Математика егэ найдите наименьшее значение функции

Всего: 638    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите наибольшее значение функции y=10 синус x минус дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 7 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y=5 синус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 6 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y=4x минус 4 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка плюс 6 на отрезке левая квадратная скобка минус 6,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = 12 синус x минус дробь: числитель: 66, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 14 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = 14 синус x минус дробь: числитель: 48, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 22 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y=13 плюс 30x минус 4x корень из x на отрезке левая квадратная скобка 23;33 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y= левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка 6;8 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y=5 косинус x минус 6x плюс 4 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x на отрезке [−4,5; 0].

Найдите наибольшее значение функции y=8 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка минус 8x плюс 3 на отрезке левая квадратная скобка минус 6,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y= натуральный логарифм левая круглая скобка 11x правая круглая скобка минус 11x плюс 9 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 22 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 22 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = левая круглая скобка x минус 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 23 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка 22;24 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = 14 синус x плюс дробь: числитель: 72, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 26 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = 10x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка минус 9,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 11 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка минус 12x на отрезке левая квадратная скобка минус 10,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = 10 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 10x минус 21 на отрезке левая квадратная скобка минус 4,5;0 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y = 6x минус натуральный логарифм левая круглая скобка 6x правая круглая скобка плюс 17 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = натуральный логарифм левая круглая скобка 12x правая круглая скобка минус 12x плюс 16 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 24 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y = натуральный логарифм левая круглая скобка 19x правая круглая скобка минус 19x плюс 9 на отрезке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 38 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 38 конец дроби правая квадратная скобка .

Найдите наибольшее значение функции y= минус 15x в квадрате минус x в кубе плюс 6 на отрезке левая квадратная скобка минус 0,5;10 правая квадратная скобка .

Всего: 638    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная y меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+lnx-3.

Найдем производную функции.

y{

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная y меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.

Перед нами сложная функция y=2^{5-8x-x^2}. Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции y=2^{5-8x-x^2} будет при том же x_0, что и точка максимума функции tleft(xright)=5-8x-x^2. А ее найти легко.

t^{

t^{ при x=-4. В точке x = -4 производная {{ t}}^{{ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции { t}left({ x}right).

Заметим, что точку максимума функции tleft(xright)=5-8x-x^2 можно найти и без производной.

Графиком функции tleft(xright) является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение tleft(xright) достигается в вершине параболы, то есть при x=-frac{8}{2}=-4.

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}.

Напомним, что абсцисса — это координата по X.

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция y=sqrt{z} монотонно возрастает, точка максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2} является и точкой максимума функции tleft(xright)=4-4x-x^2.

Это вершина квадратичной параболы tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2-4x+4 на отрезке [-2;0].

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции y=x^3+2x^2-4x+4 с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

y

y

{3x}^2+4x-4=0;

D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x). Поскольку при xin [-2;0] функция y(x) убывает, y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12. В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 на отрезке [0,3;3].

Найдем производную функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 и приравняем ее к нулю.

y при x_1=1,x_2=frac{1}{4}.

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции yleft(xright). Точка x_2=frac{1}{4} не лежит на отрезке [0,3;1]. Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке left[0,3;1right] достигается при x=1. Найдем это значение.

y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции y=9x-{ln left(9xright)}+3 на отрезке left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{ln left(9xright)}+3=9x-{ln 9-{ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. y при x=frac{1}{9}.

Если  то  Если , то 

Значит, x=frac{1}{9} — точка минимума функции y(x). В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].

y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11 на отрезке left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].

Найдем производную функции y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11. y

Приравняем производную к нулю: 14-frac{7}{{cos}^2x}=0.

{cos}^2x=frac{1}{2}.

{cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}. Поскольку xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y если x=pm frac{pi }{4}.

Найдем знаки производной на отрезке left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].

При x=frac{pi }{4} знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, x=frac{pi }{4} — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при x=-frac{pi }{3} и x =frac{pi }{4}.

yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;

Мы нашли, что y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при -frac{pi }{3} не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-{8e}^x+9 на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

{{(e}^{-x})}^{

{left(e^{cx}right)}^{

{(e}^{x+a})

Найдем производную функции y=e^{2x}-{8e}^x+9.

y

y если e^x=4. Тогда x=ln4.

