Решу егэ параметры с корнями

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 390    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 390    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

Вынесли общий множитель за скобку

Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство — не имеет решений, если

Рассмотрим второй случай.

1) Корни и совпадают, тогда и

Так как исходное уравнение при имеет один корень

2) Корни и совпадают.

Уравнение имеет корни и

3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения

Построим в системе координат графики функций:

Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию такую, что:

Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.

Уравнение имеет ровно два корня при или

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

• Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
• Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
• Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности § 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль § 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами § 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением

Задания по теме «Задачи с параметром»

Открытый банк заданий по теме задачи с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= sqrt <80>= 4sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).

3644	При каких значениях параметра a уравнение (a^2-6a+8)x^2+. (a^2-4)x+10-3a-a^2=0. имеет более двух корней Решение     График	При каких значениях параметра a уравнение (a2-6a+8)x2 +(a2-4)x + 10-3a-a2 =0 имеет более двух корней
3591	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 имеет более одного корня Решение     График	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение a(a+3)x2 +(2a+6)x -3a -9 =0 имеет более одного корня
3585	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2sqrt(x^4+(a-3)^4)=abs(x+a-3)+abs(x-a+3) имеет единственное решение Решение     График	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2sqrt(x4 +(a-3)4) = abs(x+a-3) +abs(x-a+3) имеет единственное решение ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 17 Вариант МА2210209 #Задачи — аналоги   621    104
3544	Найдите все значения a, при которых система уравнений {(abs(y+x^3)-abs(y+3x)=2y+x^3+3x), (abs(-y-3x+1)-abs(y+x^3-a)=), (= -3y-6x-x^3+a+2) :} имеет единственное решение Решение	Найдите все значения a, при которых система уравнений {|y+x^3|-|y+3x| = 2y+x^3+3x), |-y-3x+1| -|y+x^3-a| =-3y-6x-x3+a+2 имеет единственное решение ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 6 Задание 17
3434	Найдите все значения параметра a, b при которых неравенство a^3x^4+2ax^3+b <= 2bx^2+b^3x+a выполняется для всех x из отрезка [0; 1] Решение     График	Найдите все значения параметра a, b при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [0; 1] ! ДВИ в МГУ 2022 — 5 поток, Вариант 225 Задание 6 # Решение Натальи Яковлевны Захаровой youtube видео разбор
3405	Найдите все значения a, при которых система уравнений {(abs(y+1/2x^3)-abs(y+3/2x)=2y+1/2x^3+3/2x), (abs(-y-3/2x+1)-abs(y+1/2x^3-a)=), (-4 y-9/2x-1/2x^3+a+3) :}. имеет единственное решение Решение     График	Найдите все значения a, при которых система уравнений { |y+1/2×3| -|y+3/2x| = 2y + 1/2×3 +3/2x |-y-3/2x+1| — |y+1/2×3 -a| = -4y -9/2x -1/2×3 +a +3 имеет единственное решение ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 8 Задание 17 # Ошибка в ответе пособия у Ященко ? : color{red}{a > -1 ?}
3404	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x^2+(1-a+root(4)(abs(x)))^2=a^2/4. имеет ровно три решения Решение     График	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x2 + (1-a+ корень 4 степени из |x|) 2 = a 2/4 имеет ровно три решения ! ДВИ в МГУ 2022 — 1 поток, Вариант 1 Задание 6
3391	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(15x^2+6ax+9)=x^2+ax+3 имеет три различных решения Решение     График	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение корень из 15×2 +6ax+9 =x2 +ax+3 имеет три различных решения ! ЕГЭ 2022 по математике 27.06.2022 резервный день Задание 17
3379	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2+a^2+2x-4a=abs(4x+2a). имеет более двух различных корней Решение     График	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2 +a2 +2x -4a = |4x+2a| имеет более двух различных корней ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 17 Санкт-Петербург
3368	Оценки экспертов решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 17 — это уравнение, неравенство или их системы с параметром. Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются: – чисто алгебраический способ решения; – способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи; – функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции. Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трёх перечисленных способов Решение	Критерии оценивания решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня ! Примеры оценивания реальных работ 2016-2021 гг # Приведены типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике и критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку

Показана страница 1 из 55

Решение задач с параметрами требует наличия определенной математической культуры. С реше-нием задач с параметрами приходится сталкиваться не только в математике. Очень многие законы и закономерности из физики, эконо-мики и других областей описываются уравнениями и неравенствами с параметрами. Фактически, решая задачи по физике, химии, экономике и некоторым другим школьным дисциплинам, ученик имеет дело с параметрами. Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы. В данной статей приводятся лишь некоторые представления о том, как рассуждают при решении подобных заданий. С этой целью рассмотрены несколько примеров, большая часть которых взята из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет (задача C5).

Решение «типичных» задач с параметрами

Решение.

1) Начнем с рассмотрения случая, когда . Тогда уравнение принимает вид , откуда получаем, что — положительный корень. Значит данное значение нам подходит. Запомнили.

2) Теперь рассматриваем случай, когда . Разделим обе части уравнения на . В результате получаем следующее квадратное уравнение:

   

Так как ветви соответствующей параболы направлены вверх, данное уравнение имеет два положительных корня в том случае, если эта парабола пересекает ось OY в точке, находящейся выше нуля (то есть значение соответствующей квадратичной функции при положительно), абсцисса вершины параболы положительна, а дискриминант квадратного уравнения неотрицателен. То есть имеет место следующая система:

   

Решая данную систему неравенств, получаем промежуточный ответ: .

3) Объединяем решения, полученные в предыдущих двух пунктах. В результате получаем окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №1. Для каждого значения решите уравнение

Показать ответ

Решение.

Используем следующую замену: . Тогда первоначальное уравнение принимает вид: Полученное уравнение с параметром можно исследовать с помощью метода, использованного нами при решении предыдущего задания. Однако для разнообразия предлагаю воспользоваться здесь альтернативным подходом.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный или равный нулю.

1) Дискриминант уравнения равен: . Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при . При этом корень — положителен. Данное значение нам подходит. Запомнили.

2) Рассматриваем случай, когда существует два корня, один из которых положителен, другой — неположителен. Условия, при которых эта ситуация реализуется, могут быть записаны следующим образом:

   

Окончательно: .

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите все значения при которых уравнение имеет единственное решение.

Показать ответ

Ответ: 

Решение. Перепишем уравнение в виде: . Найдем промежутки возрастания и убывания функции . Для этого найдем сперва ее производную:

   

Нули производной равны

Производная принимает положительные значения на промежутке , на промежутке она принимает отрицательные значения. То есть в точке   возрастание функции сменяется ее убыванием, то есть это точка максимума. Значение функции в этой точке: . Напротив, в точке убывание функции сменяется ее возрастанием, то есть это точка минимума. Значение функции в этой точке: .

Следовательно, три решения исходное уравнение будет иметь в том случае, если прямая на координатной плоскости будет располагаться выше прямой и ниже прямой . Значит верно двойное неравенство: . Откуда получаем окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №3. Найдите все значения параметра при которых уравнение  не имеет решений.

Показать ответ

Ответ: 

Не сходится с ответом?

Показать подсказку

Подсказка: преобразуйте выражение к виду: после чего используйте то, что

Решение задач с параметрами повышенной сложности

Решение. Используем графический метод решения. График функции отличается от параболы только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений).

График функции представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в точку . В зависимости от значений параметра возможны следующие варианты взаимного расположения этих графиков на координатной плоскости:

Видно, что три решения уравнение будет в случае фиолетовой и бежевой «галочки». Первый случай выполняется при условии выполнения равенства Во втором случае оба модуля раскрываются со отрицательным знаком. В результате приходим к уравнению . Его дискриминант должен быть равен нулю, чтобы получилось одно пересечение (касание). То есть оказывается, что

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №4. При каких уравнение имеет ровно три корня?

