Первообразная и ее применение
04.05.2020
862
0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Первообразная» из раздела «Начала математического анализа». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10 минут.
0
0
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ:
2
3
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
Ответ:
4
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ:
5
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Ответ:
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Ресурс содержит презентацию и тест для самостоятельной работы. Тест составлен в 4 вариантах. Предназначен для подготовки к ЕГЭ. Цели ресурса: Образовательные: повторить и закрепить знания о первообразной функции и её свойствах, научиться применять знания при решении конкретных задач. Развивающие: развивать умение анализировать условие задачи. Воспитательные: воспитание аккуратности, внимательности, быстроты мышления.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Слайд 1
Подготовка к ЕГЭ Задание №7 (первообразная)
Слайд 2
1) На рисунке изображён график функции y = F( x ) — одной из первообразных функции f ( x ), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f ( x ) = 0 на отрезке [−2; 4].
Слайд 3
2 ) На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F( x ) — одна из первообразных функции f ( x ).
Слайд 4
3 ) На рисунке изображён график функции y = f ( x ). Функция — одна из первообразных функции y = f ( x ). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Слайд 5
4 ) На рисунке изображён график функции y = f ( x ). Функция — одна из первообразных функции y = f ( x ). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Слайд 6
5 ) На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл .
Слайд 7
При подготовке презентации были использованы материалы с сайтов: https://www.uchportal.ru / https://ege.sdamgia.ru /
Предварительный просмотр:
|
ФИ_________________________________________________________В 1
Ответ:___________________
Ответ:___________________
Функция Ответ:___________________
Функция Ответ:___________________ |
ФИ_________________________________________________________В 2
Ответ________________________________
Ответ:___________________
Функция Ответ:___________________
Функция Ответ:___________________ |
|
ФИ__________________________________________________________В 3
Ответ_____________________
Ответ_____________________
Функция Ответ:___________________
Функция Ответ:___________________ |
ФИ_________________________________________________________В 4
Ответ____________________
Ответ_____________________
Функция Ответ:___________________
Функция Ответ:___________________
|
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Построение профиля задание С1 ЕГЭ по географии
При выполнении ЕГЭ по географии в задании С1 требуется выполнить профиль по топографической карте. Данный цикл занятий направленный на формирование у одинадцати классников умения выполнять этит тип за…
Варианты ЕГЭ математика (профиль), задания 1-12.
Варианты ЕГЭ математика (профиль), задания 1-12. Задания варианта соответствуют заданиям демоверсии ЕГЭ. При составлении вариантов использованы задания открытого банка заданий ЕГЭ. Ответы прилагаются….
- Мне нравится
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Первообразная функции»
Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема
Задание №1164
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.
Ответ
10,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1158
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1155
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{5+3}{2}cdot 3=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1149
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1146
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №907
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).
Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №307
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).
F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.
F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.
F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.
Ответ
576
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №306
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x).Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
F(9)-F(3)=S, где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9. Рассмотрим рисунок ниже.
Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2. Ее площадь равна frac{6+1}{2}cdot2=7.
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №104
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На координатной плоскости изображен график функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
.png)
Показать решение
Решение
На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1, а по оси ординат графиком функции: f(x). Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1, по формуле определенного интеграла:
intlimits_{-4}^{-1}f(x)dx=F(-1)-F(-4)
Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:
F(-1)-F(-4)=
=frac13-frac52+4+2-frac{64}{3}+frac{80}{2}-16-2=
=-frac{63}{3}+frac{75}{2}-12=-21+37,5-12=4,5
Ответ
4,5
Задание №103
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2). Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5].
Показать решение
Решение
Формула первообразной имеет следующий вид:
f(x) = F'(x)
По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0, то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.
Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.
На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6. Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.
.png)
Ответ
3
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Первообразная
18.02.2020.
Тест. Алгебра, 11 класс
Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!
Список вопросов теста
Вопрос 1
Как называют функцию s(t), такую, что s‘(t) = v(t)?
Варианты ответов
-
Производная функции v (t)
-
Первообразная функции s (t)
-
Первообразная функции v (t)
Вопрос 2
В каком случае функция F (x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке?
Варианты ответов
-
Если для всех x из этого промежутка F ‘(x) = f(x)
-
Если для всех x из этого промежутка F (x) = f(x)
-
Если для всех x из этого промежутка F (x) = f ‘(x)
-
Если для всех x из этого промежутка F ‘(x) = f ‘(x)
Вопрос 3
Чему равна производная постоянной?
Вопрос 4
Чему равна производная функции f(x) = 10x + 101?
Вопрос 5
Верно ли, что функция sin x является первообразной функции f(x) = cos x?
Варианты ответов
- Верно
- Неверно
Вопрос 6
Верно ли, что функция cos x является первообразной функции f(x) = sin x?
Варианты ответов
- Верно
- Неверно
Вопрос 7
Найдите все первообразные функции f(x) = ex.
Варианты ответов
-
F (x) = ex + C
-
F (x) = ex
-
F (x) = e + C
Вопрос 8
Сопоставьте функции и их первообразные.
1.
F (x) = cos 3x — 5
2.
F (x) = 2 + sin 4x
3.
F (x) = x4
Варианты ответов
-
f (x) = 4x3
-
f (x) = -3sin 3x
-
f (x) = 4cos 4x
Вопрос 9
Для функции x -2 найдите такую первообразную на промежутке x > 0? график которой проходит через точку (1; 3).
Варианты ответов
-
F (x) = 4 — x -1
-
F (x) = 4 — x -2
-
F (x) = 1 — x
-
F (x) = 3 — x -2
Вопрос 10
Отметьте функции, которые являются первообразными функции f(x) = 2cos 2x.
Варианты ответов
-
F (x) = 2sin 2x
-
F (x) = sin 2x + 1,5
-
F (x) = sin 2x
-
F (x) = 2sin 2x + 9
-
F (x) = sin 2x — 15
В7 по теме «Первообразная»
Тренировочная
|
1.На рисунке |
|
|
|
2.На рисунке |
|
|
|
№3.На рисунке |
|
|
|
№4. На |
|
|
|
№5.На рисунке |
|
(два
,
—
.
.
—
.
.
.
Пользуясь
1. На рисунке
изображён график функции y = F(x) — одной из
первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале
(−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения
f(x)=0 на отрезке [−2;4].
Решение. По определению
первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно, решениями
уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной
на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0;
0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек.
Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение 
имеет
10 решений.
Ответ:10.
2. На рисунке
изображён график некоторой функции 
(два
луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите 
,
где 
—
одна из первообразных функции 
.
Решение.
Разность значений
первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке
трапеции 
Поэтому
Ответ:7.
3. 
На рисунке изображён
график функции 
. Функция 
—
одна из первообразных функции 
. Найдите
площадь закрашенной фигуры.
Решение.
Площадь выделенной фигуры
равна разности значений первообразных, вычисленных в точках 
и 
Имеем:
Приведем другое
решение.
Получим явное выражение для 
Поскольку
имеем: 
Примечание. Внимательный
читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного
куба:
что позволяет сразу же найти 
Ответ:6.
4. 
На рисунке изображён
график некоторой функции 
.
Функция 
—
одна из первообразных функции 
. Найдите
площадь закрашенной фигуры.
Решение.
Найдем формулу, задающую функцию
график
которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции
получен
сдвигом графика функции 
на 
единиц
влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади
фигуры, ограниченной графиком функции 
и отрезком
оси
абсцисс. Имеем:
Ответ: 4.
5. 
На рисунке изображен
график некоторой функции 
Пользуясь
рисунком, вычислите определенный интеграл 
Определенный интеграл
от функции 
по отрезку
дает
значение площади подграфика функции 
на отрезке.
Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь
которого 
и прямоугольник,
площадь которого 
Сумма
этих площадей дает искомый интеграл
Ответ:12.
Тренировочные задания В7 по теме «Первообразная»
|
1.На рисунке |
|
|
|
2.На рисунке |
|
|
|
№3.На рисунке |
|
|
|
№4. На |
|
|
|
№5.На рисунке |
|
(два
,
—
.
.
—
.
.
Пользуясь
Тренировочные задания В7 по теме «Первообразная»
|
1.На рисунке |
|
|
|
2.На рисунке |
|
|
|
№3.На рисунке |
|
|
|
№4. На |
|
|
|
№5.На рисунке |
|
(два
,
—
.
—
.
.
.
Пользуясь
В7. по теме «Первообразная
и интеграл».Вариант 1 Ф.И_____________________
|
1 |
|
На рисунке |
|
2 |
|
На рисунке |
|
3 |
|
На рисунке изображён |
|
4 |
|
На рисунке изображён |
|
5 |
|
На рисунке |
и одной
.
на
(два
,
—
(два
,
—
.Вычислите 
—
В7 по теме
«Первообразная и интеграл».Вариант 2 Ф.И_____________________
|
1 |
|
На рисунке |
|
2 |
|
На рисунке изображён |
|
3 |
|
На рисунке изображён |
|
4 |
|
На рисунке |
|
5 |
|
На рисунке изображён |
,
,
—ЕГЭ Профиль №6. Первообразная
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №6. Первообразная
| Задача 1. На рисунке изображён график функции (y = Fleft( x right)) — одной из первообразных некоторой функции (fleft( x right)), определённой на интервале (left( { — 3;;5} right)). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения (fleft( x right) = 0) на отрезке (left[ { — 2;;4} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 10. |
 |
| Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите (Fleft( 8 right) — Fleft( 2 right)), где (Fleft( x right))— одна из первообразных функции (fleft( x right)).
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
 |
| Задача 3. На рисунке изображен график некоторой функции (y = fleft( x right)). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл (intlimits_1^5 {fleft( x right)} ,dx)
Ответ
ОТВЕТ: 12. |
 |
| Задача 4. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = {x^3} + 30{x^2} + 302x — frac{{15}}{8}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
 |
Задача 5. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = — {x^3} — 27{x^2} — 240x —  — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
 |
| Задача6 . На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = frac{1}{2}{x^3} — frac{9}{2}{x^2} + 14x — 12) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
 |
| Задача 7. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = — {x^3} — frac{9}{2}{x^2} — 6x — frac{{123}}{7}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
 |
| Задача 8. На рисунке изображён график функции (y = Fleft( x right)) — одной из первообразных некоторой функции (fleft( x right)) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. В скольки из этих точек функция (fleft( x right)) положительна?
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
 |
| Задача 9. На рисунке изображён график функции (y = Fleft( x right)) — одной из первообразных некоторой функции (fleft( x right)) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольки из этих точек функция (fleft( x right)) отрицательна?
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |