Решение логических задач в егэ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Семигорская средняя общеобразовательная школа»

Проект по математике

«Решение логических задач

для подготовки к ЕГЭ»

Семигорск, 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Основная часть

Что такое «логика», «логическая задача».

Основные Методы решения логических задач:

1.Метод рассуждения;

2. Метод таблиц;

3. Метод алгебры высказываний;

4. Метод решения с помощью полупрямой;

5. Метод решения с помощью кругов Эйлера;

6. Задачи на смекалку.

Заключение

Список литературы

Паспорт проекта

Название проекта: Решение логических задач для подготовки к ЕГЭ

Описание проблемы: Не все школьники умеют решать логические задачи, электронный сборник помог бы разобраться в решении часто встречающихся задач из сборников ЕГЭ по математике базового уровня.

Проблемные вопросы: Как успешно научиться решать логические задачи, при подготовке к ЕГЭ по математике?

Аннотация: Наша жизнь — это постоянное решение больших и маленьких логических задач или проблем. Жуть будет сложно без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно.

Довольно часто мы, сами того не замечая, решаем логические задачи. Логические задачи развивают умение делать анализ, обобщать данные, искать различные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность.  Логические задачи сейчас очень популярны и они должны входить в наше развитие и образование с самых ранних лет.

Чтобы успешно логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление, успешно подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня.

Характеристика проекта

Цель проекта: Научиться успешно решать логические задачи.

Задачи проекта:

1) изучить литературу по данной теме, познакомиться с понятием «логика», «логическая задача»;

2) изучить основные методы решения логических задач;

3) создать электронный сборник логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

Планируемые результаты: овладение способами решения логических задач базового уровня, успешная сдача ЕГЭ по математике.

Продукт проекта: Создание электронного сборника логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

Необходимое оборудование: компьютер, мультимедиапроектор.

ВВЕДЕНИЕ

При подготовке к ЕГЭ по математике умения решать логические задачи очень важно, это возможность получить дополнительные баллы, найти подход к решению задач через логику. Логическое мышление и знание основ математики поможет справиться со многими заданиями из ЕГЭ по математике.

Логические задачи отличаются от других математических задач тем, что не имеют определенного алгоритма действий для отыскания их решения, не задаются формулами, не требуют сложных вычислений, а требуют умения логически рассуждать.

Все мы когда-то пытались решать логические задачи, но сталкивались с этим редко, так как на уроках математики эта тема затрагивается мало. Хотя это очень увлекательно и интересно.

При составлении школьных математических олимпиад используют много различных задач, где надо применять логическое мышление. Умение решать логические задачи часто встречается и в разных жизненных ситуациях, например на отдыхе, в спорте, да и просто в разговоре с собеседником.

Проблема:  Как успешно научиться решать логические задачи, при подготовке к ЕГЭ по математике? Не все школьники умеют решать логические задачи, электронный сборник помог бы разобраться в решении часто встречающихся задач из сборников ЕГЭ по математике базового уровня.

Актуальность: Наша жизнь — это постоянное решение больших и маленьких логических задач или проблем. Жить будет сложно без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно.

Довольно часто мы, сами того не замечая, решаем логические задачи. Логические задачи развивают умение делать анализ, обобщать данные, искать различные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность.  Логические задачи сейчас очень популярны и они должны входить в наше развитие и образование с самых ранних лет.

Гипотеза: Чтобы успешно решать логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление, успешно подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня.

Цель: Научиться успешно решать логические задачи.

Задачи:

1) изучить литературу по данной теме, познакомиться с понятием «логика», «логическая задача»;

2) изучить основные методы решения логических задач;

3) создать электронный сборник логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

Методы исследования:

1. Поисковый метод (сбор и изучение информации).

2. Обобщение теоретического материала.

Продукт проекта: электронный сборник логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Что такое «логика», «логическая задача»

Ло́гика — «наука о правильном мышлении», «способность к рассуждению» от др.-греч. λόγος — «логос», «рассуждение», «мысль», «разум», «смысл») — нормативная наука о законах, формах и приёмах интеллектуальной деятельности.

Логика, как наука, возникла в недрах древнегреческой философии. Далее в течение почти двух с половиной тысячелетий до второй половины XIX века логика изучалась как часть философии и риторики. Начало современной логики, построенной в форме исчисления, положил Г. Фреге в сочинении «Begriffsschrift» .

Основная сущность логики, её цель и функция всегда оставались неизменными: исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом рассматриваются только такие выводы, которые зависят только от способа связи и строения входящих в вывод утверждений, а не их конкретного содержания. Изучая, как одни мысли следуют из других, логика выявляет наиболее общие формальные условия правильного мышления. При этом сфера конкретных интересов логики в выявлении условий формального вывода на протяжении её истории существенно менялась.

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). А любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или вообще отсутствуют. То есть – логические задачи отличаются от обычных тем, что в них чаще не требуется умение вычислять, а требуется умение рассуждать.

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Существуют разные типы логических задач и разные способы их решения: Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.

Основные Методы решения логических задач

1. Метод рассуждения.

Самый примитивный способ решения простых логических задач — метод рассуждения. Его суть заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий задачи. Таким образом, мы постепенно приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Например:

1.1 В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Решение:

Так как среди любых 12 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 11. Так как среди любых 20 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 19. А так как всего в корзине 30 грибов, то груздей ровно 11, а рыжиков ровно 19.

1.2. Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

Решение.

Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 16 − 11 =  5 досок.

1.3. Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

Решение.

Если от каждых из 8 столбов отходит по 5 проводов, то между каждыми парами таких столбов ровно 5 проводов. Всего имеем 8:2 = 4 пар и

4∙5 = 20 проводов

2. Метод таблиц.

Суть метода состоит в оформлении условий задачи и полученных результатов логических рассуждений в виде таблицы. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками + и -.

2.1 В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофёр старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.

2.2 В семье четверо детей. Им 5,8,13 и 15 лет. Их зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?

2.3 Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил:  «Ни первое, ни четвёртое»; Борис сказал : «Второе», а Вова заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?

3. Метод алгебры высказываний.

Алгебра высказываний изучает способы построения и закономерности высказываний. Но её цель ― не всестороннее изучение, а их истинностная оценка. Именно это и является определяющим свойством высказывания. Оно не может быть одновременно и истинным, и ложным. Пусть имеется несколько простейших высказываний, о каждом из которых точно известно, истинно оно или ложно. Причем имеются как истинные высказывания, так и ложные.

3.1 Когда учитель физики Николай Дмитриевич ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он не ведёт урок.

2) Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он ведёт урок.

3) Если Николай Дмитриевич проводит на уроке лабораторную работу по физике, значит, его телефон выключен.

4) Если Николай Дмитриевич ведёт урок физики, значит, его телефон включён.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение.

1) Утверждение следует из приведённых данных.

2) Утверждение не следует из приведённых данных, оно противоречит поставленному условию.

3) Утверждение следует, так как лабораторная работа это тоже урок, следовательно, телефон Николая Дмитриевича обязательно будет выключен.

4) Утверждение не следует из приведённых данных, так как при проведении урока Николай Дмитриевич обязательно выключает телефон.

Ответ: 13

3.2 Двадцать выпускников одного из 11 классов сдавали ЕГЭ по математике. Самый низкий балл, полученный среди них, был равен 36, а самый высокий — 75.

Выберите утверждения, которые следуют из данной информации.

1) Среди этих выпускников есть человек, который получил 75 баллов за ЕГЭ по математике.

2) Среди этих выпускников есть два человека с равными баллами за ЕГЭ по математике.

3) Среди этих выпускников нет человека, получившего 72 балла за ЕГЭ по математике.

4) Баллы за ЕГЭ по математике любого из этих двадцати человек не ниже 35.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и

других дополнительных символов.

Решение.

1) Это так, иначе это не был бы самый высокий балл в классе. 2) Учеников 20, а различных результатов за ЕГЭ, которые могли бы быть   Таким образом, необязательно у каких-то двух учеников есть одинаковый балл.

3) Такой человек мог быть, нам об этом ничего не известно.

4) Баллы всех двадцати учеников не меньше 36, значит, они также не меньше 35.

Ответ: 14

3.3 Некоторые сотрудники фирмы летом 2021 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче.

Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Сотрудник этой фирмы, который летом 2021 года не отдыхал на даче, не отдыхал и на море.

2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2021 года или на даче, или на море, или и там, и там.

3) Если Галина летом 2021 года не отдыхала ни на даче, ни на море, то она является сотрудником этой фирмы.

4) Если сотрудник этой фирмы летом 2021 года не отдыхал на даче, то он отдыхал на море.

Решение.

1) Нет, так как если сотрудник отдыхал на море, то он обязательно отдыхал и на даче.

2) Да, так как все сотрудники, не отдыхавшие на море, отдыхали на даче, то есть, нет таких, которые нигде не отдыхали.

3) Да, так как все сотрудники фирмы отдыхали на даче, а некоторые из них отдыхали еще и на море.

4) Нет, см. п. 1.

Ответ: 23

4. Метод решения с помощью полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

4.1. Виктор старше Дениса, но младше Егора. Андрей не старше Виктора. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

Егор самый старший из указанных четверых человек.

Андрей и Егор одного возраста.

Виктор и Денис одного возраста.

Денис младше Егора.

Решение. Построим модель описанной ситуации, отмечая на прямой правее старшего мальчика.

Д

А

В

Е

Ответ: 14.

4.2. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята? [3]

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени».

а ) Вика стоит впереди Сони, но после Аллы

б) Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, значит он – крайний слева

в) Боря и Алла не стоят рядом, Борис не находится рядом с Денисом, значит место Бориса – после Вики

Ответ: Алла, Вика, Борис, Соня, Денис.

4.3. При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Леопард тяжелее верблюда

2) Жираф тяжелее леопарда.

3) Жираф легче тигра.

4) Жираф самый тяжелый из всех этих животных.

Решение. Отметим данные задачи на полупрямой, причем тех животных, которые тяжелее, будем отмечать правее.

ЖЖ

ВЛ

ЛЛ

Т

Ответ: 24

5. Метод решения с помощью кругов Эйлера

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Данный метод позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

5.1. В фирме N работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают английский язык, а 20 -немецкий. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1).В фирме N хотя бы три сотрудника знают и английский, и немецкий языки.

2).В этой фирме нет ни одного сотрудника, знающего и английский, и немецкий языки.

3).Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и немецкий

4).Не более 20 сотрудников этой фирмы знают и английский, и немецкий языки.

Р ешение: построим диаграмму, используя условия. Получается, что английский и немецкий языки знают 10 человек.

Ответ: 14.

5 .2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение. Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом занимаются 5 человек.

Ответ. 5 человек занимаются только спортом.

5.3. В 7-А учится 38 человек. Ученики увлекаются разными спортивными играми: 16 – баскетболом, 17 – хоккеем, 18 – футболом. Одновременно баскетбол и хоккей любят 4 человека, баскетбол и футбол – 3, хоккей и футбол – 5, а 3 ученика не интересуются спортом. Есть ли ученики, увлекающиеся всеми спортивными играми?

Решение. Все ученики класса – наибольшая окружность. Круг «Б» — баскетболисты, «Х» — хоккеисты, «Ф» — футболисты, «x» — универсальные спортсмены. Трое неспортивных учеников просто находятся в общем круге. Баскетболисты, входящие в множество «Б», но не входящие в зоны пересечения со множествами «Х» и «Ф»:16 – (4 + x + 3) = 9 – x

П о аналогии, находим количество хоккеистов:17 – (4 + x + 5) = 8 – x.

Футболисты: 18 – (3 + x + 5) = 10 – x.

Чтобы определить значение x, нужно суммировать множества учеников.

3 + (9 – x) + (8 – x) + (10 – x) + 3 + 4 + 5 + x = 38;

42 – 2 x = 38;

x = 2.

Соответственно, Б = 7, Ф = 8, Х = 6.

Ответ: 2 человека увлекаются всеми спортивными играми.
6. Задачи на смекалку

Существуют такие задания, решение которых зависит только от здравого смысла, сообразительности и смекалки того, кому они заданы. Решение задач на смекалку помогает развивать нестандартность мышления и внимание.
Так как же их решать?

Во-первых – внимательно прочитайте задание. Проанализируйте каждое условие и утверждение – верны они или нет. Часто ответ задачи на смекалку лежит на поверхности и становится очевиден, если найдено несоответствие условия задачи с реальностью.
Во-вторых – будьте внимательны, когда визуально представляете картинку, описанную в задаче. Задание зачастую нарочно запутывает отгадывающего.
В-третьих – не сдерживайте свое мышление в определенных рамках, отпустите его. Именно нестандартность мышления часто помогает найти выход в запутанной ситуации.
6.1. Квартира Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)
Решение: 462 : 7 = 66 квар­тир, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир. Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже. Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.
6.2 Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 14 м. За сколь­ко дней улит­ка доползёт от ос­но­ва­ния до вер­ши­ны дерева?

Решение: Улитка за день под­ни­ма­ет­ся вверх на 4 м, а опус­ка­ет­ся вниз на 2 м. Итого за сутки она про­дви­га­ет­ся на 2 м. За 5 суток она под­ни­мет­ся на 10 м. За 6 день улитка поднимется ещё на 4 м и окажется на высоте 14 м, то есть она до­стиг­нет вер­ши­ны дерева.

Ответ: 6.

6.3 Каждую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бактерии. Известно, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?

Решение: Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше бактерий. То есть если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд то есть через 3599 секунд.

Ответ: 3599 секунд

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, на основе изученного материала можно с уверенностью сделать вывод о том, что умение решать логические задачи является необходимым в повседневной жизни для того, чтобы справляться не только с учебой, но и с жизненными ситуациями. Чтобы успешно решать логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление, успешно подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня, эту гипотезу полностью подтверждаю. Были изучены материалы учебно-методической литературы, материалы из интернета. Решено множество задач.

Моя работа направлена на изучение способов решения логических задач, встречающимся в КИМах ЕГЭ базового уровня по математике, итогом работы является созданный электронный сборник логических задач с разборами решений.

Чтобы успешно их решать, нужно знать способы решения, иметь развитое логическое мышление, обладать графической культурой. Задачи на логическое мышление, как правило, требуют не столько большого объема знаний, сколько умения эти знания применить. С уверенностью могу сказать, что логические задачи на едином государственном экзамене по математике базового уровня решу верно. Моя гипотеза подтвердилась.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Интернет источники

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/

2. https://pandia.ru/text/80/398/205.php

3. https:// infourok.ru/zadachi-na-smekalku-podgotovka-k-ege-bazoviy-uroven-2105271.html

4. https://www.kakprosto.ru/kak-38069-kak-reshit-zadachu-na-smekalku

5. http://xn—-etbbfc5ae1a3k.xn--p1ai/?base=zadachi-na-smekalku

6.https://www.google.com/search?q=%D1%80%D0%B5%D1%88%D1%83+%D0%B5%D0%B3%D1%8D+2022

7. ЕГЭ 2022. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2022 – 190 с.

8. ЕГЭ 2022. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 12 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2022 – 72 с.

9. ЕГЭ 2022. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 50 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2022 – 350 с.

Всего: 191    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 191    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Задача 1

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
using namespace std;
bool f(int A, int B, int C, int D, int E, int F){
    return (!(!A || F) && B && !C && (!D || E));
}
int main() {
    int count = 0;
    for (int A = 0; A <= 1; ++A)
        for (int B = 0; B <= 1; ++B)
            for (int C = 0; C <= 1; ++C)
                for (int D = 0; D <= 1; ++D)
                    for (int E = 0; E <= 1; ++E)
                        for (int F = 0; F <= 1; ++F)
                            if (f(A, B, C, D, E, F) == false)
                                count++;
    cout << count;
    return 0;
}

Задача 2

Задача 3

Задача 4

bool f(int x, int y, int z, int w){
    return (((x && z) || !x) && !w && y);
}
int main() {
    cout << "x y z w F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                for (int w = 0; w <= 1; ++w)
                    if (f(x, y, z, w) == true)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << w << " " << f(x, y, z, w) << endl;
    return 0;
}

Задача 5

bool f(int x, int y, int z, int w){
    return ((!y || w) || (!x && z));
}
int main() {
    cout << "x y z w F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                for (int w = 0; w <= 1; ++w)
                    if (f(x, y, z, w) == false)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << w << " " << f(x, y, z, w) << endl;
    return 0;
}

Задача 6

Задача 7

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
using namespace std;
bool f(int x, int y, int z){
    return ((x || y) && (!z || y));
}
int main() {
    cout << "x y z F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                    if (f(x, y, z) == false)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << f(x, y, z) << endl;
    return 0;
}

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Задача 11

Задача 12

Слайд 1

Автор: Мигачева А.А., учитель информатики. МОУ «СОШ №61» , г. Саратов Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ

Слайд 2

Для логических величин обычно используются три операции : Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ∧ . Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v . Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬ . Что нужно знать для решения задач: 4. Импликация — логическое следование А В 5. Эквивалентность — логическое равенство А В Дополнительные логические операции:

Слайд 3

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики : Законы рефлексивности a ∨ a = a a ∧ a = a Законы коммутативности a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a Законы ассоциативности ( a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

Слайд 4

Законы дистрибутивности a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) Закон отрицания отрицания ¬ (¬ a) = a Законы де Моргана ¬ ( a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b Законы поглощения a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

Слайд 5

Таблицы истинности Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности , в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B ).

Слайд 6

Дизъюнкция Конъюнкция Инверсия Импликация Эквивалентность

Слайд 7

Сергеенкова ИМ — 1191 Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) = 1 , где K, L, M, N – логические переменные? Решение задачи № 1 Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания ( K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N). Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N ), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1 . При найденных значениях L и M первое высказывание, ( K v L v M), истинно, если K = 1 . Ответ : уравнение имеет только одно решение.

Слайд 8

Сергеенкова ИМ — 1191 Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение (K ^ L) v (M ^ N) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?

Слайд 9

Сергеенкова ИМ — 1191 Решение задачи № 2 Высказывание (K ^ L) v (M ^ N ) истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний (K ^ L), (M ^ N). Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1 , а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения. Ответ : таким образом, уравнение имеет 7 решений.

Слайд 10

Сергеенкова ИМ — 1191 Задание 3 . Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение (K -> M) v (L ^ K) v ¬ N ложно . Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1.

Слайд 11

Сергеенкова ИМ — 1191 Решение задачи 3 . Высказывание (K -> M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания K -> M, L ^ K, ¬N. Первое из этих высказываний, K -> M , ложно, если K = 1, M = 0. Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно, если L = 0. Третье из этих высказываний, ¬N , ложно, если N = 1. Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001. Ответ : 1001.

Слайд 12

Задача 4 Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям ? (x1->x2) / (x2->x3) / (x3->x4) / (x4->x5 ) = 1 (y1->y2) / (y2->y3) / (y3->y4) / (y4->y5 ) = 1 x1/y1 =1 В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов . Решение .

Слайд 13

Решение задачи 4 Первое уравнение означает, что если x[i]=1, то для всех k>=i выполнено x[k] = 1 . Поэтому первое уравнение имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.): 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111 Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.): 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111 Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111 . Ответ : 11

Слайд 14

Замечание к задаче 4. На первый раз выпишем все решения явно : {11111, 00000}; {11111, 00001}; {11111, 00011}; {11111, 00111}; {11111, 01111}; {11111, 11111 } {00000, 11111}; {00001, 11111}; {00011, 11111}; {00111, 11111}; { 01111, 11111}; {11111, 11111} Написано 12 пар, но решений — 11. Выделенная жирным пара {11111, 11111} написана 2 раза !

Слайд 15

Пример 5 . Упростить выражения так , чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний. Решение:

Слайд 16

Задание 6 Для ка­ко­го из ука­зан­ных зна­че­ний X ис­тин­но вы­ска­зы­ва­ние ¬ ((X>2) → (X>3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Решение : Вы­ска­зы­ва­ние ис­тин­но, если вы­ра­же­ние в скоб­ках ложно. Им­пли­ка­ция ложна тогда и толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­тин­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка ис­тин­на в ва­ри­ан­тах 3 и 4, од­на­ко ва­ри­ант 4 не под­хо­дит, так как в таком слу­чае след­ствие ис­тин­но. Сле­до­ва­тель­но ответ 3 .

Слайд 17

Задание 7 Для ка­ко­го из на­зва­ний жи­вот­ных ложно вы­ска­зы­ва­ние: (За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Чет­вер­тая буква со­глас­ная) ? 1) Стра­ус 2) Лео­пард 3) Вер­блюд 4) Кен­гу­ру Решение : В первую оче­редь вы­пол­ня­ет­ся ло­ги­че­ское » И «. Им­пли­ка­ция ложна толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­ти­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка {(За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв) } ис­ти­на для ва­ри­ан­та один, а след­ствие {(Чет­вер­тая буква со­глас­ная) } для него ложно . Сле­до­ва­тель­но , ответ 1 .

Слайд 18

Задание 8 Какое ло­ги­че­ское вы­ра­же­ние рав­но­силь­но вы­ра­же­нию ¬ (А / ¬B)? 1) A / B 2) A / B 3) ¬A / ¬B 4) ¬A / B Решение: ¬ (А / ¬B) = ¬ A / ¬ (¬B) = ¬ A / B. Пра­виль­ный ответ 4 .

Слайд 19

Задание 9 На чис­ло­вой пря­мой даны два от­рез­ка : P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Вы­бе­ри­те такой от­ре­зок A, что фор­му­ла ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q ) тож­де­ствен­но ис­тин­на , то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х. 1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]

Слайд 20

Решение задачи 9 Вве­дем обо­зна­че­ния : (x ∈ А) ≡ A ; ( x ∈ P) ≡ P ; ( x ∈ Q) ≡ Q . При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем : ¬A∨P∨Q . Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. Вы­ра­же­ние P ∨ Q ис­тин­но на от­рез­ке [2; 14]. По­сколь­ку все вы­ра­же­ние долж­но быть ис­тин­но для лю­бо­го x, вы­ра­же­ние ¬A долж­но быть ис­тин­но на мно­же­стве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким об­ра­зом, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но толь­ко внут­ри от­рез­ка [2;14 ]. Из всех от­рез­ков толь­ко от­ре­зок [3; 11] пол­но­стью лежит внут­ри от­рез­ка [2; 14 ]. Ответ: 2

Слайд 21

Источники информации: http:// 2krota.ru/uploads/posts/2011-12/ZnaeteliVifakt-0020.jpg http :// www.inf1.info/image/logic-computer/logic http://2012.ege-go.ru/zadania/grb/b15/b15-answ/# B15.1 http:// infolike.narod.ru/logic.html http:// www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/inf7.html http:// inf.reshuege.ru/test?theme=233

Продолжаем наш видеокурс по подготовке к ЕГЭ по информатике 2022. Сегодня разоблачим второе задание!

Кто незнаком с основными логическими операциями, можете посмотреть прошлогоднюю статью по заданию 2 из ЕГЭ по информатике.

В этой статье будут раскрыты методики решения 2 задания через язык программирования Питон.

Будем перебирать для каждой логической переменной все возможные варианты в программе. А логическая переменная всего два значения может принимать: 1 или 0 (истину или ложь). Таким образом, если к примеру у нас 4 переменные, мы получим 2⁴=16 различных комбинаций.

Кто знаком с мощнейшим методом для 2 задания из ЕГЭ по информатике, о котором я рассказывал в прошлогодней статье, тот поймёт, что мы будем применять тот же самый мощнейший метод, но автоматизированный с помощью питона.

Нам нужно будет запрограммировать логическую функцию на языке Питон. Вот таблица, которая поможет это сделать.

Перейдём к практике решения задач задания 2 с помощью языка программирования Python.

Задача (Классическая)

Миша заполнял таблицу истинности логической функции F

(w → z) ∧ ((y → x) ≡ (z → y)),

но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже
не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных
w, x, y, z.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных
w, x, y, z.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому
столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы
в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить
не нужно.

Пример. Функция F задана выражением ¬x / y, зависящим от двух
переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.

В этом случае первому столбцу соответствует переменная y, а второму
столбцу – переменная x. В ответе следует написать: yx.

Решение:

Решать задачу будем с помощью шаблона на языке Python (Питон).

print('x y z w')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for w in range(0, 2):
            for z in range(0, 2):
                if (not(w) or z) and ((not(y) or x) == (not(z) or y)):
                    print(x, y, z, w)

В задаче у нас 4 переменные, значит, формируем 4 вложенных цикла. В каждом цикле перебираем все возможные значения для конкретной переменной. Мы перебираем значения 0 и 1.

Функция должна выдавать всегда 1 (единицу, истину). Внутри всех циклов прописываем условие, которое срабатывает как раз на истину. В этом условии прописываем нашу функцию. Если наша функция будет выдавать истину, то мы распечатаем значения переменных, при которых это произошло. Если функция будет выдавать ложь, значит, ничего распечатано не будет.

Четыре вложенных цикла проверяют все возможные варианты (2⁴ = 16 вариантов), и мы получим таблицу истинности, почти такую же, как нам и дали в условии задачи.

Так же вверху печатаем названия переменных, чтобы знать, какие значения каким переменным принадлежат.

Запустим программу, и на экране распечатается табличка:

В получившийся табличке может быть больше строчек, чем в условии. Так же при поиске переменных нельзя опираться на порядок, в котором идут нули и единицы в нашей табличке. А можно опираться лишь на количество нулей и единиц в строчках или столбцах.

Можно вычеркнуть первую строчку и последнюю, потому что в таблице, которую дали в условии, в каждой строчке есть хотя бы один ноль и хотя бы одна единица.

Сразу видно, что первый столбец принадлежит переменной x, только там могут быть все единицы.

Второй столбец принадлежит переменной w, только там могут быть все нули.

У нас остались две пустые клеточки в самой таблице. Нам нужно где-то поставить единицу, а где-то ноль, потому что у нас остались столбцы с двумя единицами и одним нулём, а так же с двумя нулями и одной единицей. Если мы в третий столбец поставим единицу, а в четвёртый ноль, то первая строчка и вторая будут совпадать.

А в условии сказано, что строки не должны повторяться. Поэтому нужно ноль и единицу расставить наоборот.

Получается, что в третий столбец идёт z, а в четвёртый y

Ответ: xwzy

Посмотрим, как решать задачи второго задания из ЕГЭ по информатике, когда функция выдаёт нули в таблице истинности.

Задача (Классическая, закрепление)

Миша заполнял таблицу истинности функции (x ≡ ¬y) → ((x ∧ w) ≡ z), но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных
w, x, y, z.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому
столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы
в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить
не нужно.

Пример. Функция F задана выражением ¬x / y, зависящим от двух
переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.

В этом случае первому столбцу соответствует переменная y, а второму
столбцу – переменная x. В ответе следует написать: yx.

Решение:

Воспользуемся программой на языке Python.

print('x y z w')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for w in range(0, 2):
            for z in range(0, 2):
                if not( not(( x == (not(y)) )) or ((x and w) == z) ):
                    print(x, y, z, w)

От прошлой программы эта программа отличается только функцией!

В таблице видим, что функция должна выдавать ноль. Поэтому в условии мы функцию «оборачиваем» в not().

После == операцию not() мы заключили в скобки, чтобы не было синтаксической ошибки.

Получаем следующую таблицу истинности:

Разгадаем, где какая переменная находится.

Последнюю строку из нашей таблицы можно вычеркнуть, потому что, если мы вычеркнем другую строку, то не получится столбца, где все три единицы, а он должен быть.

Получается, что второй столбец достаётся переменной z.

В первом столбце должно быть две единицы. На эту роль подходит переменная y.

В нашей таблице нет строчки, где все единицы, значит, во второй строчке в пустом окошке выставляем ноль. И в этой строчке нулём обладает переменная x. Следовательно, в третьем столбце будет находится x.

А в последний столбец идёт переменная w по остаточному принципу.

Ответ: yzxw

А как Питон справится с более сложной функцией из примерного варианта ЕГЭ по информатике?

Задача (Сложная функция)
Логическая функция F задаётся выражением ((x → y ) ∧ (y → w)) ∨ (z ≡ ( x ∨ y)).
Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Источник задачи сайт решу ЕГЭ: https://inf-ege.sdamgia.ru/

Решение:

Запрограммируем функцию на языке Python.

print('x y z w')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for w in range(0, 2):
            for z in range(0, 2):
                if not( ((not(x) or y) and (not(y) or w)) or (z == (x or y)) ):
                    print(x, y, z, w)

Запустим программу и расставим переменные по своим местам.

Переменная z может быть только в третьем столбце.

Во второй столбец идёт переменная w, только этот столбец может иметь одну единицу.

Посмотрим на строчку, где у w стоит единица. В этой же строчке и у x единица. Значит, x идёт в последний столбец, а y в первый столбец.

Ответ: ywzx

Тот же шаблон работает, когда у нас во втором задании три переменные.

Задача (Три переменные)

(№ 1608) Логическая функция F задаётся выражением (¬x ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z)

На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

Источник задачи сайт К. Ю. Полякова: https://kpolyakov.spb.ru/

Решение:

Для трёх переменных шаблон на Питоне отлично работает.

print('x y z')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for z in range(0, 2):
               if (not(x) and z) or (not(x) and not(y) and not(z)):
                    print(x, y, z)

Здесь и так понятно, куда какая переменная идёт.

Ответ: yxz

Посмотрим, как решать задачи из второго задания ЕГЭ по информатике, когда в таблице истинности разные значения у функции F.

Задача (Разные значения функции)

Логическая функция F задаётся выражением (¬a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (b ∨ ¬c). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (без разделителей).

Источник задачи сайт К. Ю. Полякова: https://kpolyakov.spb.ru/

Решение:

Когда такая ситуация, что функция имеет различные значения в таблице, мы можем проверить, какие значения переменных дают единицу у всей функции. А потом проверить, какие значения выдают ноль у всей функции, если это потребуется.

print('a b c')
for a in range(0, 2):
    for b in range(0, 2):
        for c in range(0, 2):
               if (not(a) or b or not(c)) and (b or not(c)):
                    print(a, b, c)

В таблице 6 строчек, в которых главная функция превращается в единицу. Далее эти строчки и будем рассматривать. У нас тоже получилось 6 строчек.

Переменная a имеет три единицы. Это второй столбец, потому что там три единицы.

Переменная b имеет четыре единицы, значит, она расположена в первом столбце.

Переменной c достаётся последний столбец.

Ответ: bac

Ещё одна интересная задача для подготовки к ЕГЭ по информатике 2022.

Задача(С подвохом)

Логическая функция F задаётся выражением a ≡ b ∨ b → c.

На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

Источник задачи группа Евгения Джобса: https://vk.com/inform_web

Решение:

Подвох заключается в том, что если мы переведём бездумно функцию на язык Питон, то получится a==b or not(b) or c. Но у нас существуют приоритеты для логических операций, которые описаны в прошлогодней статье по подготовке к ЕГЭ по информатике.

В начале должно обрабатываться или, которое было изначально. Затем должно обработаться следование, а потом равносильность. А если мы переведём формулу бездумно, порядок будет не правильный.

Операцию b ∨ b можно представить, как просто b. Ведь, если b принимает значение 0, тогда будет 0 ∨ 0 = 0. Если значение будет 1, то 1 ∨ 1 = 1. Поэтому формулу можно переписать следующим образом:

a ≡ b → c

a == (not(b) or c)

В предыдущих задачах нам не приходилось думать над приоритетами, потому что везде были расставлены скобки. И в основном они уже расставлены в задачах второго задания из ЕГЭ по информатике.

Дальше решаем как обычно.

print('a b c')
for a in range(0, 2):
    for b in range(0, 2):
        for c in range(0, 2):
               if a == (not(b) or c):
                    print(a, b, c)

Последнюю строчку можно вычеркнуть из нашей таблицы, т.к. у нас в каждой строчке есть хотя бы один ноль.

Последний столбец занимает переменная a, т.к. только в последний столбец может влезть две единицы.

В строчке, где у a ноль, так же ноль и у переменной c. Значит, во второй столбец идёт переменная c. Если мы ноль поставим в первой строчке в первом столбце, то получится первый столбец из всех нулей. А такого у нас в таблице истинности нет.

Тогда переменная b в первом столбце.

Ответ: bca