 При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x). yleft(ln4right)=4^2-8cdot 4+9=16-32+9=-7.

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi +6 на отрезке left[0;frac{pi }{2}.right]

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

y 12sinx=6sqrt{3};

sinx=frac{sqrt{3}}{2}.

По условию, xin left[0;frac{pi }{2}right]. На этом отрезке условие sinx=frac{sqrt{3}}{2} выполняется только для x=frac{pi }{3}. Найдем знаки производной слева и справа от точки x=frac{pi }{3}.

В точке x_0=frac{pi }{3} производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка x_0=frac{pi }{3} — точка максимума функции y(x). Других точек экстремума на отрезке left[0;frac{pi }{2}right] функция не имеет, и наибольшее значение функции { y=12cosx+6}sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}sqrt{{ 3}}{ }pi { +6} на отрезке left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right] достигается при { x=}frac{pi }{{ 3}}.

y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции y=16x-6sinx+6 на отрезке left[0;frac{pi }{2}right].

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции y=16x-6sinx+6 не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку cosxle 1, получим, что  для всех x, и функция yleft(xright)=16x-6sinx+6 монотонно возрастает при xin left[0;frac{pi }{2}right].

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right], то есть при x=0.

y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.

Ответ: 6

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Задача 1. Найдите точку максимума функции y=x^3-108x+11.

Решение: + показать

Задача 2. Найдите точку минимума функции y=21x^2-x^3+17.

Решение: + показать

Задача 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=x^3-15x^2+19 на от­рез­ке [5;15].

Решение: + показать

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции  y=2+9x-frac{x^3}{3} на отрезке [2;6].

Решение: + показать

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции y=3x^5-20x^3-54 на отрезке [-4;-1].

Решение: + показать

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции y=-3x^5-6x^3+14  на отрезке [-1;8].

Решение: + показать

Задача 7. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y=6+12x-2x^{frac{3}{2}}.

Решение: + показать

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции y=-frac{2}{3}xsqrt x+3x+8 на отрезке [1;9].

Решение: + показать

Задача 9. Най­ди­те точку минимума функ­ции y=-frac{x^2+25}{x}.

Решение: + показать

Задача 10. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=frac{x^2+900}{x} на [3;40].

 Решение: + показать

Задача 11. Найдите точку максимума функции y=frac{441}{x}+x+18.

Решение: + показать

Задача 12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.

Решение: + показать

Задача 13. Найдите точку максимума функции y=(x+11)^2cdot e^{3-x}.

Решение: + показать

Задача 14. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=(x-3)^2(x-6)-1 на  отрезке [4;6].

Решение: + показать

Задача 15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=ln(x+4)^9-9x  на от­рез­ке [-3,5;0].

Решение: + показать

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции y=6x-ln(6x)+17  на отрезке [frac{1}{12};frac{5}{12}].

Решение: + показать

Задача 17.  Найдите наименьшее значение функции y=2x^2-3x-lnx+13 на отрезке [frac{3}{4};frac{5}{4}].

Решение: + показать

Задача 18. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=e^{2x}-11e^x-1  на от­рез­ке [-1;2].

Решение: + показать

Задача 19. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=12sqrt{2}cosx+12x-3pi+9  на от­рез­ке [0;frac{pi}{2}].

Решение: + показать

Задача 20. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=-4x+2tgx+pi+16 на от­рез­ке [-frac{pi}{3};frac{pi}{3}].

Решение: + показать

Задача 21. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=9cosx+15x-4  на от­рез­ке [-frac{3pi}{2};0] .

Решение: + показать

Задача 22.  Найдите наименьшее значение функции y=4cosx+frac{15}{pi}x+9  на отрезке [-frac{2pi}{3};0].

Решение: + показать

Задача 23.  Найдите наименьшее значение функции y=5tgx-5x+6  на отрезке [0;frac{pi}{4}].

