Решите неравенство 
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем неравенство:
Заметим, что логарифм обращается в нуль в точке 3, применим на ОДЗ — луче 
метод интервалов (см. рис.) и выпишем ответ: 
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва, Задания 15 ЕГЭ–2020
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Решите неравенство 
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Краснодар, Задания 15 ЕГЭ–2020
2
Решите неравенство 
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 15 ЕГЭ–2020
3
Решите неравенство 
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991, Задания 15 ЕГЭ–2020
4
Решите неравенство 
Источник: Задания 15 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи
5
Решите неравенство 
Источник: Задания 15 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи
6
Решите неравенство 
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 409, Задания 15 ЕГЭ–2020
7
Решите неравенство 
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 406, Задания 15 ЕГЭ–2020
Все 15 задания ЕГЭ 2022 по математике профильный уровень, которые могут встретиться вам на реальном ЕГЭ 2022 по математике профиль. Практика задания №15 задачи на вклады, кредиты, оптимизацию, для всех заданий есть правильный ответ.
Скачать задачи на вклады и кредиты
Скачать задачи на оптимизацию
Задачи на вклады и кредиты ЕГЭ 2022 профиль математика:
Задачи на оптимизацию ЕГЭ 2022 профиль математика:
Достаточно часто в вариантах ЕГЭ и диагностических работах стали появляться экономические задачи на оптимизацию. Как правило, решение таких задач сводится к исследованию функции, нахождению точек экстремума и наибольшего (наименьшего) значения функции.
Для этого сначала составляется, как принято говорить, математическую модель задачи. Здесь часто успех решения зависит от разумного выбора независимой переменной. Затем выявляют оптимизирующую величину (т.е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти) и, записав функцию, связывающую независимую переменную с оптимизирующей величиной, исследуют ее.
Чаще всего это делается с помощью производных. Ниже приведены задачи, которые можно использовать для подготовки к 15 заданиям профильного ЕГЭ 2022 по математике.
1)В июне 1 кг огурцов стоил 120 рублей. В июле огурцы подешевели на 20%, а в августе ещѐ на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после снижения цены в августе?
Правильный ответ: 48
2)В июне 1 кг помидоров стоил 140 рублей. В июле цена помидоров снизилась на 40%, а в августе ещѐ на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг помидоров после снижения цены в августе?
Правильный ответ: 42
3)В сентябре 1 кг яблок стоил 50 рублей, в октябре яблоки подорожали на 20%, а в ноябре—ещѐ на 40%. Сколько рублей стоил 1 кг яблок после подорожания в ноябре?
Правильный ответ: 84
4)В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей, в октябре сливы подорожали на 25%, а в ноябре—ещѐ на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?
Правильный ответ: 90
5)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей. Какое минимальное число рублей может составлять долг через год после взятия кредита?
Правильный ответ: 800 000
6)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей. Какое минимальное число рублей может составлять долг через год после взятия кредита?
Правильный ответ: 800 000
7)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей. Какое минимальное число рублей может составить последний платѐж, если кредит нужно выплатить за минимальное количество лет?
Правильный ответ: 326 400
8)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей. Какое минимальное число рублей может составить последний платѐж, если кредит нужно выплатить за минимальное количество лет?
Правильный ответ: 78 980
9)В кредит взяли 21 млн. рублей на 5 лет под r% годовых. По условиям кредита, на конец первых трѐх лет задолженность остаётся неизменной и равной 21 млн. рублей, а выплаты последних двух лет равны. На конец пятого года кредит должен быть погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех выплат составит 30,5 млн. рублей.
Правильный ответ: 10
10)Задача с ЕГЭ 2020. В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тыс. рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.
Правильный ответ: 10
11)15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й (с января 2025 года по август 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 августа 2026 года долг составит 200 тысяч рублей; — 15 сентября 2026 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 905 тысяч рублей?
Правильный ответ: 800 тыс. рублей.
12)15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей; — 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?
Правильный ответ: 400 тыс. рублей.
13)В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?
Правильный ответ: 16
14)В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: • в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; • в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; • к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Правильный ответ: 1400 тыс. рублей.
15)В июле планируется взять кредит в банке на 13 лет. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платѐж по кредиту в 3 раза больше наименьшего платежа.
Правильный ответ: 20
16)В июле планируется взять кредит в банке на 12 лет. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платѐж по кредиту в 2 раза больше наименьшего платежа.
Правильный ответ: 10
17)15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 32 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа первый и последний месяцы долг должен уменьшиться на 250 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей. Найдите S, если всего было выплачено банку 2061,5 тысяч рублей?
Правильный ответ: 1550
18)15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 68 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа последние три месяца долг должен уменьшиться на 300 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей. Найдите S, если всего было выплачено банку 3748 тысяч рублей?
Правильный ответ: 2200
19)Инна Николаевна получила кредит в банке под определенный процент годовых. В конце первого и второго года в счет погашения кредита она возвращала в банк 19 от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени. В конце третьего года в счет полного погашения кредита Инна Николаевна внесла в банк сумму, которая на 12,5% превышала величину полученного кредита. Какой процент годовых по кредиту в данном банке?
Правильный ответ: 12,5
20)В банке A начисляют на вклад 40% годовых, а в банке Б 60% годовых. Иван Петрович положил часть денег в банк А, а оставшуюся сумму в банк Б. Через два года сумма положенная в банки увеличилась на 150% . Какую часть денег он положил в банк А?
Правильный ответ: 1:10
21)Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 24 млн рублей.
Правильный ответ: 4
22)Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.
Правильный ответ: 8
23)Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 5 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 12 млн рублей.
Правильный ответ: 9
24)Евгений хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определѐнную сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 195 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 40 %. Какую наименьшую сумму нужно Евгению откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Правильный ответ: 127 400
25)Михаил хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определѐнную сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 160 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно Михаилу откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Правильный ответ: 78 125.
26)В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 25 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t 2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?
Правильный ответ: 6 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект, зарплата 469 д е.
27)Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t 2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Правильный ответ: 9
28)В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Правильный ответ: 4 500
Смотрите также на нашем сайте:
Задание 14 ЕГЭ 2022 математика профиль неравенства практика с ответами
Задание 4 решу ЕГЭ 2022 математика профильный уровень 100 заданий с ответами
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
- ЕГЭ по математике профиль
Прототипы задания №15 ЕГЭ по математике профильного уровня — финансовая математика. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.
Для успешного выполнения задания №15 необходимо уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Практика
Примеры заданий:
Дмитрий мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Дмитрий может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Дмитрию придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Дмитрий может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Дмитрий сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?
***
Сергей мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Сергей может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Сергею придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого Сергей может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Сергей сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?
***
Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 000 рублей?
***
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 1.1, 2.1.12
Уровень сложности задания — повышенный.
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 25
Связанные страницы:
Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи в разделе контакты
338584 решу огэ математика
Задание 21 № 338584
Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Пусть — скорость мотоциклиста, — скорость велосипедиста. Примем расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 40 минут, то есть на ч., раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:
Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна 1, а время, затраченное на весь путь равно одному часу.
Заметим, что в приведенном решении скорости выражаются не в км/час, а в условных единицах, и зависят от того, за какую величину принято расстояние между городами. Если бы расстояние между городами было принято за 10, то получилось бы V2=10 и V1=30. Однако найденное время не зависит от того, за какую величину принято расстояние между городами.
Приведем другое решение.
Пусть T — время, которое затратил на дорогу мотоциклист. Тогда время, затраченное велосипедистом, равно Пусть S — расстояние между городами, тогда скорость мотоциклиста равна а скорость велосипедиста равна Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Умножив обе части уравнения на 4 и разделив на S, получим:
Время не может быть отрицательным, следовательно, мотоциклист затратил на дорогу часа, а велосипедист час.
Задание 21 № 338584
, раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений.
Oge. sdamgia. ru
22.01.2019 9:01:54
2019-01-22 09:01:54
Источники:
Https://oge. sdamgia. ru/test? pid=338584
OГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина. » /> » /> .keyword { color: red; } 338584 решу огэ математика
338584 решу огэ математика
338584 решу огэ математика
Задание 21 № 352780
Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 33 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 22 минуты после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Пусть — скорость мотоциклиста, — скорость велосипедиста. Примем расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 22 минуты, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 33 минуты раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:
Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна, а время, затраченное на весь путь равно
Задание 21 № 352780
Мотоциклист и велосипедист встретились через 22 минуты, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 33 минуты раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений.
Math-oge. sdamgia. ru
07.08.2020 6:56:19
2020-08-07 06:56:19
Источники:
Https://math-oge. sdamgia. ru/problem? id=352780
OГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина. » /> » /> .keyword { color: red; } 338584 решу огэ математика
338584 решу огэ математика
338584 решу огэ математика
Задание 21 № 338584
Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Пусть — скорость мотоциклиста, — скорость велосипедиста. Примем расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 40 минут, то есть на ч., раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:
Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна 1, а время, затраченное на весь путь равно одному часу.
Заметим, что в приведенном решении скорости выражаются не в км/час, а в условных единицах, и зависят от того, за какую величину принято расстояние между городами. Если бы расстояние между городами было принято за 10, то получилось бы V2=10 и V1=30. Однако найденное время не зависит от того, за какую величину принято расстояние между городами.
Приведем другое решение.
Пусть T — время, которое затратил на дорогу мотоциклист. Тогда время, затраченное велосипедистом, равно Пусть S — расстояние между городами, тогда скорость мотоциклиста равна а скорость велосипедиста равна Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Умножив обе части уравнения на 4 и разделив на S, получим:
Время не может быть отрицательным, следовательно, мотоциклист затратил на дорогу часа, а велосипедист час.
Задание 21 № 338584
Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна 1, а время, затраченное на весь путь равно одному часу.
Oge. sdamgia. ru
27.06.2019 1:59:14
2019-06-27 01:59:14
Источники:
Https://oge. sdamgia. ru/problem? id=338584
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
$х=-{17}/{5}$
$х = — 3,4$
Ответ: $- 3,4$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
$x = 0; ax + b = 0$
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$
$4х^2 — 5х = 0$
Вынесем х как общий множитель за скобки:
$х (4х — 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
$ax^2 + c = 0$
$ax^2 = — c$
$x_2 = {-c}/{a}$
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
$x^2 — 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = ±4$
Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
$b^2 — 4ac$.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$
3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.
$3х^2 — 11 = -8х$
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
$3х^2 + 8х — 11 = 0$
$a = 3 ,b = 8, c = — 11$
$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$
$4х^2+ 3х — 7 = 0$
$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$
$5х^2+ 7х + 2 = 0$
$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$
Кубические уравнения
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
$(x — 3)^3 = 27$
Представим обе части как основания в третьей степени
$(x — 3)^3 = $33
Извлечем кубический корень из обеих частей
$х — 3 = 3$
Соберем известные слагаемые в правой части
$x = 6$
Ответ: $х = 6$
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
$4x + 1 — {3}/{x} = 0$
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$
$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2 + x — 3 = 0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$
${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х (3х — 5) = -2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
$3х^2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Например,
${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение
$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$
Решение:
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x ≠ 0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x+1-{3}/{x}=0|·x$
$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2+x-3=0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$
Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$
Решение:
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х(3х-5)=-2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
$3х^2-5х+2=0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
$x_1=1, x_2={2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Решение:
Обе части уравнение возведем в квадрат:
$√{4х-3}^2=х^2$
Получаем квадратное уравнение:
$4х-3=х^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
${-х}^2+4х-3=0$
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
$a+b+c=0$
$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$√{4·1-3}=1$
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$√{4·(3)-3}=3$
$√9=3$
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Ответ: $1$
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$
Возведем обе части уравнения в квадрат
$(х-6)^2=8-х$
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
$х^2-2·6·х+6^2=8-х$
$х^2-12х+36=8-х$
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
$х^2-12х+36-8+х=0$
Приводим подобные слагаемые:
$х^2-11х+28=0$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$
$x_1=7; x_2=4$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$x_1=7$
$7-6=√{8-7}$
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$x_2=4$
$4-6=√{8-4}$
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Ответ: $7$
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n⋅a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение $25·5^х=1$
Решение:
В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$
$5^2·5^х=5^0$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
$5^{2+х}=5^0$
Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели
$2+х=0$
$х=-2$
Ответ: $-2$
Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$
$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$
$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$
$2^{3x-2}(2^4-1)=30$
$2^{3x-2}·15=30$
Разделим обе части уравнения на $15$
$2^{3х-2}=2$
$2^{3х-2}=2^1$
$3х-2=1$
$3х=3$
$х=1$
Ответ: $1$
- 05.06.2021
Сборник реальных заданий с основной волны ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня. Напомним, что базовую математику в 2021 году отменили.
Дата обновления: 21.07.21
Страница будет обновляться. СОХРАНИТЕ В ЗАКЛАДКИ!
- Реальные задания ЕГЭ 2021 по всем предметам
Сначала идут задания с Дальнего востока. Это горячие задания, которые появлялись сразу после проведения ЕГЭ 2021.
Потом ниже уже идут PDF сборники целиком. Листайте до конца!
Реальные задания с Дальнего востока
Первая часть
Задание 1. Кто-то там получает 60.000 зп, из них вычитается 13% налогов, сколько будет конечная зп
ПРОТОТИП:
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 13000 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА:
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 7830 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
Задание 4. Завод делает детали (кол-во), шанс того, что деталь будет плохой (%) . Какова вероятность, что деталь будет /хорошей/
Задание 5. 9^(x-1)=81
Задание 6. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Задание 7. Найти количество точек минимума / максимума
Задание 8. В цилиндре конус, у них одинаковое высота и основание общее, S цилиндра 9,найти S конуса
ПРОТОТИП:
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 27√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Смотрите ниже, как решать подобное задание
Задание 9. 9sin128/cos64*cos26
Смотрите ниже, как решать подобное задание
Задание 11. Про трубы. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 704 литра она заполняет на 10 минут медленнее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 864 литра?
РЕШЕНИЕ ПОХОЖЕЙ ЗАДАЧИ НИЖЕ
Задание 12. Натуральный логарифм
Вторая часть
Задание 13. Были именно ЭТИ задачи
Вариант 1
Вариант 2
Задание 14.
Дана треугольная пирамида ????. Точка ? – середина ??, точка ? – середина ??. Плоскость ?, параллельная плоскости основания,
проходит через точку ? и пересекает ребра ?? и ?? в точках ? и ? соответственно.
- Докажите, что ?? пересекает ?? в середине.
- Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью ???
Задание 15.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Задание 16.
Дан параллелограмм ???? с острым углом ?. На продолжении стороны ?? за точку ? взята точка ? такая, что ?? = ??, а на продолжении стороны ?? за точку ? взята точка ? такая, что ?? = ??.
- Докажите, что ?? = ??.
- Найдите ??, если ?? = 7, sin, ??? = 7/25 .
Задание 17. В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года долг должен быть погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?
Решение
Задание 18. Три модуля
Задание 19. ПРОТОТИП: Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля) А, сумма цифр равна S.
- а) Может ли произведение A*S быть равным 1106?
- б) Может ли произведение A*S быть равным 1105?
Решение №1
Решение №2
Полный сборник всех заданий из второй части реального ЕГЭ по математике 2021
Посмотрите видеоразбор к каждому из заданий из второй части реального ЕГЭ. Пошагово разбираем все ошибки, способы решения и правильные ответы.
Сами задания из видео расположены ниже.
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.
Сборник заданий №2
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.
Сборник заданий №3
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.