Решение задач на прогрессии егэ


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

2

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

3

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

4

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

5

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: + показать

Задача 2. Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: + показать

Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение: + показать

Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение: + показать

Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: + показать

тест

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию

Автор: egeMax |

комментария 2

Источник

Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

a_{n+1}=a_n+d,(n=1,2,...).

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_{n}=a_1+(n-1)d.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+...+a_n вычисляется по формуле: S_n=frac{(a_1+a_n)}{2} cdot n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее  арифметическое соседних: a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

1. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?

По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.

2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.

3 марта он добавляет еще 30 рублей,

4 марта 40 рублей,

5 марта 50 рублей.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией.

В нашей прогрессии a_1=10, d=10. В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит, n=31+30+31=92.

31 мая Максим положит в копилку a_{92}=a_1+(92-1)d=10+910=920 рублей.

Всего в копилке в этот день будет S_{92}=frac{(a_1+a_n)}{2}cdot 92=frac{(10+920)}{2}cdot 92=42780 рублей.

Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-ного члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.

2. (Задача ЕГЭ) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть улитка проползла в первый день a_1 метров, в последний – a_n метров, причем  a_1+a_n=10. Тогда за n дней она преодолела S_n=frac{(a_1+a_n)n}{2}=150  метров. Отсюда n=30

Ответ: 30

3. (Задача ЕГЭ) Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней

Это обычная задача на арифметическую прогрессию. В первый день Вася решил a_1=5 задач, в последний a_{14} задач. Запишем формулу для суммы арифметической прогрессии: S_{14}=frac{(a_1+a_{14})14}{2}=434. Отсюда a_{14}=57

4. (Задача ЕГЭ) Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

В первый день бригада покрасила a_1 метров забора, во второй a_2 метров, в последний a_n  метров.

По формуле суммы арифметической прогрессии: S_{n}=frac{(a_1+a_{n})n}{2}=150.  По условию,  a_1+a_n=75. Отсюда n = 4.

5. (Задача ОГЭ) Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: -4; -2; 0… Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

Найдем d – разность арифметической прогрессии.

d= a_2-a_1=(-2)-(-4)=2.

Найдем сумму первых 10 членов прогрессии по формуле: S_n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n

У нас n = 10.

S_{10}=frac{2a_1+(10-1)d}{2}cdot 10=frac{-8+9cdot 2}{2}cdot 10=50.

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

  1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
  1. Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
  1. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
  1. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Ответы к задачам:

  1. Ответ: 18
  2. Ответ: 15
  3. Ответ: 18
  4. Ответ: 22.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессииadmin2022-11-08T21:41:31+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Пусть бригада в первый день покрасила а1 метров забора, во второй – а2, …, в последний – аn метров забора. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 60,)  а  ({S_n} = 240.)  Тогда:  (240 = frac{{60}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,30n = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 8.)  Следовательно, бригада покрасит забор за 8 дней.

Ответ: 8.
Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Пусть рабочие в первый день прокладывают а1 метров тоннеля, во второй – а2, …, в последний десятый день – а10 метров тоннеля. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 3,)  а  ({S_{10}} = 500.)  Тогда:  (500 = frac{{3 + {a_{10}}}}{2} cdot 10,,,, Leftrightarrow ,,,,,3 + {a_{10}} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{10}} = 97.)  Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.
Задача 3. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Пусть в первый день Вася решил а1 задач, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 задач. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 5,)  а  ({S_{14}} = 490.)  Тогда:  (490 = frac{{5 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,5 + {a_{14}} = 70,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 65.)  Следовательно, в последний день Вася решил 65 задач.

Ответ: 65.
Задача 4. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй – а2, …, в последний шестой день – а6 км. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_6} = 120.)  Тогда:  (120 = frac{{10 + {a_6}}}{2} cdot 6,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_6} = 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_6} = 30.)  Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_6} = {a_1} + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30 = 10 + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 cdot 4 = 18.) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км.