Решение: + показать

Задача 24. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(3-2x)cosx+2sinx+19, при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку (0;frac{pi}{2}).

Решение: + показать

* Замечание. Важно!  

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции  на отрезке [a;b] достигается на конце отрезка [a;b], а именно, в точке x=b.

hj

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке [a;b] следует выбрать наименьшую из величин:

1) y(x_{min}) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка [a;b]

2) y(a),  y(b).

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке [a;b] следует выбрать большую из величин:

1) y(x_{max}) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка [a;b]

2) y(a),  y(b).

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

тест

Вы можете пройти тест  “Исследование функции при помощи производной”

Источник

1. Элементарные функции

2. Применение формул производной произведения и частного

2.1 Найдите точку минимума функции y=(3-x)cdot e^{3-x}. Смотреть видеоразбор
2.2 Найдите точку максимума функции y=(x^2-10x+10)cdot e^{5-x}. Смотреть видеоразбор
2.3 Найдите наименьшее значение функции y=(x-1)e^x на отрезке [-1;1]. Смотреть видеоразбор
2.4 Найдите наибольшее значение функции y=(10-x)sqrt{x+2} на отрезке [-1; 7]. Смотреть видеоразбор
2.5 Найдите наименьшее значение функции y=2xsqrt{x}-9x+11 на отрезке [2; 9]. Смотреть видеоразбор
2.6 Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^2(x-4)+5 на отрезке [1; 3]. Смотреть видеоразбор
2.7 Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^{5-x}. Смотреть видеоразбор
2.8 Найдите точку минимума функции y=(10-x)e^{10-x}. Смотреть видеоразбор
2.9 Найдите наименьшее значение функции y=x^2+frac{25+x^2-x^3}{x} на отрезке [1; 10]. Смотреть видеоразбор

3. Применение формулы производной сложной функции

4. Тригонометрические функции

4.1 Найдите наибольшее значение функции y=8x-4tg;x-2pi+2 на отрезке [-frac{pi}{3}; frac{pi}{3}]. Смотреть видеоразбор
4.2 Найдите наименьшее значение функции y=4sin{x}+3cos{x} на отрезке [0; 7]. Смотреть видеоразбор
4.3 Найдите наибольшее значение функции y=2cos{x}-frac{18}{pi}x+4 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.4 Найдите наименьшее значение функции y=5sin{x}+frac{24}{pi}x+6 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.5 Найдите наибольшее значение функции y=3tg{x}-3x+5 на отрезке [-frac{pi}{4}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.6 Найдите наименьшее значение функции y=3cos{x}-frac{48}{pi}x+19 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.7 Найдите наименьшее значение функции f(x)=sin{x}+sqrt{1+sin^2{x}}. Смотреть видеоразбор
4.8 Найдите наибольшее значение функции y=33x-30sin{x}+29 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.9 Найдите точку максимума функции y=(2x-3)cos{x}-2sin{x}+5, принадлежащую промежутку (0; frac{pi}{2}). Смотреть видеоразбор
4.10 Найдите точку максимума функции y=(2x-1)cos{x}-2sin{x}+5, на промежутке (0; frac{pi}{2}). Смотреть видеоразбор
4.11 Найдите наибольшее значение функции y=2sin{x}-frac{36}{pi}x+9 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.12 Найдите наибольшее значение функции y=7sqrt{2}cos{x}+7x-frac{7pi}{4}+4 на отрезке [0; frac{pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.13 Найдите наибольшее значение функции y=12cos{x}+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi+6 на отрезке [0; frac{pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.14 Найдите наибольшее значение функции y=12tg;x -12x+3pi-7 на отрезке [-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}]. Смотреть видеоразбор
4.15 Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24x}{pi}+5 на промежутке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.16 Найдите наименьшее значение функции y=3+frac{5pi}{4}-5x-5sqrt{2}cos{x} на отрезке [0; frac{pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.17 Найдите наименьшее значение функции y=5cos{x}-6x+4 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.18 Найдите наибольшее значение функции y=15x-3sin{x}+5 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.19 Найдите наименьшее значение функции y=9cos{x}+14x+7 на отрезке [0; frac{3pi}{2}]. Смотреть видеоразбор
4.20 Найдите наименьшее значение функции y=7sin{x}-8x+9 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.21 Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24}{pi}x+5 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. Смотреть видеоразбор
4.22 Найдите наибольшее значение функции y=10sin{x}-frac{36}{pi}x+7 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. Смотреть видеоразбор

