Показательные функции егэ профиль математика

Всего: 25    1–20 | 21–25

Добавить в вариант

Всего: 25    1–20 | 21–25

Показательная функция

Показательная функция — это функция y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1.

Это одна из интереснейших функций в математике, и рассказ о ней мы начнём с древней индийской легенды.

Однажды царь узнал, что в его стране один мудрец изобрел замечательную игру — шахматы. Царь приказал доставить мудреца к себе во дворец, сыграл с ним несколько партий, и шахматы очень понравились ему. В восторге царь сказал мудрецу: «Выбирай себе любую награду. Всё получишь, чего ни пожелаешь!»

А мудрец ответил: «Пусть на первую клетку шахматной доски положат одно пшеничное зерно. На вторую — два, на третью — четыре, и на каждую следующую в два раза больше, чем на предыдущую. Всё это зерно и будет моей наградой».

Царь рассмеялся, решив, что мудрец, должно быть, спятил, раз просит о такой ничтожной вещи, как кучка зерна, но приказал слугам всё исполнить. И на первую клетку шахматной доски положили одно зерно (2⁰ = 1), на вторую два (2¹ = 2), на третью 2² = 4. На десятой клетке уже не помещались 2⁹ = 512 зёрен…

Несколько дней царский казначей вычислял требуемое количество зёрен. Оказалось, что выполнить просьбу мудреца невозможно — даже если все поля нашей планеты засеять пшеницей!

Зависимость, о которой говорится в легенде, описывается функцией y = 2^x. Построим её график. Для этого посчитаем значения функции при целых x, нанесём точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y					1	2	4	8	16

Мы видим, что эта функция является возрастающей, и растёт она очень быстро. Более того — чем больше значение x, тем больше в этой точке крутизна графика. То есть растёт не только функция, но и её производная.
Теперь построим график функции :

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	16	8	4	2	1

Эта функция — убывающая. Её график зеркально симметричен графику функции y = 2^x относительно оси Y.

Заметим, что при построении этих графиков мы сделали одно допущение.

Мы уже знаем, что такое степень с рациональным показателем — об этом рассказывается в статье «Степени и корни». Но понятия степени с иррациональным показателем мы не вводили (например, — что это такое?). Интуитивно мы чувствуем, что функция y = 2^x определена для всех действительных x и её график должен быть непрерывной линией, однако доказательство этого выходит за рамки школьного курса.

Тем не менее, свойства показательной функции y = a^x активно используются при решении задач. Перечислим наиболее важные из них.

1. Область определения функции — все действительные числа: D(y) = R.

2. Область значений функции: E(y) = (0; ).

3. Поскольку a⁰ = 1, график проходит через точку (0, 1).

4. При a > 1 функция возрастает. При 0 < a < 1 функция убывает:

Функцию вида f (x) = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции f (x) = aˣ:

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Простейшие показательные уравнения

Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

a^x = b, где а > 0, а ≠ 1. Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = log_a b.

Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

• Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4^x лучше писать 2²ˣ, а вместо 0,01^x — вообще 10⁻²ˣ;
• В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Помните: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;
• Если все сделано правильно, получим уравнение вида a ^{f (x)} = a ^g(x), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f (x) = g (x), которое легко решается.
• Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

= ; = ; = = .

Задача. Решите уравнение: 4^x = .

Решение:

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4^x = (2²)^x = 2^2x; 1 = 2⁰; 256 = 2⁸.

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

4^x = 2^2x = 2^2x = 2⁰⁻⁸ 2^2x = 2⁻⁸.

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2x = −8 ⇒ x = −4.

Ответ: −4.

Задача: Решите уравнение: 9^2x = .

Решение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

9^2x = (3²)^2x = 3^4x; 1 = 3⁰; 27 = 3³.

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

9^2x = 3^4x = 3^4x = 3⁰⁻³ 3^4x = 3⁻³.

Осталось избавиться от основания степени:

4x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75.

Ответ: −0,75.

Как часто школьники сталкиваются с проблемой нехватки времени на экзамене! А ведь для решения последнего примера не хватило всего 10 минут… Чтобы избежать подобных ситуаций существует такое понятие, как рационализация. Этот метод позволяет сократить время на решение показательных функций в 4-5 раз. К сожалению, рационализацию не всегда преподают в школе, хотя она могла бы серьезно помочь выпускникам при решении 14 задания ЕГЭ по математике.

Не стоит отчаиваться – перед вами цикл видео, посвященных этой теме. С их помощью вы сможете легко справляться с решением различных логарифмических примеров. Главный эксперт ЕГЭ и член проверочной комиссии Михаил Попов рассмотрит несколько видов рационализации.

Перед вами первое видео, где рассматривается пример типа: log_x(х-3)*log₃(х²-3)*log_x2(х+4)≥0. Казалось бы, миссия невыполнима, но, помимо проверенного метода “в лоб”, есть возможность применить метод замены множителя. Это более простой способ решения подобных задач – нужно только немного попрактиковаться его использовать.

Подробный разбор задания 14 ЕГЭ по математике 2023. Рационализация ч. 2

В следующем видео наш эксперт рассмотрит еще один случай, когда рационализация достаточно часто встречается и применяется. Речь идет о примере, где логарифмы имеют одинаковые основания. В задании 14 ЕГЭ по математике профильный уровень 2023 года бывают и разные основания логарифмов – в этом случае, чтобы применить рационализацию, сначала необходимо привести их к одному основанию.

Всего за несколько минут опытный преподаватель Михаил Попов в прямом смысле разжует тему и разложит по полочкам все корни неравенства. Вы также узнаете, за что можно получить минус балл и на какие моменты обратить внимание при записи ответов в бланки.

Как решать неравенства – разбор 14 задания ЕГЭ по математике

Снова разбираем пример с одинаковыми основаниями типа: a^b>a^c. Берем ту же табличку, которую использовали в предыдущих роликах, и заполняем. После наносим полученные значения на график функции и получаем искомый ответ. Оказывается, решение 14 задания ЕГЭ по математике не такое уже и сложное!

Использование рационализации и метода замены множителя позволит вам успешно справиться с показательными функция на ЕГЭ. Несколько баллов плюсом – это отличная заявка на получение аттестата с отличными оценками. А без успешной сдачи ЕГЭ по математике вам не поступить в один из лучших российских ВУЗов, после которого можно устроиться на высокооплачиваемую работу.

Хотите пройти полный курс? Записывайтесь на бесплатный пробный урок по математике! Опытные преподаватели и проверенная программа обучения в учебном центре Годограф дают каждому возможность сдать на 80+ баллов такой сложный предмет, как математика.

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример: