Первообразная егэ профиль теория

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Функция	Первообразная
$f(x)=k$	$F(x)=kx+C$
$f(x)=x^m, m≠-1$	$F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$
$f(x)={1}/{x}$	$F(x)=ln|x|+C$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x+C$
$f(x)=a^x$	$F(x)={a^x}/{lna}+C$
$f(x)=sinx$	$F(x)-cosx+C$
$f(x)=cosx$	$F(x)=sinx+C$
$f(x)={1}/{sin^2x}$	$F(x)=-ctgx+C$
$f(x)={1}/{cos^2x}$	$F(x)=tgx+C$
$f(x)=√x$	$F(x)={2x√x}/{3}+C$
$f(x)={1}/{√x}$	$F(x)=2√x+C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
2. Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
3. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

1. Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
2. Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
3. Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$ 

Формула Ньютона — Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Определение первообразной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции – это функция, от которой взяли производную и получили .

Например:

• Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)’ = 2x = f(x)

• Функция F(x) = х³+6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)’ = 3х² = f(x)

* — Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х²+5, F(x) = х²+17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВООБРАЗНОЙ

Пусть имеется график функции На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком Требуется найти площадь, ограниченную графиком осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции .

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной (то есть ), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке – F(b).

2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке — F(a).

3. Вычислить F(b) — F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

Напомним определение первообразной.

Значит, (displaystyle f(x)) – производная (displaystyle F(x).)

По условию требуется найти точки, в которых (displaystyle f(x)=0{small .}) Следовательно, нужно найти точки, в которых производная (displaystyle F(x)) равна нулю.

В условии дан график функции (displaystyle y=F(x){small.}) Для этой функции (displaystyle F(x)) верно, что (displaystyle F^{prime}(x)=0) только в точках экстремума.

Поэтому найдем количество точек экстремума функции (displaystyle F(x){small,}) принадлежащих отрезку (displaystyle [-2;,4]{small:})

Получаем (displaystyle 10) точек экстремума на отрезке (displaystyle [-2;, 4]{small.})

Значит, имеется (displaystyle 10) точек, принадлежащих отрезку (displaystyle [-2;, 4]{small,}) в которых (displaystyle f(x)=0{small.})

Ответ: (displaystyle 10{small.})

10
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Первообразная. Интеграл

2013-08-10
2018-12-01

Автор: egeMax |

комментария 4

6
задание ЕГЭ (профиль математика).Производная и первообразная

1 задача

На
рисунке изображён график функции  и касательная к нему в точке с
абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в
точке x₀.

Решение. 

Значение производной в точке касания равно
угловому коэффициенту касательной f(x₀)=k

y=kx+b

(-6;0),(2;-2)

0= -6 k+b

-2=2k+b

Ответ: −
0,25.

2 задача

Решение:

Значение производной  функции в точке
,равно угловому коэффициенту касательной,
проведённой к графику этой функции в данной точке,т.е. k= 

Пусть уравнение касательной к графику функции в точке    имеет вид y=kx+b.             

(-1;5),(-4;2)- точки, лежащие на касательной.

5=k(-1)+b

2=k∙(-4)+b

_-1k+b=5

   -4k+b=2

 

 -1k+4k=5-2

      3k=3

         k=1

Ответ: 1

3.На рисунке изображен график
функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y =
12 или совпадает с ней.

Решение:

Поскольку касательная параллельна
прямой y = 12 или совпадает с ней, их угловые
коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению
производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума
функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и
3 минимума, итого 5 экстремумов. Таким образом, касательная к графику
функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней в
5 точках.

Ответ: 5.

4 задача 

На
рисунке изображён график функции y = f(x),
определённой на интервале (−4; 4). Найдите корень уравнения f ’(x) = 0.

Решение:

Производная изображенной на рисунке
функции f(x) равна нулю в точке экстремума, точке х=2-точке
максимума .

Ответ: 2.

5.На рисунке изображены график функции  и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции  в точке x₀.

Решение:

1)Найдём производную функции g(x):

2)найдём значение  Значение
производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной

()=к

 (0;2),(5;4)

Составим систему уравнений

y=кх+b

к∙0+b=2

к∙5+b=4

b=2       к∙5+2=4

            к∙5=4-2

            к∙5=2

            к=0,4

Поэтому 

3)Тогда для искомого значения получаем

Ответ: 3,6.

6 задача  

На
рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x).
На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, x₃,
…, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых
производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите
количество найденных точек.

Решение. 

Производная функции отрицательна на тех
интервалах, на которых функция убывает. Если сторону клетки принять за единицу,
то функция убывает на интервалах (−4,4; −0,7) и (2,6; +∞). В них содержатся
точки x₄, x₅, x₉.
Их 3 штуки. 

Ответ: 3.

7
задача

Решение:

5 целых решений

Ответ:
5

8 задача 

Функция  определена и
непрерывна на интервале  На рисунке изображен
график её производной. Найдите промежутки возрастания функции  В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

 Промежутки
возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам,
на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4).
В силу непрерывности функция f(x) возрастает на интервале
(−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма
равна 3.

 (Точку х=1 включаем, так как по условию функция  определена
и непрерывна на интервале ,а точка 1 в него входит)

Ответ: 3.

9.Материальная точка движется прямолинейно
по закону  (где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах,
измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент
времени t = 9 с.

	Производная расстояния по времени — скорость. Производная скорости — ускорение.

Решение:

(t)=v

(t)=12t-48

(9)=12∙9-48=60

Ответ:60

10 задача

Решение:

11 задача

На
рисунке изображен график производной функции  Найдите
абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна
прямой  или совпадает с ней.

Решение:

Значение
производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку
касательная параллельна прямой  или совпадает с ней, она
имеет угловой коэффициент равный 2 и  Осталось
найти, при каких x производная принимает значение 2. Искомая
точка  

Ответ: 5.

12 задача

Решение:

Прямая х=0 -ось
ординат .

8 точек
пересечения

Ответ
: 8

13
задача

Решение:

4 точки экстремума
(отмечены синим цветом)

Ответ:4

14
задача

Решение:

Решение:

х=-3 точка
максимума

Наибольшее
значение достигается в ней

Ответ:-3

15
задача

Решение:

Касательная к графику функции f(x)=x² -3x+5  параллельна прямой y=4x+13.

Cледовательно, их  угловые
коэффициенты  равны,т.е k=4

Пусть -абсцисса точки касания. 
Значение производной  функции в точке ,равно угловому коэффициенту
касательной,проведённой к графику этой функции в данной точке,т.е. k= 

=4

=2x-3                 

=2x₀-3            

2x₀-3=4

=7

х₀=7:2

х₀=3,5

        х₀=3,5   -абсцисса точки касания

Ответ: 3,5

16.Прямая  является касательной к
графику функции  Найдите c.

Решение:

 f(x)=

f()=15-28+c

(x)=30x-28

()=30-28

Уравнение касательной   y= f()+()(x—)

 y=(15-28+c)+( 30-28)(x-)

y=15-28+c+( 30-28)x- ( 30-28)

y= ( 30-28)x- ( 30-28) +15-28+c

y= ( 30-28)x- 30+28+15-28+c

y= ( 30-28)x—
15+c  
— касательная

                 
— касательная

30-28=2

— 15+c  
=5

=1      с=20

Ответ:20

17 задача

Решение:

                        возр        
убыв         возр       убыв         возр        убыв  
       

                              
‘                ‘               ‘                ‘             
‘                   ‘                                                                            -4        
+        -1        —              0    +                  1   
—              3         +               7,5       —        9   
х     

целые числа , в которых производная функции положительна
:

-3;-2;4;5;6;7

Шесть   целых  чисел, в которых производная функции  положительна

Ответ:6

18
задача

Функция  определена и
непрерывна на отрезке  На рисунке изображен график её производной. Найдите
промежутки возрастания функции  В ответе укажите сумму целых
точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

Функция  определена и
непрерывна на отрезке 

 Промежутки
возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам,
на которых её производная неотрицательна, то есть полуинтервалам (−6; −5,2] и
[1,7; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на
отрезках [−6; −5,2] и [1,7; 5]. Данные промежутки содержат целые точки −6, 2,
3, 4 и 5. Их сумма равна 8.

Ответ: 8.

19 задача

Решение:

Согласно
определению первообразной выполняется равенство (х)=f(x).Поэтому
уравнение f(x)=0 можно записать в виде(х)=0.

Так как на рисунке
изображен график функции y=F(x),то
надо найти то точки промежутка ,в которых производная
функции y=F(x)
равна нулю. Это будут абсциссы точек минимума и максимума  графика y=F(x)

11 (обратите
внимание –не забыть точки -2 и 5)

Ответ:11

20
задача

Решение:

Согласно
определению первообразной выполняется равенство (х)=f(x).Поэтому
уравнение f(x)=0 можно записать в виде(х)=0.

Так как на рисунке
изображен график функции y=F(x),то
надо найти те точки промежутка ,в которых производная
функции y=F(x)
равна нулю. Это будут абсциссы точек минимума и максимума  графика y=F(x)

7

Ответ:7

21
задача

Решение:
1)Касательная к графику функции F(x)
параллельна прямой y=-x+2.

Имеют одинаковый
угловой коэффициент k=-1

2)По
геометрическому смыслу производной )=k
,т.е  )=-1

3)По определению
первообразной (х)=f(x)

4)
f(x)=-1

Проводим прямую y=-1
и считаем количество точек пересечения с графиком y=f(x)

Ответ
:7

22
задача

Решение:

S=
F(-7)-F(-9)=(-(-7)³-6∙(-7)²—∙(-7)-1)-(-(-9)³-6∙(-9)²—∙(-9)-1)=
—(-7)³-6∙(-7)²—∙(-7)-1+(-9)³+6∙(-9)²+∙(-9)+1=-294+—+486-=-+192=-191+192=1

Ответ:1

23.На рисунке изображён график
некоторой функции  y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком,
вычислите F(8) — F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции .

Решение:

Согласно геометрическому смыслу первообразной F(8)-F(2), есть площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x)  и прямыми x=2,х=8,y=0

Площадь закрашенной голубым цветом
фигуры (прямоугольной трапеции c основаниями 4 и 6 и высотой 3) есть

∙3=15

Искомую площадь можно также посчитать и
как сумму площадей прямоугольника (3∙4=12) и прямоугольного треугольника ().

Ответ: 15

24задание

Решение:

Найти разность F(5)-F(1)
т.е найти

Значение может
быть и отрицательным

Найдем площадь
фигуры ,как сумму  площадей прямоугольника, площади трапеции и площади
треугольника

4+∙3+=4+10,5+2=16,5

F(5)-F(1)=-16,5
(так как график расположен под осью ох)

Ответ: 
-16,5

25.На рисунке изображён график некоторой
функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь
рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) —
одна из первообразных функции f(x).

Решение:

Разность
значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции  Поэтому

Плошадь  фигуры
можно найти также ,как сумму площадей прямоугольника и треугольника

S=2∙1+∙2∙5=7

Ответ:7.

26 задача

Решение:

Так как дан график
функции y=F(x),то
для f(x)
для нее будет производной

Значит ,дан график
функции ,а надо посмотреть поведение ее производной

Найти наибольшее
значение, следовательно, рассмотрим промежутки возрастания

Точка  х= 2 не
подходит в ней (х)=0

В точке х=4
значение функции f(x)
наибольшее

Ответ:
4