Показать ответ

Ответ: 

Решение. Вместо во втором уравнении подставляем из первого, тогда второе уравнение системы принимает вид:

   

   

Обращаем внимание на то, что каждому найденному значению будет соответствовать единственное значение , такая пара будет одним решением системы. Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратичных уравнения: и . Дискриминант и того, и другого равен .

Нам нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному решению, тогда у исходной системы их будет два. Это условие выполняется в том случае, когда полученный дискриминант равен нулю. Итак, окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство выполнено для любых значений переменной из отрезка .

Показать ответ

Ответ:

Решение. Преобразуем систему к следующему виду:

   

Поскольку параметр находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: . Поскольку переменная стоит под знаком логарифма, на нее накладывается следующее ограничение: .

Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: . В зависимости от того, какие значения принимает параметр , возможны два случая:

1) Пусть  В этом случае функция  убывает в области допустимых значений, а функция возрастает в той же области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций (кто не помним, может ознакомиться с этой статьей), осознаем, что корень у уравнения один, при этом он меньше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения в силу того, что дискриминант уравнения при положителен. Рассматриваемый случай нам полностью подходит.

2) Пусть теперь . В этом случае функция возрастает на области допустимых значений, и функция возрастает в этой области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций, осознаем, что пересечься в одной точке они могут только в случае касания друг друга. Однако, касание это может произойти лишь в точке, абсцисса которой больше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом, следовательно, иметь решений не будут в силу того, что дискриминант уравнения при отрицателен.

Итак, окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №6. Для каждого допустимого значения решите неравенство и найдите, при каких значениях множество решений неравенства представляет собой промежуток длины

Показать ответ

Решение. Перепишем уравнение в виде:

   

Рассмотрим функцию:

   

При первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: . Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть эта функция на данном промежутке возрастает.

Рассмотрим теперь промежуток, на котором . В этом случае первый модуль раскрывается с минусом и функция принимает следующий вид: . Также легко видеть, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть на этом промежутке функция убывает.

Итак, мы получили, что — точка минимума данной функции. А это означает, что для того, чтобы график данной функции пересекал ось OX в двух точках (то есть у исходного уравнения уравнения было два решения), значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: .

После несложных преобразований получаем окончательный ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

Показать ответ

Ответ: 

Не сходится с ответом?

Показать подсказку

Преобразуйте выражение к виду Решать его нужно относительно который будет принимать единственное значение при в том случае, когда или

Все равно не получается?

Показать решение

Решение.

Выразим  из второго уравнения и подставим в первое, получаем:

   

Для того, чтобы данная система имела два решения, необходимо, чтобы два решения имело первое уравнение этой системы. Нас интересуют только

1) При получаем линейное уравнение: которое имеет одно решение. Этот случай не подходит.

2) Рассматриваем случай, когда Уравнение принимает вид: . Его правая часть представляет из себя возрастающую функцию, левая — убывающую. Это означает, что если у такого уравнения есть решение, то оно единственное. Этот случай нам не подходит.

3) Теперь рассмотрим случай, когда В зависимости от конкретного значения параметра уравнение вида  может не иметь решений (нет точек пересечения соответствующих графиков), иметь одно решение (прямая касается экспоненты), иметь два решения (две точки пересечения). Нам подходит последний случай.

Разберемся со случаем, когда прямая касается экспоненты. Пусть — абсцисса точки касания. В этой точке производная к экспоненте равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система:

   

   

Если значение параметра окажется меньше, точек пересечения прямой и экспоненты уже будет две. Итак, окончательный ответ:

Задача для самостоятельного решения №8. Найти все значения при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем

Показать ответ

Ответ: 

На сегодня на этом все. Следите за обновлениями, учите математику, задавайте свои вопросы в комментариях. Удачи вам! А напоследок случай из жизни Сократа о значимости некоторых параметров.

Репетитор по математике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич