Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
2
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
3
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.
4
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
5
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
Пройти тестирование по этим заданиям
Всего: 6 1–6
Добавить в вариант
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 120914.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра AB, BC и диагональ боковой грани BC1 равны соответственно 7, 3 и 
Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 60 см × 20 см × 50 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Для того чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 166084.
В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали, уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 152743.
Всего: 6 1–6
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Ответ:
2
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
Ответ:
3
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.
Ответ:
4
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Ответ:
5
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
Ответ:
6
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
Ответ:
7
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Ответ:
8
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Ответ:
9
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
Ответ:
10
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.
Ответ:
11
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 
и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.
Ответ:
12
Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.
Ответ:
13
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Ответ:
14
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.
Ответ:
15
16
17
18
19
20
21
Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1=3.
Ответ:
22
23
24
25
26
27
28
29
30
В прямоугольном параллелепипеде 
известны длины рёбер: AB = 3, AD = 5, 
= 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
Ответ:
31
В прямоугольный параллелепипед вписана сфера с радиусом 4. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ:
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Поиск
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 328 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем параллелепипеда в отношении 1:5.
б) Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 30°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 30° и равно 6. Найдите объем параллелепипеда.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 18. Найдите объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объем параллелепипеда.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 32 и 42. Диагональ параллелепипеда равна 58. Найдите объем параллелепипеда.
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 2 и образует с плоскостью этой грани угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7 : 17.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 215.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.
Всего: 328 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»
(blacktriangleright) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).
Тогда:
1) противоположные грани равны между собой;
2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;
3) как следствие, формула для объема принимает вид: ({Large{V=abc}}), где (a, b, c) – три различных боковых ребра.
(blacktriangleright) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.
1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;
2) Диагональ (d) можно найти по формуле: ({Large{d^{,2}=a^2+b^2+c^2}}).
Задание
1
#2863
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны (4) и (5), а боковое ребро равно (3). Найдите наибольшую площадь его грани.
Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел (3,4,5), то есть (3cdot
4), (4cdot 5) или (3cdot 5). Среди этих произведений наибольшим является (4cdot 5=20).
Ответ: 20
Задание
2
#2864
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны (185), (185) и (37); а ребра другого равны (185, 37) и (37). Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?
Отношение их объемов равно: [dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{185cdot 185cdot 37}{185cdot 37cdot 37}=
dfrac{185}{37}=5.]
Ответ: 5
Задание
3
#2865
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны (a, b) и (b), а ребра другого равны (a, a) и (b). На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если (a=1000, b=1001).
Площадь полной поверхности первого параллелепипеда [S_1=2(ab+b^2+ab)] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда [S_2=2(ab+ab+a^2)] Следовательно, [S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.]
Ответ: 4002
Задание
4
#3974
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан прямоугольный параллелепипед (ABCDA_1B_1C_1D_1). Во сколько раз объем пирамиды (AA_1BD) меньше объема этого параллелепипеда?
Пусть (AB=x), (AD=y), (AA_1=z). Тогда объем параллелепипеда равен [V_{par}=S_{ABCD}cdot AA_1=xycdot z.] Так как (S_{ABD}=0,5S_{ABCD}) (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды [V_{pir}=dfrac13cdot S_{ABC}cdot AA_1=
dfrac13cdot dfrac12xycdot z=dfrac16xyz.] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.
Ответ:
6
Задание
5
#2867
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани (AA_1D_1D) равна (5), а (AB=2sqrt6). Найдите диагональ параллелепипеда.
Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, (A_1D=AD_1). Рассмотрим диагональ (A_1D) и диагональ параллелепипеда (B_1D). Треугольник (A_1B_1D) прямоугольный, так как ребро (A_1B_1) перпендикулярно грани (AA_1D_1D) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза [B_1D=sqrt{A_1B_1^2+A_1D^2}=sqrt{5^2+(2sqrt6)^2}=7.]
Ответ: 7
Задание
6
#2641
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами (2, 3) и (6). Найдите его диагональ.
Пусть (AB=2, AD=3 , AA_1=6).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника (ABD) ((angle
A=90^circ)) имеем: (BD^2=AB^2+AD^2).
Из прямоугольного треугольника (BB_1D) ((angle B=90^circ)) по теореме Пифагора (B_1D^2=BD^2+BB_1^2).
Подставляя (BD^2) из первого равенства во второе, получим:
[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 quad Leftrightarrow quad B_1D=7.]
Ответ: 7
Задание
7
#2689
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.
Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).
Таким образом, искомый объём равен [0,8cdot 1cdot 1,2 — 0,3cdot 0,5cdot 0,55 = 0,8775,.]
Ответ: 0,8775
Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.
При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.
Основные нюансы, которые стоит запомнить
- Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
- Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
- Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
- Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с решением задач на тему “Призма”.
Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.
Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Геометрия 11
класс. Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед». Задания №13 (базовый
уровень), №8 (профильный уровень) ЕГЭ.
|
№ |
Задания |
Ответы |
|
1 |
Рёбра
|
22 |
|
2 |
Два
|
3 |
|
3 |
Два
|
64 |
|
4 |
Во
|
4 |
|
5 |
Диагональ
|
18 |
|
6 |
В |
13 |
|
7 |
В |
11 |
|
8 |
В |
1 |
|
9 |
Найдите
|
54 |
|
10 |
Найдите квадрат
|
89 |
|
11 |
Найдите
|
1,5 |
|
12 |
Найдите
|
60 |
|
13 |
Найдите
|
1 |
|
14 |
Найдите
|
36 |
|
15 |
Найдите
|
40 |
|
16 |
Найдите
|
130 |
|
17 |
Найдите
|
80 |
|
18 |
Найдите
|
76 |
|
19 |
Найдите
|
40 |
|
20 |
Найдите
|
82 |
|
21 |
Найдите площадь
|
116 |
|
22 |
Найдите
|
178 |
|
23 |
Найдите
|
204 |
|
24 |
Найдите
|
134 |
|
25 |
Диагональ |
6 |
|
26 |
В кубе |
45 |
|
27 |
Если
|
7 |
|
28 |
Если
|
3,5 |
ЕГЭ Профиль №8. Куб, прямоугольный параллелепипед