 50 | 100 | 5000 |
| Количество билетов |
990 | 6 | 3 | 1 |
2
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите 
— математическое ожидание этой случайной величины.
| Значения X | −4 | 0 | 1 | 3 |
| Вероятности | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
3
Монету подбрасывают до тех пор, пока орёл не выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа бросков.
4
Монету подбрасывают 8 раз. Найдите математическое ожидание количества выпавших орлов.
Пройти тестирование по этим заданиям
22
Апр 2019
Теория вероятностей
Математическое ожидание
Математическое ожидание.
В этой статье мы рассмотрим определение и свойства математического ожидания, а также рассмотрим примеры решения задач.
Рассмотрим некоторую случайную величину 
, которая может принимать числовые значения 
Пусть распределение вероятностей случайной величины задано таблицей:
Математическим ожиданием случайной величины называют число
Математическое ожидание 
называют также ожидаемым значением случайной величины , средним значением случайной величины .
Свойства математического ожидания.
Свойство 1. Пусть — случайная величина, 
— некоторое число. Рассмотрим случайную величину 
. Тогда
Свойство 2. Пусть 
и 
— две случайные величины. Тогда 
— тоже случайная величина, и при этом:
Это значит, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Свойство 3. Если случайная величина принимает значения 
с одинаковой вероятностью, то
Это значит, что если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание равно среднему арифметическому числовых значений случайной величины .
Пример 1. Страховой полис КАСКО в страховой компании стоит 35 000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,18, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50 000 рублей. С вероятностью 0,034 автомобилист попадает в серьезную аварию, и средняя сумма выплаты при этом 700 000 рублей. Найдите
- Математическое ожидание случайной величины «средняя сумма страховой выплаты»
- Математическое ожидание случайной величины «средний доход страховой компании от продажи одного полиса»
Решение. показать
Пример 2. Случайная величина 
задана распределением: 
- Сколько значений принимает случайная величина
? - Найдите математическое ожидание случайной величины .
Решение. показать
Пример 3. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 
к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 
. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.
Решение. показать
Пример 4. Баскетболист попадает в корзину с вероятностью 
. Найдите математическое ожидание числа попаданий при 50 бросках.
Решение. показать
Пример 5. Василий пытается отправить СМС в условиях слабой мобильной связи. Телефон делает попытки отправить СМС до тех пор, пока это не удастся. Известно, что вероятность удачной попытки равна 
независимо от предыдущих попыток. Найдите математическое ожидание числа сделанных попыток.
Решение. показать
Пример 6. Найдите математическое ожидание случайной величины 
«число неудач» в серии из 16 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 
в одном испытании.
Решение. показать
Пример 7. Найдите математическое ожидание случайной величины «число очков, выпавших на игральной кости».
Решение. показать
Пример 8. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.
Решение. показать
Репетитор по математике И.В. Фельдман
Что такое матожидание? |
|
|
| Приветствуем наших читателей!Что-то мы давно не вспоминали задачи 1 части ЕГЭ. Например, теорию вероятностей.
Мы привыкли к стандартным задачам по теории вероятностей. Но оказывается, что в сборниках заданий Ященко для подготовки к ЕГЭ есть другие. Например: «Найдите математическое ожидание случайной величины, заданной следующим распределением…» — и дана странная таблица в 2 строчки. Что это? Что такое математическое ожидание и как такое задание решать? Смотрите новое видео на нашем Ютьюб-канале. |
| ВИДЕО ПРО МАТОЖИДАНИЕ |
Оказывается, математическое ожидание – одна из основных характеристик случайных величин. Можно сказать, что это первый шаг в изучении математической статистики.
Смотрите видео. Узнаете, как решать необычную задачу из сборника Ященко. И еще мы посчитаем математическое ожидание выигрыша при игре в рулетку.
Больше секретов решения задач по теории вероятностей – в статьях на нашем сайте:
Теория вероятностей. Основные понятия, примеры решения задач.
Задание 4 ЕГЭ по математике.
Полезный лайфхак:
Обратите внимание: в большинстве задач по теории вероятностей мы рисуем схему возможных исходов события.
Знаете ли вы, что в теории вероятностей есть задача, названная не в честь ученого, а в честь ведущего телевизионного шоу? Да, это Парадокс Монти Холла. Здесь тот, кто знает теорию вероятностей, имеет больше шансов выиграть автомобиль. Потому что просто посчитает возможные исходы. А вы сможете это сделать?
Но конечно, теория вероятностей нужна не только для того, чтобы выигрывать в телевизионных шоу или в азартных играх. Это обширная область математики с практическим применением. Расчет рисков в бизнесе. Логистика и транспортные потоки. Квантовая физика. В самых разных научных и практических задачах применяются методы теории вероятностей. А вам стоит познакомиться с ними – хотя бы для того, чтобы отлично сдать ЕГЭ.
Подробнее про мой Онлайн курс
Каким будет наше следующее видео на Ютьюбе?
Напишите, что вам интересно. У нас есть варианты:
— Задача по теории вероятностей (была на нашем Репетиционном)
— Что такое параметр? Графический метод в задачах с параметрами
— Задача на арифметическую прогрессию.
Ответы присылайте на почту: online@ege-study.ru
Онлайн подготовка для любых целей:
Курс «11 класс, 80 баллов»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 54 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 3 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.
Курс «11 класс, 100 баллов»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 120 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 8 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.
Курс «10 класс»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 35 ч. онлайн занятий с Анной Малковой в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 2 репетиционных ЕГЭ.
Курс для преподавателей
— Вся теория профильного ЕГЭ, все задачи.
— 4 онлайн занятия в месяц (70 ч.).
— Мастер-классы по методике преподавания раз в месяц (18 ч.).
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Новое видео с разбором задачи из Ященко. Матожидание, что ты такое?» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
, множество возможных значений которой
конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие вероятности:
Если множество возможных
значений счетное, то
Причем математическое
ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.
Математическое ожидание
приближенно равно среднему значению случайной величины.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
,
возможные значения которой принадлежат всей оси
,
определяется равенством:
где
– плотность распределения случайной величины
.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу
,
то:
Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
Свойства математического ожидания
Свойство 1.
Математическое ожидание
константы равно этой константе:
Свойство 2.
Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3.
Математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Свойство 4.
Математическое ожидания
произведения случайных величин:
где
–
ковариация случайных величин
и
В частности, если
и
независимы, то
И вообще, для независимых случайных величин
математическое ожидание их произведения равно произведению математических
ожиданий сомножителей:
Смежные темы решебника:
- Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- Дискретная случайная величина
- Непрерывная случайная величина
Примеры решения задач
Пример 1
Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1=0,4; p2=0,3 и p3=0,6. Найти математическое
ожидание общего числа попаданий.
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина
, которая может принимать
только два значения:
1 –
попадание с вероятностью
0 –
промах с вероятностью
Математическое
ожидание числа попаданий при первом выстреле:
Аналогично
находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:
Общее
число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в
каждом из трех выстрелов:
Искомое
математическое ожидание:
Ответ:
Пример 2
Для случайных величин X,Y известны
характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρXY=0.35
Найдите математическое ожидание M(XY).
Решение
Коэффициент корреляции:
Искомое математическое ожидание:
Ответ:
Пример 3
Даны законы распределения двух независимых
случайных величин X и Y:
Требуется:
—
составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;
— найти
числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;
—
проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);
—
построить функцию распределения для
Z и построить ее график.
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Составим закон распределения
:
или
Проверка:
Закон
распределения величины
:
Найдем математические
ожидания:
Проверим
свойство:
– выполняется
Найдем
дисперсии:
Средние
квадратические отклонения:
Запишем
функцию распределения:
График функции распределения
Пример 4
Найти
математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.
Решение
Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через
, и на второй – через
.
Возможные
значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.
При этом
вероятность каждого из этих значений равна 1/6.
Математическое
ожидание числа очков, выпавших на первой кости:
Аналогично
математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:
Искомое
математическое ожидание:
Ответ:
.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Найти
математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что
M(X)=2; M(Y)=3.
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 2
Случайные
величины X и Y независимы и распределены
равномерно: X – в интервале (a,b), Y
– в интервале (c,d).
Найти математическое ожидание случайной величины Z.
a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?
Задача 3
Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y –
независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5,
M(Y)=2, D(Y)=2.
Задача 4
Независимые
случайные величины заданы законами распределения:
и
Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y.
Проверить свойства:
M(Z)=M(X)-M(Y)
D(Z)=D(X)+D(Y)
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 5
Независимые
случайные величины X и Y заданы следующими законами
распределения:
и
Найти
математическое ожидание случайной величины XY
Задача 6
Дискретная
случайная величина X принимает три возможных значения: x1=4 с вероятностью p1=0.5; x2=6 c вероятностью p2=0.3 и x3 с вероятностью p3. Найти x3 и p3, зная, что M(X)=8.
Задача 7
Дан
перечень возможных значений случайной величины X: x1=-1, x2=0, x3=1, а также известны
математические ожидания этой величины и ее квадрата:
M(X)=0.1, M(X2)=0.9.
Найти
вероятности p1, p2, p3 соответствующие возможным
значениям x1, x2, x3.
Задача 8
Дан
перечень возможных значений дискретной случайной величины X:
x1=1, x2=2, x3=3
А также
известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:
M(X)=2.3
M(X2)=5.9
Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям X.
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