5. Логарифмическая и показательная функции

5.1 Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)^3 на отрезке [-2,5; 0]. Смотреть видеоразбор
5.2 Найдите наименьшее значение функции y=9x-ln(9x)+3 на отрезке [frac{1}{18}; frac{5}{18}]. Смотреть видеоразбор
5.3 Найдите наибольшее значение функции y=2x^2-13x+9cdot ln{x}+8 на отрезке [frac{13}{14}; frac{15}{14}]. Смотреть видеоразбор
5.4 Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+5)^5 на отрезке [-4,5; 1]. Смотреть видеоразбор
5.5 Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x-2)^7 на отрезке [-1,5; 0]. Смотреть видеоразбор
5.6 Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7. Смотреть видеоразбор
5.7 Найдите наименьшее значение функции y=log_{sqrt{3}}(x-4sqrt{x-2}+5) на отрезке [5; 10]. Смотреть видеоразбор
5.8 Найдите наименьшее значение функции y=4^x-2^{x+4}+100. Смотреть видеоразбор

6. Функции, в которых присутствует квадратичная в виде «вложенной»

6.1 Найдите наименьшее значение функции y=2^{x^2+100x+2503} Смотреть видеоразбор
6.2 Найдите наибольшее значение функции y=5^{-3x^2+18x-24}. Смотреть видеоразбор
6.3 Найдите точку максимума функции y=-sqrt{x^2-8x+17}. Смотреть видеоразбор
6.4 Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}. Смотреть видеоразбор
6.5 Найдите наибольшее значение функции y=log_5(4-2x-x^2)+3. Смотреть видеоразбор
6.6 Найдите точку максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}. Смотреть видеоразбор

7. Задачи на первообразную (не входят в ЕГЭ этого года)

7.1 Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1). Смотреть видеоразбор
7.2 Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2−2x−3 на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке. Смотреть видеоразбор
7.3 Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2-2x-3 на отрезке [0; 6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке. Смотреть видеоразбор
7.4 Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1). Смотреть видеоразбор
7.5 Один из двух нулей первообразной F(x) для функции f(x)=5x-1 равен -3. Найдите второй нуль. Смотреть видеоразбор
Источник

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$ $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$ ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ ${1}/{x}$
$log_{a}x$ ${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Источник

В этой статье мы разберём нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, интервале, в
бесконечности, а также повторим основные свойства функции и связанные термины.

Что такое функция

Наш мир — это огромная коллекция взаимосвязей, которые порой явно, а порой невидимо влияют на всех, кто в них
участвует. Ваше настроение может влиять на успеваемость в школе, питание — на спортивные достижения, навыки — на
возможность поступить в университет. В физическом мире температура влияет на скорость протекания процесса,
плотность тела — на его способность к плаванию в воде, угол падения лучей — на то, каким образом они будут преломляться, пройдя
через прозрачную призму.

Некоторые из этих взаимоотношений можно описать математически: обозначить участников буквами латинского алфавита и
описать их взаимосвязь через математические действия и знаки.

Функция — это правило, формула или выражение, которое описывает взаимосвязь двух величин.

Как описать зависимость пройденного пути от времени?

Есть ли правило, которое описывает отношение ускорения тела и силы, приложенной к нему? Да:

А что, если нужно вычислить зависимость остатка денег от количества купленных товаров? Пожалуйста:

, где

— остаток денег,

— исходная сумма,

— количество товара,

— стоимость товара за одну единицу.

В каждом из этих выражений есть зависимая и независимая переменные. Зависимая переменная — это и есть функция, а
независимая — аргумент. Так, в нашем последнем примере стоимость товара за одну его единицу
является независимой переменной (цену назначил продавец, и мы на это повлиять никак не можем). Зато остаток в
кошельке поддаётся изменениям — чем меньше мы купим товара, тем больше останется денег. И так в любой зависимости!