Ответ: 18.
Задача 5. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пусть в первый день грузовик перевёз а1 тонн, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 тонн. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 2,)  а  ({S_{14}} = 210.)  Тогда:  (210 = frac{{2 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,2 + {a_{14}} = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 28.)  Следовательно, в последний день грузовик перевёз 28 тонн. Чтобы определить, сколько грузовик перевёз за девятый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько тонн грузовик перевёз в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{14}} = {a_1} + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28 = 2 + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 2)   и   ({a_9} = {a_1} + 8d = 2 + 8 cdot 2 = 18.) Следовательно, за девятый день грузовик перевёз 18 тонн.

Ответ: 18.
Задача 6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть в первый день улитка проползла а1 метров, во второй – а2, …, в последний день – аn метров. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 10,)  а  ({S_n} = 150.)  Тогда:  (150 = frac{{10}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,5n = 150,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 30.)  Следовательно, на весь путь улитка потратила 30 дней.

Ответ: 30.
Задача 7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Пусть в первый день Вера подписала а1 открыток, во второй – а2, …, в последний шестнадцатый день – а16 открыток. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_{16}} = 640.)  Тогда:  (640 = frac{{10 + {a_{16}}}}{2} cdot 16,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_{16}} = 80,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{16}} = 70.)  Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{16}} = {a_1} + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,70 = 10 + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 cdot 4 = 22.) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки.

Ответ: 5.
Задача 8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Так как прибыль каждый год увеличивалась на 300%, то она становилась 400% от прибыли предыдущего года. Поэтому в 2001 году прибыль составила:  (5,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 20,,000) рублей;  2002 году (20,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 80,,000) рублей;  в 2003 году  (80,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 320,,000) рублей.

Ответ: 320 000.
Задача 9. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял:  (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000)  долларов;  в 2003 году  (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000)  долларов; в 2004 году  (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000)  долларов; в 2005 году  (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000)  долларов; в 2006 году  (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000)  долларов. 

Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял:  (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000)  долларов;  в 2005 году  (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000)  долларов; в 2006 году  (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000)  долларов.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Ответ:  35000.

Источник

Саше надо решить 130 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Саша решил 14 задач. Определите, сколько задач решил Саша в последний день, если со всеми задачами он справился за 5 дней.

#937

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 10 капель, а в каждый следующий – на 10 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 60 капель. Такую дневную дозу (60 капель) больной ежедневно принимает 5 дней, а затем уменьшает прием на 10 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 5 мл лекарства, то есть 130 капель?

#877

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

#871

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

#870

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 7° C.

#869

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

#868

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 160 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

#867

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

#866

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

#865

К концу 2012 года в городе проживало 62000 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2019 года в городе проживало 69070 человек. Какова была численность населения того же города к концу 2015 года?

#864

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм. рт. ст. Считая, что при подъеме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм. рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2415 м над уровнем моря.

#862

В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы отставали на 20 минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа после того, как они сломались?

#858

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем – на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

#857

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

#851

Каждый простейший одноклеточный организм инфузория-туфелька размножается делением на две части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

#850

Источник

19. Задачи на теорию чисел


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Арифметическая и геометрическая прогрессии


Задание
1

#2217

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 2 общих члена?

Например, прогрессия (-1, 1, 3, 5, …)

и прогрессия (1, -1, -3, -5, …).

Ответ:

Да


Задание
2

#2219

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.

(S_{19} = dfrac{a_{19} + a_1}{2}cdot 19).

(a_{10} = a_1 + 9d_a).

(a_{19} = a_1 + 18d_a), тогда (a_{19} + a_1 = 2a_1 + 18d_a = 2cdot(a_1 + 9d_a) = 2cdot a_{10}), тогда (S_{19} = a_{10}cdot 19 = 19000).

Ответ:

(19000)


Задание
3

#2263

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены – целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии – рациональное число?

В качестве контрпримера достаточно взять прогрессию [1,, sqrt{2},, 2,, 2sqrt{2},,dots]

Ответ:

Нет


Задание
4

#2218

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?

Например, прогрессия (-2015, -2013, -2011, -2009, …)

и прогрессия (-17, -19, -21, -23, …).

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид (a_n = -2017 + 2n), а общий член второй последовательности имеет вид (b_n = -15 — 2n).

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения (a_k = b_m) в натуральных числах.

[-2017 + 2k = -15 — 2mqquadLeftrightarrowqquad m + k = 1001qquadLeftrightarrowqquad m = 1001 — k.]

Таким образом, (m, kinmathbb{N}) тогда и только тогда, когда (kin{1; 2; …; 1000}), то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.

Ответ:

Да


Задание
5

#2220

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих члена?

Пусть первая прогрессия имеет вид (a_1, …, a_n, …),

пусть вторая прогрессия имеет вид (b_1, …, b_n, …).

(bullet) Рассмотрим сначала случай, когда разности (d_a) и (d_b) прогрессий отличны от (0).

Пусть существуют пары натуральных чисел ((k_1; m_1)) и ((k_2; m_2)) такие что (a_{k_1} = b_{m_1}) и (a_{k_2} = b_{m_2}). Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что (k_1 < k_2), (m_1 < m_2).

Тогда

[a_{k_1} + d_a(k_2 — k_1) = a_{k_2} = b_{m_2} = b_{m_1} + d_b(m_2 — m_1),]

но (a_{k_1} = b_{m_1}), следовательно,

[d_a(k_2 — k_1) = d_b(m_2 — m_1)qquadRightarrowqquad d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1).]

Так как (k_2 > k_1 > 0), то (2k_2 — k_1 > 0), тогда ((2k_2 — k_1)inmathbb{N}) и существует [a_{2k_2 — k_1} = a_{k_1} + d_a((2k_2 — k_1) — k_1) = a_{k_1} + d_acdot 2(k_2 — k_1).] Так как (m_2 > m_1 > 0), то (2m_2 — m_1 > 0), тогда ((2m_2 — m_1)inmathbb{N}) и существует [b_{2m_2 — m_1} = b_{m_1} + d_b((2m_2 — m_1) — m_1) = b_{m_1} + d_bcdot 2(m_2 — m_1).]

Но (d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1)), следовательно, [a_{2k_2 — k_1} = b_{2m_2 — m_1},] то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

(bullet) Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей (d_a) и (d_b) равна (0).

Пусть (d_a = 0), (d_bneq 0), тогда (d_b > 0) (последовательности из положительных чисел), тогда (b_1, …, b_n, …) – возрастает, а (a_1, …, a_n, …) – постоянна, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть (d_a = 0), (d_b = 0), тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.

Ответ:

Нет


Задание
6

#2221

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что в последовательности (a_1, …, a_n, …) каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов последовательности. Также известно, что (a_{50} = 100), (S_{199} = pi). Найдите сумму ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}).

Покажем, что последовательность (a_1, …, a_n, …) – арифметическая прогрессия.

Введём обозначение (d = a_2 — a_1), тогда [a_1 + d = a_2 = dfrac{a_1 + a_3}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + d) = a_1 + a_3qquadRightarrowqquad a_3 = a_1 + 2d.]

Докажем при помощи полной индукции, что (a_{n + 1} = a_n + d):

1) При (n = 1) имеем (a_2 = a_1 + d) – верно.

2) Пусть утверждение верно для всех (n leq N), покажем, что тогда оно верно и для (n = N + 1):

[a_1 + (N — 1)d = a_N = dfrac{a_{N + 1} + a_{N — 1}}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + (N — 1)d) = a_{N + 1} + a_{N — 1},]

откуда [a_{N + 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — a_{N — 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — (a_1 + (N — 2)d) = a_1 + Nd,] что и требовалось доказать.

Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}), есть [a_{99 + 1} + … + a_{99 + 100} = a_{100} + … + a_{199} = S_{199} — S_{99} = pi — S_{99}.]

(S_{99} = dfrac{a_1 + a_{99}}{2}cdot 99).

(a_{50} = a_1 + 49d),

(a_{99} = a_1 + 98d),
следовательно, [a_{99} + a_1 = 2a_1 + 98d = 2(a_1 + 49d) = 2cdot a_{50},] тогда (S_{99} = a_{50}cdot 99 = 9900).

В итоге (a_{100} + … + a_{199} = pi — 9900).

Ответ:

(pi — 9900)


Задание
7

#2264

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите сумму (7 + 77 + 777 + … + 777…7), где запись последнего числа содержит (2n) семёрок.

Данную сумму можно переписать в виде [7(1 + 11 + 111 + … + 111…1),,] где запись последнего числа в скобках содержит (2n) единиц.

Последнюю сумму можно переписать в виде

[begin{aligned}
&7Bigl(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + … + (100…0 + … + 1)Bigr) =\
= &7Bigl(10^0cdot 2n + 10^1cdot (2n — 1) + 10^2cdot (2n — 2) + … + 10^{2n — 1}cdot 1Bigr) =\
= &7Bigl((1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1}) + (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 2}) + … + (1 + 10) + 1)Bigr)
end{aligned}]

Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1} = dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1}), тогда последнее выражение равно

[begin{aligned}
&7left(dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1} + dfrac{10^{2n — 1} — 1}{10 — 1} + … + dfrac{10^{2} — 1}{10 — 1} + dfrac{10 — 1}{10 — 1}right) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl((10^{2n} — 1) + (10^{2n — 1} — 1) + … + (10^{2} — 1) + (10 — 1)Bigr) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl(10^{2n} + 10^{2n — 1} + … + 10^{2} + 10 — 2nBigr) = dfrac{7}{9}left(dfrac{10cdot (10^{2n} — 1)}{10 — 1} — 2nright) =\
= &dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n
end{aligned}]

Ответ:

(dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n)

Многие ученики при сдаче ЕГЭ по математике сталкиваются с трудностями в решении задач на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Такие задания встречаются в бланках довольно часто, поэтому им стоит уделить особое внимание. Наш портал поможет вам узнать, как быстро найти правильный ответ. Вы можете ознакомиться с примерами, предназначенными для учеников разного уровня подготовки.

«Школково» ― залог успешной сдачи заключительного тестирования

На нашем образовательном портале вы найдете материалы, необходимые для легкого прохождения Единого государственного экзамена. Благодаря преподавателям «Школково» на сайте собрана и систематизирована вся информация по тематическим рубрикам. Они изложили материал в наиболее простой и понятной форме, поэтому после повторения формул и правил выпускники смогут быстро выполнить задания на нахождение суммы и разности в арифметической и геометрической прогрессии даже повышенного уровня сложности.

Мы предлагаем наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации. Для эффективности занятий рекомендуем начинать с более простых упражнений и постепенно переходить к сложным. Таким образом вы можете определить свои слабые стороны и уделить больше внимания заданиям на нахождение чисел, чтобы улучшить навыки и увеличить скорость их решения.

Прочитайте данный материал в разделе «Теоретическая справка», изучите условия и потренируйтесь в выполнении типовых задач. После этого вы можете переходить в раздел «Каталоги», где представлено множество примеров различного уровня сложности.

Если у школьника возникнут сложности с решениями упражнений с общими членами, он может добавить их в «Избранное» и вернуться к ним позже, повторив формулы арифметической прогрессии или заручившись помощью преподавателя.

База заданий «Школково» постоянно обновляется и дополняется, поэтому вы каждый день можете выполнять новые задачи. Чтобы занятия давали еще большую результативность, советуем обращаться к нашему сайту ежедневно.

Не откладывайте подготовку к ЕГЭ на потом. Начните заниматься вместе со «Школково» уже сегодня!

Обратите внимание, что на нашем портале могут попробовать свои силы в выполнении разных задач все желающие. Для того чтобы начать повторение материалов и решать уравнения с арифметической и геометрической прогрессией, зарегистрируйтесь на официальном сайте shkolkovo.net.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник



Скачать материал

Решение задач на прогрессии Задание № 13



Скачать материал

  • Сейчас обучается 32 человека из 22 регионов

  • Курс добавлен 16.12.2022
  • Сейчас обучается 20 человек из 14 регионов

  • Сейчас обучается 134 человека из 49 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Решение задач на прогрессии Задание № 13

    1 слайд

    Решение задач на прогрессии Задание № 13

  • Арифметическая прогрессия  

    2 слайд

    Арифметическая прогрессия  

  •  

  • Задача 1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше,...

    4 слайд

    Задача 1. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

  • Решение задачи a1 = 10 км n = 6 дней Sn = 120 км Из формулы находим d Из форм...

    5 слайд

    Решение задачи a1 = 10 км n = 6 дней Sn = 120 км Из формулы находим d Из формулы находим а3

  • Задача 2 Бригада маляров красит забор длиной 270 метров, ежедневно увеличивая...

    6 слайд

    Задача 2 Бригада маляров красит забор длиной 270 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 90 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

  • Решение задачи a1 + an = 90; Из формулы находим, что за n дней было покрашено...

    7 слайд

    Решение задачи a1 + an = 90; Из формулы находим, что за n дней было покрашено 45n метров забора; 270 = 45n n = 6

  • Задача 3 Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая...

    8 слайд

    Задача 3 Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

  • Геометрическая прогрессия bn=b1∗q n−1 ; ; ; ;

    9 слайд

    Геометрическая прогрессия bn=b1∗q n−1 ; ; ; ;

  • Задача 4 Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 руб...

    10 слайд

    Задача 4 Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коржова за 2004 год?

  • Решение задачи Увеличение прибыли на 20%, т.е. q=1,2; b1 = 1 400 000; b5 = b1...

    11 слайд

    Решение задачи Увеличение прибыли на 20%, т.е. q=1,2; b1 = 1 400 000; b5 = b1*q4 = 1400000*1,24

  • Задача 5 Компания &quot;Альфа&quot; начала инвестировать средства в перспективную отрас...

    12 слайд

    Задача 5 Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

  • Решение задачи Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитал...

    13 слайд

    Решение задачи Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Следовательно, q = 3. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма 5000 * 36-1 = 5000*243 = 1 215 000; Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма 10000 * 54-1 =1 250 000; Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.

  • Задача 6 Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей...

    14 слайд

    Задача 6 Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каж­дый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Краткое описание документа:

В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с прогрессией. Это текстовые задачи. Данная презентация поможет при подготовке выпускников к ЕГЭ. Содержит все необходимые формулы по теме «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия», а также примеры задач по данной теме. Каждая задача сопровождается решение и ответом.

Прогрессия повторяется в конце года, ближе к проведению пробного
ЕГЭ, поскольку при решении задачи на прогрессию требуется знание наизусть соответствующих формул.
Задачи на прогрессию могут быть предложены в заданиях ЕГЭ в прямой форме, но могут быть «замаскированы» и под текстовую задачу.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 155 091 материал в базе

  • Выберите категорию:

  • Выберите учебник и тему

  • Выберите класс:

  • Тип материала:

    • Все материалы

    • Статьи

    • Научные работы

    • Видеоуроки

    • Презентации

    • Конспекты

    • Тесты

    • Рабочие программы

    • Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

  • 02.07.2015
  • 517
  • 0
  • 02.07.2015
  • 566
  • 0
  • 02.07.2015
  • 2128
  • 0

Рейтинг:
5 из 5

  • 02.07.2015
  • 2693
  • 7

Рейтинг:
3 из 5

  • 02.07.2015
  • 4816
  • 12

Рейтинг:
5 из 5

  • 01.07.2015
  • 5605
  • 53

Рейтинг:
5 из 5

  • 01.07.2015
  • 1624
  • 19
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Решение задач на относительную влажность воздуха егэ
  • Решение задач на оптимизацию егэ математика профиль
  • Решение задач на объем конуса егэ
  • Решение задач на наследование сцепленное с полом решу егэ
  • Решение задач на моногибридное скрещивание егэ

    • Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: