ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравнения
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Логарифмические уравнения»
Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Задание №887
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения 5^{log_{25}(10x-8)}=8.
Показать решение
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},
log_{25}(10x-8)=log_58,
log_{5^2}(10x-8)=log_58,
frac12log_5(10x-8)=log_58,
log_5(10x-8)=2log_58,
log_5(10x-8)=log_58^2,
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
10x=72,
x=7,2.
Ответ
7,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №885
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).
Показать решение
Решение
28+4x=18-x,
5x=-10,
x=-2.
Сделаем проверку.
log_3(28+4cdot(-2))=log_3(18-(-2)),
log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.
Ответ
-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №288
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Показать решение
Решение
Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.
Так как 2=log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и xneq8, то получаем уравнение log_{x-7}81=log_{x-7}(x-7)^2.
Поэтому (x-7)^2=81,
x-7=pm9,
x_1=16,
x_2=-2.
x_2=-2 решением не является, так как x>7.
Ответ
16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №287
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(12-x)=4.
Показать решение
Решение
Так как 4=log_33^4=log_381, то log_3(12-x)=log_381,
12-x=81,
x=-69.
Ответ
-69
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №286
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.
Показать решение
Решение
log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,
log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),
log_6(5x+27)=log_6(18+6x),
5x+27=18+6x,
x=9.
Проверка:
log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,
log_672=log_612+1,
log_672=log_672.
x=9 — корень уравнения.
Ответ
9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №284
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{14}(x-3)=log_{14}(8x-31).
Показать решение
Решение
x-3=8x-31,
7x=28,
x=4.
Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №34
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_42^{2x+5}=4.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a}b=x Leftrightarrow a^x=b
Значит:
log_{4}2^{2x+5}=log_{4}256
2^{2x+5}=256
2^{2x+5}=2^8
2x+5=8
2x=3
x=frac{3}{2}=1,5
Ответ
1,5
Задание №33
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_4(2-x)=log_{16}25.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a^k}x=frac{1}{k}log_{a}x, kneq 0
Получим:
log_{4}(2-x)=log_{4^2}25
log_{4}(2-x)=frac{1}{2}log_{4}25
2log_{4}(2-x)=log_{4}25
log_{4}(2-x)^2=log_{4}25
(2-x)^2=25
|2-x|=5
2-x=5
x=-3
Ответ
-3
Задание №26
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_7(9-x)=3log_73.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
log_7(9-x)=log_73^3
Раскроем знак логарифма:
9-x=3^3
9-x=27
-x=27-9
x=-18
Ответ
-18
Задание №25
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_2(7-x)=5.
Показать решение
Решение
Раскроем знак логарифма по формуле
log_ab=c Leftrightarrow b=a^c
и выполним преобразования:
7-x=2^5
7-x=32
-x=32-7
x=-25
Ответ
-25
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
$log_{2}8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$
$log_3{1}/{27}=-3$, т.к $3^{-3} = {1}/{27}$.
Особенно можно выделить три формулы:
$log_{a}a=1;$
$log_{a}1=0;$
$log_{a}a^b=b.$
Основное логарифмическое тождество:
$a^{log_{a}b}=b$
Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$
$4^{log_{4}5}=5$;
$3^{-2log_{3}5}=(3^{log_{3}5})^{-2}=5^{-2}={1}/{25}$
Некоторые свойства логарифмов
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:
$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{3}3^10=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_{a}b>0$, а если по разные, то $log_{a}b<0$.
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lgb$ вместо $log_{10}b$.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2,7$. При этом пишут $ln b$, вместо $log_{e}b$
Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
$log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше $0$.
Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
1. Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$
$log_{2}x=3$
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2
$log_{2}x=log_{2}2^3$
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
$x = 8$
Ответ: $х = 8$
2. Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:
${table f(x)=g(x); f(x)>0; g(x)>0;$
$log_3(x^2-3x-5)=log_3(7-2x)$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
$x^2-3x-5=7-2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
$x^2-x-12=0$
$x_1=4,x_2= -3$
Проверим найденные корни по условиям: ${table x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
Ответ: $х= -3$
3. Уравнения квадратного вида ${log_a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.
4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.
Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$
Решение:
Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$
$log_5(log_2(x+1))=log_{5}5$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
$log_2(x+1)=5$
Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
$log_2(x+1)=log_{2}2^5$
$x+1=32$
$x=31$
ОДЗ данного уравнения $x+1>0$
Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.
Ответ: $31$
Задание 971
Найдите корень уравнения $$3^{log_9 (5x-5)}=5$$
Ответ: 6
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$3^{log_9 (5x-5)}=5Leftrightarrow 3^{frac{1}{2}log_3 (5x-5)}=5 Leftrightarrow$$ $$ 3^{log_3 sqrt{5x-5}}=5Leftrightarrow sqrt{5x-5}=5 Leftrightarrow$$ $$ 5x-5=25Leftrightarrow x=6$$
Задание 1010
Найдите корень уравнения $$log _{2} (-x) + log _{2} (2-x) = 3$$ .Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.
Ответ: -2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$log _{2} (-x) + log _{2} (2-x) = 3$$
$$-x > 0 ; 2 — x > 0 Leftrightarrow x<0$$
$$log _{2} ((-x) *(2-x)) = log _{2} 8$$
$$-2x+x^2=8$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$x_1=4 — не входит в ОДЗ ; x_2 =-2$$
Задание 3653
Найдите корень уравнения $$log_{0,5}(5-3x)=-5$$
Ответ: -9
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$log_{0,5}(5-3x)=-5$$
ОДЗ: $$5-3x>0$$
$$x<frac{5}{3}$$
$$5-3x=(0,5)^{-5}=2^{5}=32$$
$$-3x=32-5=27$$
$$x=-9$$
Задание 6607
Решите уравнение $$7*5^{log_{5} x}=x^{2}-30$$. Если корней несколько, то в ответе укажите меньший корень
Ответ: 10
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
ОДЗ: x>0(1)
$$7*x=x^{2}-30Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x-30=0$$
$$left{begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\x_{1}x_{2}=-30end{matrix}right.Leftrightarrow$$ left{begin{matrix}x_{1}=10\x_{2}=-3notin (1)end{matrix}right.$$
Задание 7051
Найдите корень уравнения $$log_{0,5} (x+5)=log_{2} (x+5)$$
Ответ: -4
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$log_{0,5}(x+5)=log_{2}(x+5)Leftrightarrow$$ $$log_{2^{-1}}(x+5)=log_{2}(x+5)Leftrightarrow$$ $$(-1)log_{2}(x+5)=log_{2}(x+5)Leftrightarrow$$ $$2log_{2}(x+5)=0Leftrightarrow$$ $$x+5=1Leftrightarrow$$ $$x=-4$$
Задание 7314
Найдите корень уравнения $$frac{1}{log_{4} (2x+1)}=-2$$
Ответ: -0,25
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{1}{log_{4}(2x+1)}=-2Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}log_{4}(2x+1)=-frac{1}{2}\2x+1>0\2x+1neq 1end{matrix}right.$$$$Leftrightarrow$$ $$2x+1=4-frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$2x+1=frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$x=-0,25$$
Задание 9056
Найдите корень уравнения $$log_{2}(8-x)=2log_{2}(4+x)$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.
Ответ: -1
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 9139
Решите уравнение $$frac{log_{2}4}{x}=frac{3^{log_{3}x}}{2}$$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите меньший из них.
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 9939
Решите уравнение: $$log_{frac{1}{8}}x+5log_{4}x+log_{sqrt{2}}x=16frac{2}{3}$$
Ответ: 16
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 10125
Решите уравнение $$log_{30-3cdot2^x}(2^x-3)^2=log_{2^x-2}(2^x-3)^2$$. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
Ответ: 5
Скрыть
Задание 10159
Найдите произведение всех корней уравнения $$sqrt[3]{10+3x-x^2}cdotlg(7-x-x^2)=0$$
Ответ: 12
Скрыть
Задание 10478
Решите уравнение $$ln(frac{pi^{x}}{e^{x}}+2x-10)=x(ln pi-1)$$. Если корней больше одного, то в ответе запишите их сумму.
Ответ: 5
Задание 10488
Решите уравнение $$frac{5}{log_{2}x+3}+frac{4}{log_{2}x}=3$$. Если корней несколько, в ответе укажите их произведение.
Ответ: 1
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 10567
Найдите произведение всех различных корней уравнения: $${{log }_3 x }-6cdot {{log }_x 9 }=3$$
Ответ: 27
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$${{log }_3 x }-6cdot {{log }_x 9 }=3;
Mleft(xright):left{ begin{array}{c}
x>0 \
xne 1 end{array}
right.$$
Учтем, что $${{log }_x 9 }=2cdot {{log }_x 3 }=frac{2}{{{log }_3 x }}$$; Замена: $${{log }_3 x }=y$$;
$$y-6cdot frac{2}{y}=3to frac{y^2-3cdot y-12}{y}=0to left{ begin{array}{c}
y_1+y_2=3 \
y_1cdot y_2=12 end{array}
right.$$ т.е. $${{log }_3 x_1+{{log }_3 x_2=3to {{log }_3 {(x}_1cdot x_2)=3to x_1cdot x_2=27 } } }$$
Задание 11266
Решить уравнение: $$frac{lg sqrt{x+11}-lg 2}{lg 8 -lg(x-1)}=-1$$
Ответ: 25
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