Обратите внимание

Зависимая переменная стоит слева от знака «равно» и определяется через выражение, содержащее аргумент.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Альтернативный текст для изображения

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Реши домашку по математике на 5.

Графическое задание функции

Представьте, что для школьной научной конференции вы готовите доклад о загрязнении окружающей среды. Как вы
думаете, что произведёт больший эффект на аудиторию:

  • перечисление статистических данных об увеличении количества мусора за последний год;

  • наглядная демонстрация роста загрязнений в виде графика?

Верно — иллюстрации, фотографии, графики и диаграммы говорят порой громче любых слов! 📈

Для наглядного отображения зависимости одной переменной от другой мы введём систему координат, в которой построим график.
График — это прямая, кривая или ломаная линия, которая была построена чётко по уравнению
(функции).

Как мы уже говорили, функция состоит из зависимой и независимой переменной. В декартовой системе координат
независимая переменная отображается с помощью оси

зависимая — с помощью оси

В зависимости от типа функции график может выглядеть, например, так:

Некоторые виды функций и соответствующие им графики

Наибольшее и наименьшее значение функции

На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее
численное значение принимает

— зависимая переменная.

Наибольшее значение функции

на некотором промежутке

— это значение

которое при любом значении

делает справедливым неравенство

Наибольшее значение функции

Теперь расшифровка! 😅 Если на данном интервале значение

больше, чем значение

в окрестностях точки

то такой

будет считаться наибольшим значением на данном промежутке.

Наименьшее значение функции

на некотором промежутке

— это значение

которое при любом значении

делает справедливым неравенство

Наименьшее значение функции

Если на данном интервале значение

меньше, чем значение

в окрестностях точки

то такой

будет считаться наименьшим значением на данном промежутке.

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках

Самый простой способ определить

и

— рассмотреть график.

Если заданный интервал представлен прямой:

  • при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее
    значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;

  • при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее
    значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках. Рисунок 1

Если заданный интервал представлен кривой:

  • максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы
    можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;

  • минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем
    определить как самую высокую точку относительно этого пика.

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках. Рисунок 2

Возможен и такой вариант, когда горы и овраги встречаются на одном промежутке — тогда мы просто объединяем оба
пункта для нахождения

и

Помним главное правило: максимальное значение функции всегда представлено самой
высокой точкой относительно оси

минимальное значение функции — самой низкой точкой.

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках. Рисунок 3

Определение наименьшего и наибольшего значения через производную

Удобен ли способ нахождения

и

через график? Определённо!
Всегда ли его можно использовать? К сожалению, нет.

Дело в том, что большинство заданий в алгебре на эту тему даются не через график, а через уравнение функции.
Зачастую эти функции сложные, и построение их графиков займёт время. Ошибётесь в построении — допустите ошибку и в
нахождении максимального и минимального значения, а нам это не нужно.

Способ, который не уступает первому в простоте и лаконичности, заключается в определении производной функции и
поиске стационарных точек. Кажется, нам встретились два новых термина — давайте их разберём.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно
малом приращении аргумента.

Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция

при бесконечно малом увеличении

По сути, найти производную означает провести определённые действия с помощью таблицы производных
функций. Обязательно загляните в нашу статью об этом и изучите материал, а мы пока пойдём дальше.

Стационарная точка — точка, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.

Дело в том, что по теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать
вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее/наименьшее значение функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

  1. Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок.

  2. Найдём производную данной функции.

  3. Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).

  4. Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в
    них.

  5. Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них.

  6. Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Разберём пару примеров.

Задача 1

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

Решение:

  1. ОДЗ:

  4. не попадает в промежуток

    Найдём значение функции только в крайних точках:

  5. Тогда

    является наименьшим значением на данном отрезке, а

    наибольшим.

Задача 2

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

Решение:

  1. ОДЗ:

  3. , но в таком случае знаменатель равен нулю, что невозможно. А значит, производная
    не обращается в нуль, стационарных точек нет.

  4. Найдём значение функции в крайних точках отрезка:

    — точка максимума на промежутке;

    — точка минимума на промежутке.

Решение задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале

В чём отличие отрезка от интервала? В отрезке определены крайние точки, в интервале же крайние точки могут не
существовать (например

), или значение функции в них мы рассматривать не будем (на интервале

мы рассмотрим значение функции в окрестностях этих точек, но не в них самих).

Вариантов задания интервала может быть множество, но каждый из них сведёт определение

и

к поиску производной и вычислению пределов в крайних точках, например

и

Вернёмся на пару шагов назад. А что такое предел функции?

Если говорить коротко, то предел функции — это такое число

, к которому функция стремится, в то время как аргумент стремится достичь числа

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале. Рисунок 1

Предположим, наша функция представлена уравнением

Найдём предел функции при

подставив это значение вместо

в уравнение:

Это означает, что функция стремится приблизиться к числу

в то время как аргумент тоже приближается к этому значению. В отрыве от настоящего
уравнения мы могли бы представить это так:

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале. Рисунок 2

Функция может стремиться не только к рациональному
числу, но также и к бесконечности. В таком случае при подстановке бесконечности в функцию возникает
неопределённость, которую необходимо решить разными методами.

В рамках этой статьи мы не можем посвятить этому много времени, поэтому ждём Вас на курсах математики в онлайн-школе
Skysmart — там ни один предел не останется незамеченным. 😉

Вернёмся к функции! Итак, как же определить наибольшее и наименьшее значение на интервале?

  1. Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный интервал.

  2. Найдём производную данной функции.

  3. Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).

  4. Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в
    них.

  5. Возьмём крайние точки интервала и вычислим значение предела в этих точках (согласно типу интервала).

  6. Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для вычисления предела вам поможет сводная таблица, которая учитывает вид интервала:

Если при вычислении одностороннего предела вы получаете бесконечность, то вычислить наибольшее/наименьшее
значение невозможно.

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале. Рисунок 3

Задача 3

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции

на всём промежутке области определения.

Решение:

  1. ОДЗ:

  3. Найдём стационарные точки:

  4. Точка

    входит в промежуток области определения и является точкой минимума.

  5. Так как

    — парабола, ветви которой направлены вверх, мы не можем определить точку
    максимума.

Cегодня мы на славу потрудились и разобрали множество важных вопросов:

  • что такое функция, какой она бывает;

  • что такое наименьшее и наибольшее значение функции;

  • как определить

    и

    на отрезке;

  • как находить наименьшее и наибольшее значение функции на интервале;

  • что такое предел и производная.

Вот и ещё одна тема по математике стала понятнее! А если всё же остались вопросы, спешим ещё раз пригласить вас на уроки математики в Skysmart — мы постараемся ответить на них, закрепить материал и попрактиковаться в решении задач. Обещаем, будет увлекательно и безумно интересно!

Источник

Прототипы задания №11 ЕГЭ по математике профильного уровня — наибольшее и наименьшее значение функций. Практический материал для подготовки к ЕГЭ.

Для успешного выполнения задания №11 необходимо уметь выполнять действия с функциями.

Практика

time4math.ru Скачать задания
math100.ru Степенные, иррациональные и дробные функции

Логарифмические функции

Показательные функции

Тригонометрические функции

Исследование функций без помощи производной
Куйда О. В. скачать презентацию

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 4.1, 4.2 

Уровень сложности задания — повышенный.

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 9

Связанные страницы:

Прототипы задания №2 профильного ЕГЭ 2022 по математике

Решение 17 задания ЕГЭ по профильной математике

Задание 5 ЕГЭ по математике профильный уровень — стереометрия

Задание 4 ЕГЭ по математике (профиль) — вычисления и преобразования

Задание 11 ЕГЭ 2022 по математике: «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Математика егэ мускул
  • Математика егэ 99620
  • Математика егэ 8049
  • Математика егэ 7795
  • Математика егэ 77494

    • Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: