Решу егэ найти точку минимума функции - Exhelper.top

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Исследование частных

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 77467

Найдите точку максимума функции

Аналоги к заданию № 77467: 129843 129871 523993 524020 548510 548529 129845 129847 129849 129851 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77468

Найдите точку минимума функции

Аналоги к заданию № 77468: 129873 129899 129901 129875 129877 129879 129881 129883 129885 129887 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77469

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 77469: 129903 129931 129905 129907 129909 129911 129913 129915 129917 129919 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77470

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 77470: 129933 129961 129935 129937 129939 129941 129943 129945 129947 129949 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77471

Найдите точку максимума функции

Аналоги к заданию № 77471: 129965 129963 130011 129967 129969 129971 129973 129975 129977 129979 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 219 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите точку минимума функции

Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

Найдите точку минимума функции

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь

Найдите точку минимума функции

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье

Найдите точку минимума функции

Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402

Найдите точку минимума функции

Всего: 219 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 237 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Найдите точку минимума функции

Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку

Найдите точку минимума функции

Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 3

Найдите точку минимума функции

Источник: ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

Найдите точку минимума функции

Всего: 237 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Источник

Задача 1. Найдите точку максимума функции

Решение: + показать

Задача 2. Найдите точку минимума функции

Решение: + показать

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции $y=2+9x-frac{x^3}{3}$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 7. Найдите точку максимума функции $y=6+12x-2x^{frac{3}{2}}.$

Решение: + показать

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=-frac{2}{3}xsqrt x+3x+8$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 9. Найдите точку минимума функции $y=-frac{x^2+25}{x}$ .

Решение: + показать

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=frac{x^2+900}{x}$ на

Решение: + показать

Задача 11. Найдите точку максимума функции $y=frac{441}{x}+x+18.$

Решение: + показать

Задача 12. Найдите точку минимума функции $y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.$

Решение: + показать

Задача 13. Найдите точку максимума функции $y=(x+11)^2cdot e^{3-x}.$

Решение: + показать

Задача 14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{1}{12};frac{5}{12}].$

Решение: + показать

Задача 17. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{3}{4};frac{5}{4}].$

Решение: + показать

Задача 18. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-11e^x-1$ на отрезке .

Решение: + показать

Задача 19. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{2}].$

Решение: + показать

Задача 20. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[-frac{pi}{3};frac{pi}{3}].$

Решение: + показать

Задача 21. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[-frac{3pi}{2};0]$ .

Решение: + показать

Задача 22. Найдите наименьшее значение функции $y=4cosx+frac{15}{pi}x+9$ на отрезке $[-frac{2pi}{3};0].$

Решение: + показать

Задача 23. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{4}].$

Решение: + показать

Задача 24. Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку $(0;frac{pi}{2})$ .

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке достигается на конце отрезка , а именно, в точке .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:

1) $y(x_{min})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:

1) $y(x_{max})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

Вы можете пройти тест “Исследование функции при помощи производной”

Источник

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у элементарных функций

(blacktriangleright) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: [begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{1} & c & 0\&&\
textbf{2} & x^a & acdot x^{a-1}\&&\
textbf{3} & ln x & dfrac1x\&&\
textbf{4} & log_ax & dfrac1{xcdot ln a}\&&\
textbf{5} & e^x & e^x\&&\
textbf{6} & a^x & a^xcdot ln a\&&\
textbf{7} & sin x & cos x\&&\
textbf{8} & cos x & -sin x\[1ex]
hline
end{array} quad quad quad quad
begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{9} & mathrm{tg}, x & dfrac1{cos^2 x}\&&\
textbf{10} & mathrm{ctg}, x & -,dfrac1{sin^2 x}\&&\
textbf{11} & arcsin x & dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{12} & arccos x & -,dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{13} & mathrm{arctg}, x & dfrac1{1+x^2}\&&\
textbf{14} & mathrm{arcctg}, x & -,dfrac1{1+x^2}\[0.5ex]
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).

Пример: (f(x)=4cos x +dfrac{x^3}2)

(blacktriangleright) Основные формулы поиска производной ((f=f(x), g=g(x)) – функции):

1. Умножение функции на число: [(ccdot f)’=ccdot f’]

2. Сумма или разность двух функций: [(fpm g)’=f’pm
g’]

(blacktriangleright) Хитрости, упрощающие поиск производной:

I. Т.к. (sqrt[n]{x^m}=x^{frac mn}), то производную этой функции можно искать по формуле (2).

Частный случай: (sqrt x =x^{frac12}): [(sqrt x)’=dfrac1{2sqrt x}]

II. Т.к. (dfrac1{x^a}=x^{-a}), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): [left(dfrac1{x^a}right)’=-dfrac a{x^{a+1}}]

(blacktriangleright) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания ((f’>0)) и убывания ((f'<0)) функции, критические точки (где (f’=0) или (f’) не существует).

Задание
1

#2390

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку максимума функции (y = -x^2).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = -2x]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [-2x = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика:

Таким образом, (x = 0) – точка максимума функции (y).

Ответ: 0

Задание
2

#2391

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции (y = x^2 + 2x + 2) на отрезке ([-2; 2]).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 2x + 2]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [2x + 2 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = -1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-2; 2]):

4) Эскиз графика на отрезке ([-2; 2]):

Таким образом, (x = -1) – точка минимума функции (y) на ([-2; 2]).

Ответ: -1

Задание
3

#2392

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции (y = 3x^2 — 6x + pi) на отрезке ([-3; 3]).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 6x — 6]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [6x — 6 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-3; 3]):

4) Эскиз графика на отрезке ([-3; 3]):

Таким образом, (x = 1) – точка минимума функции (y) на ([-3; 3]).

Ответ: 1

Задание
4

#2691

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции (y = x^3 — 3x).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 3x^2 — 3]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [3x^2 — 3 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = pm 1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 1) – точка локального минимума функции (y).

Ответ: 1

Задание
5

#2710

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

(y = x^3 — 15x^2 + 48x + e).

1) (y’ = 3x^2 — 30x + 48 = 3(x^2 — 10x + 16)).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):

[3(x^2 — 10x + 16) = 0qquadLeftrightarrowqquad x^2 — 10x + 16 = 0,] откуда находим (x_1 = 2, x_2 = . Таким образом, [y’ = 3(x — 2)(x — 8).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 2) – точка локального максимума функции (y).

Ответ: 2

Задание
6

#869

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 8x^2 + 55x + 11).

1) (y’ = x^2 — 16x + 55).

(x^2 — 16x + 55 = 0), откуда находим корни (x_1 = 5, x_2 = 11). Таким образом, [y’ = (x-5)(x-11).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 5) – точка локального максимума функции (y).

Ответ: 5

Задание
7

#868

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 3x^2 + 8x + 2).

1) (y’ = x^2 — 6x + .

(x^2 — 6x + 8 = 0), откуда находим корни (x_1 = 2, x_2 = 4). Таким образом, [y’ = (x-2)(x-4).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 4) – точка локального минимума функции (y).

Ответ: 4

Задачи, при выполнении которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций, в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Уметь справляться с ними должны школьники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Научившись безошибочно находить максимум и минимум элементарной функции в задачах ЕГЭ, выпускники смогут выполнить задание и получить конкурентные баллы.

Восполнить пробелы в знаниях и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Чтобы учащимся было легче справляться с задачами ЕГЭ, в которых необходимо найти минимум и максимум элементарной функции, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Эту информацию мы разместили в разделе «Теоретическая справка». Здесь собран материал, подготовленный нашими специалистами для выпускников средних школ.

Чтобы закрепить усвоенную информацию и научиться справляться с задачами в ЕГЭ, выполните упражнения, в которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Выполнить упражнения на нахождение точек экстремума у элементарных функций, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Точки экстремума функции»

Открытый банк заданий по теме точки экстремума функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Тригонометрические уравнения

Задание №1136

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(7x^2-56x+56)e^x на отрезке [-3; 2].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y’= (7x^2-56x+56)’e^x,+ (7x^2-56x+56)left(e^xright)’= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y’=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке [0; 2] — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7cdot 0^2-56cdot 0+56=56.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1135

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке left[0;,frac{pi}{4}right].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции:

y’= (12x)’-12(tg x)’-(18)’= 12-frac{12}{cos ^2x}= frac{12cos ^2x-12}{cos ^2x}leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Ответ

-18

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1134

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2e^{x+52}.

Показать решение

Решение

Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^alpha и e^x:

y'(x)= left((x+8)^2right)’e^{x+52}+(x+8)^2left(e^{x+52}right)’= 2(x+8)e^{x+52}+(x+8)^2e^{x+52}= (x+8)e^{x+52}(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^{x+52}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^{x+52}>0 при любом x. y’=0 при x=-8, x=-10.

Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^{x+52} имеет единственную точку минимума x=-8.

Ответ

-8

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1133

Условие

Найдите точку максимума функции y=8x-frac23x^tfrac32-106.

Показать решение

Решение

ОДЗ: x geqslant 0. Найдём производную исходной функции:

y’=8-frac23cdotfrac32x^tfrac12=8-sqrt x.

Вычислим нули производной:

8-sqrt x=0;

sqrt x=8;

x=64.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что точка x=64 является единственной точкой максимума заданной функции.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1132

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2ln x+37 на отрезке left[frac35; frac75right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y'(x)= 10x-12+frac{2}{x}= frac{10x^2-12x+2}{x}.

Определим нули производной: y'(x)=0;

frac{10x^2-12x+2}{x}=0,

5x^2-6x+1=0,

x_{1,2}= frac{3pmsqrt{3^2-5cdot1}}{5}= frac{3pm2}{5},

x_1=frac15notinleft[frac35; frac75right],

x_2=1inleft[frac35; frac75right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Из рисунка видно, что на отрезке left[frac35; 1right]исходная функция убывает, а на отрезке left[1; frac75right]возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке left[frac35; frac75right]достигается при x=1 и равно y(1)= 5cdot 1^2-12cdot 1+2 ln 1+37= 30.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1131

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:

y’= left((x+4)^2right)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)’= (19)’= 2(x+ 4)(x+1)+(x+4)^2= (x+4)(2x+2+x+4)= (x+4)(3x+6)= 3(x+4)(x+2).

Отыщем нули производной: y'(x)=0;

(x+4)(x+2)=0;

x_1=-4, x_2=-2.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что на отрезке [-5; -4] исходная функция возрастает, а на отрезке [-4; -3] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-5; -3] достигается при x=-4 и равно y(-4)= (-4+4)^2(-4+1)+19= 19.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1130

Условие

Найдите точки минимума функции y=sqrt{x^2+60x+1000}.

Показать решение

Решение

Область определения: x^2+60x+1000 geqslant 0;

x^2 +2cdot30x+30^2+(1000-30^2)= (x+30)^2+100>0 для всех вещественных значений x. Заметим, что функция y=sqrt t строго возрастает на множестве tgeqslant0. Отсюда точка минимума исходной функции совпадёт с точкой минимума x_0 функции x^2+60x+1000. Точка минимума квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом совпадает с абсциссой вершины соответствующей параболы. Вершина параболы имеет абсциссу x_0=-frac{60}{2cdot1}=-30.

Ответ

-30

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1129

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=(5x^2-70x+70)e^{x-12} на отрезке [10; 15].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения

y’= (5x^2-70x+70)’e^{x-12},+ (5x^2-70x+70)left(e^{x-12}right)’= (10x-70)e^{x-12},+ (5x^2-70x+70)e^{x-12}= (5x^2-60x)e^{x-12}= 5x(x-12)e^{x-12}.

Вычислим нули производной: y’=0;

5x(x-12)e^{x-12}=0,

x_1=0, x_2=12.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [10; 12] исходная функция убывает, а на отрезке [12; 15] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [10; 15] достигается при x=12 и равно y(12)= (5cdot 12^2-70cdot 12+70)e^{12-12}= -50.

Ответ

-50

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1128

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=32tg x — 32x-8pi+103 на отрезке left[-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}right].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции:

y’= 32(tg x)’-(32x)’-(8pi )’+(103)’= frac{32}{cos ^2x}-32= frac{32-32cos ^2x}{cos ^2x}geqslant0. Значит, исходная функция является неубывающей на рассматриваемом промежутке и принимает

наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=-frac{pi}{4}. Наименьшее значение равно yleft(-frac{pi}{4}right)= 32tgleft(-frac{pi}{4}right)-32cdotleft(-frac{pi}{4}right)-8pi+103= -32+103= 71.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1127

Условие

Найдите точку максимума функции y=(x+3)^2e^{x-2016}.

Показать решение

Решение

Будем находить точку максимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^alpha и e^x:

y'(x)= left((x+3)^2right)’e^{x-2016}+(x+3)^2left(e^{x-2016}right)’= 2(x+3)e^{x-2016}+(x+3)^2e^{x-2016}= (x+3)e^{x-2016}(2+x+3)= (x+3)(x+5)e^{x-2016}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Так как e^{x-2016}>0 для любого x, то y’=0 при x=-3, x=-5.

Из рисунка видно, что функция y=(x+3)^2e^{x-2016} имеет единственную точку максимума x=-5.

Ответ

-5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
— если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
— если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
— если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

* Замечание. Важно!

Поиск точек экстремума у элементарных функций

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Точки экстремума функции»

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Новое и интересное на сайте:

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.