Математика профиль егэ описанная окружность

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

$OD$ – это радиус $(r)$ вписанной окружности

$r={2S_{ABC}}/{a+b+c}$

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S={P∙r}/{2}$

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети высоты данного треугольника.

$r={h}/{3}$

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

$r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

В трапеции и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, радиус вписанной окружности равен половине высоты.

$r={h}/{2}$

В квадрате радиус вписанной окружности равен половине стороны.

$r={a}/{2}$

Площадь любого многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S={P∙r}/{2}$

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник- вписанным в эту окружность.

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Центром описанной окружности является точка $(О)$ пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

$ОА$ — радиус описанной окружности $(R)$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен две трети высоты данного треугольника.

$R={2h}/{3}$

Центр описанной окружности может находиться в различных положениях относительно треугольника:

1. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

2. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит снаружи треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

$R={c}/{2}$

Радиус описанной окружности можно найти как:

$R={a}/{2sin⁡A}={b}/{2sin⁡B}={c}/{2sin⁡C};$

$R={a∙b∙c}/{4S}$, где $S$ — это площадь заданного треугольника.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

$R={d}/{2}$

Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей:

$АВ=an$ — сторона правильного многоугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$r$ — радиус вписанной окружности

$n$ — количество сторон и углов

$a_n=2∙R∙sin{180°}/{n};$

$r=R∙cos{180°}/{n};$

$a_n=2∙r∙tg{180°}/{n}.$

Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

$∠О=∪BmA$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

$∠B={∪AmC}/{2}$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него.

$∠B={∪BmC}/{2}$

Теория к заданию 6 ЕГЭ профильной математики

ПЛАНИМЕТРИЯ. Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая. Вписанные и описанные окружности (теория к заданию 6 ЕГЭ профильной математики)

Учим и применяем формулы и теоремы.

Автор: Лариса Алькаева. Репетитор по математике

Из материала:

Отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хордой.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметром.

Центральный угол — угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Подготовка к ЕГЭ «Вписанные и описанные окружности»

Вписанные и описанные окружности

Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле ,

здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны . Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника , если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

∠ + ∠ = ∠ + ∠

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

,

где — длины сторон треугольника, — его площадь.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Точки A , B , C , D , расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB , BC , CD и AD , градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD . Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Центр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Условие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

ЕГЭ Профиль №3. Описанные окружностиadmin2022-08-01T16:07:25+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №3. Описанные окружности

Задача 1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 122.
Задача 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71°, 145°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 108.
Задача 3. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 60.
Задача 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 70.
Задача 5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 110.
Задача 6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 40.
Задача 7. Сторона правильного треугольника равна (sqrt 3 ). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 8. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен (sqrt 3 ). Найдите сторону этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 3.
Задача 9. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 2.
Задача 10. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 4,5.
Задача 11. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 6.
Задача 12. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 8.
Задача 13. В треугольнике ABC угол С равен 90°, (AC = 4,;;BC = 3.)  Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 2,5.

Задача 14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 2.
Задача 15. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6? Ответ ОТВЕТ: 6.
Задача 16. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 17. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 30.
Задача 18. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 3.
Задача 19. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 1.
Задача 20. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 150.
Задача 21. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Ответ ОТВЕТ: 25.
Задача 22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции. Ответ ОТВЕТ: 6.
Задача 23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. Ответ ОТВЕТ: 6.
Задача 24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции. Ответ ОТВЕТ: 7.
Задача 25. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 122.
Задача 26. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности. Ответ ОТВЕТ: 24.
Задача 27. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108°. Найдите число вершин многоугольника. Ответ ОТВЕТ: 5.

Угол ABD можно найти, используя градусную меру дуги AD, на которую он опирается. Градусная мера дуги AD равна разности значений градусных мер дуг AC, содержащей точку D, и CD. Найдем эти значения:

Известно, что градусная мера дуги, на которую опирается угол в два раза больше значения самого угла.

Отсюда градусная мера дуги AС, содержащая точку D, равна:

cup AC=2cdot angle ABC=2cdot 116^{circ}=232^{circ}

Градусная мера дуги CD равна:

cup CD=2cdot angle CAD=2cdot 72^{circ}=144^{circ}

Тогда градусная мера дуги AD равна:

cup AD=cup AC-cup CD=232^{circ}-144^{circ}=88^{circ}

Искомый угол ABD равен:

angle ABD=88^{circ}:2=44^{circ}

Слайд 1

Вписанные и описанные окружности.

Слайд 2

Окружность вписанная в многоугольник и описанная около него Центр окружности -точка пересечения серединных перпендикуляров Центр окружности -точка пересечения биссектрис углов многоугольника Если в трапецию вписана окружность, то Сумма оснований равна сумме боковых сторон; Радиус окружности равен половине высоты ; Если соединить вершины трапеции с центром окружности, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам прямоугольные.

Слайд 3

Окружность вписанная в многоугольник и описанная около него Параллелограмм, вписанный в окружность- прямоугольник. Параллелограмм, описанный около окружности- ромб.

Слайд 12

Окружность вписанная в правильный многоугольник и описанная около него Правильный треугольник К вадрат Правильный шестиугольник Правильный п -угольник

Слайд 17

Задание 16 К окружности, вписанной в квадрат ABCD , проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

Слайд 18

Вписанная и описанная окружности прямоугольного треугольника

Слайд 21

Вписанная и описанная окружности произвольного треугольника

Слайд 27

Задание 16 В треугольник ABC вписана окружность радиуса 2, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 4 и CM = 6. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC .

Слайд 28

Задание 16 Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ 1 С 1 б) Вычислите радиус данной окружности, если ВС=10 , и площадь треугольника АВ 1 С 1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ 1 С 1 .

13 августа 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Разбор всех типов задач на вписанную и описанную окружность из ЕГЭ по профильной математике

Видеоразбор всех прототипов задач под номером 3 из профильного ЕГЭ по математике. Объяснение базовых правил и принципов решения.

v-oo.pdf

Автор: Марсель Нуртдинов.

Источник: vk.com/marsel_tutor