СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Пирамида
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 2 № 901 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 2 № 902
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке 
Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка 
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 2 № 903
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 2 № 904
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 2, объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 2 № 905
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д13 № 901 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
2
Задания Д13 № 911
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O − центр основания, S − вершина, 
Найдите боковое ребро 
3
Задания Д13 № 912
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O − центр основания, S − вершина, 
Найдите длину отрезка 
4
Задания Д13 № 920
В правильной треугольной пирамиде SABC точка M − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.
Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.
5
Задания Д13 № 921
В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Пройти тестирование по этим заданиям
Всего: 10 1–10
Добавить в вариант
Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 16. У второй пирамиды высота в 2 раза больше, а сторона основания в 1,5 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно 
Источник: ЕГЭ по базовой математике 26.03.2015. Досрочная волна, Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 166703.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 166082.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 10, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 
Найдите объём пирамиды SABC.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB = 6, AC = 18 и AD = 8.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна 
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Плоскость, проходящая через точки A, B и C, рассекает тетраэдр на два многогранника (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с бо́льшим числом вершин?
Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1
Раздел кодификатора ФИПИ: Пирамида
Всего: 10 1–10
Видео по теме
Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде 
точка 
– центр основания, 
– вершина, 
Найдите длину отрезка 
.
Решение: + показать
Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, 
Найдите боковое ребро 
Решение: + показать
Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, 
Найдите длину отрезка 
Решение: + показать
Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 
и 
Ее объем равен 
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием 
боковое ребро 
равно 
сторона основания равна 
Найдите объём пирамиды.
Решение: + показать
Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
Решение: + показать
Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 
У второй пирамиды высота в 
раза больше, а сторона основания в 
раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.
Решение: + показать
Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 
а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Решение: + показать
Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 
и Ее объем равен 
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 12. В правильной треугольной пирамиде 
медианы основания 
пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 
объем пирамиды равен Найдите длину отрезка 
.
Решение: + показать
Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка 
— середина ребра 
— вершина. Известно, что 
а 
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: + показать
Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 
а высота равна 
Решение: + показать
Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 
а объем равен 
Решение: + показать
Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды 
Сторона основания равна Найдите боковое ребро.
Решение: + показать
Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?
Решение: + показать
Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?
Решение: + показать
Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?
Решение: + показать
Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 
°. Высота пирамиды равна 
Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен 
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Решение: + показать
Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 
Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 
Решение: + показать
Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.
Решение: + показать
Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен 
Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды 
если объём треугольной пирамиды 
равен 
Решение: + показать
Задача 28. Объем параллелепипеда 
равен Найдите объем треугольной пирамиды 
Решение: + показать
Задача 29. Объем куба равен 
Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Решение: + показать
Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 
Решение: + показать
Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 
Точка 
— середина ребра 
. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
Решение: + показать
Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен 
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение: + показать
Задача 33. Ребра тетраэдра равны 
Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест
ЕГЭ Профиль №8. Пирамида
Нашли ошибку в заданиях? Оставьте, пожалуйста, отзыв.
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Пирамида»
Пирамида (PA_1A_2…A_n):
(blacktriangleright) Многоугольник (A_1…A_n) – основание;
треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;
точка (P) – вершина;
отрезки (PA_1, PA_2, …, A_1A_2) и т.д. – ребра.
(blacktriangleright) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется тетраэдром.
(blacktriangleright) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.
(blacktriangleright) Объем пирамиды ({Large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн}}h}}) , где (S_{text{осн}}) – площадь основания, (h) – высота.
(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.
Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.
Задание
1
#2878
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана пирамида (SABCD), вершиной которой является точка (S), в основании лежит ромб, а высота (SO) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол (ASO) равен углу (SBO), а диагонали основания равны (6) и (24).
Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то (AO=12), (BO=3).
Заметим, что так как (SO) – высота пирамиды, то (triangle ASO) и (triangle BSO) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть (SO=h), тогда из подобия имеем: [dfrac{BO}{h}=dfrac{h}{AO} quadRightarrowquad h=6.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot hcdot dfrac12cdot 24cdot 6=144.]
Ответ: 144
Задание
2
#2879
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В пирамиде (SABC) высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник (ABC) равнобедренный, боковые стороны равны (10), а основание (AC=18). Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром (SB) и плоскостью основания равен (45^circ).
Пусть (BK) – высота в (triangle ABC), а значит и медиана. Тогда из прямоугольного (triangle BKC): [BK=sqrt{BC^2-KC^2}=sqrt{10^2-9^2}=sqrt{19}.] Тогда площадь основания равна [S_{ABC}=dfrac12cdot ACcdot
BK=9sqrt{19}.] Так как (O) – точка пересечения медиан, то (O) лежит на (BK). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [BO=dfrac23BK=dfrac23sqrt{19}.] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, (angle SBO=45^circ) и есть угол между (SB) и основанием (так как (BO) – проекция (SB) на плоскость (ABC)). Так как к тому же (triangle SBO) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, [SO=BO=dfrac23sqrt{19}.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SOcdot S_{ABC}=38.]
Ответ: 38
Задание
3
#2880
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Высота (SH) треугольной пирамиды (SABC) падает на середину стороны (AB), (ABC) – правильный треугольник со стороной (6). Найдите объем пирамиды, если (SC=sqrt{30}).
Так как (H) – середина (AB) и треугольник правильный, то (CH) – высота. Следовательно, [CH=dfrac{sqrt3}2AB=3sqrt3.] Так как (SH) – высота пирамиды, то (triangle SHC) – прямоугольный, следовательно, [SH=sqrt{SC^2-CH^2}=sqrt{30-27}=sqrt3.] Следовательно, объем равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot SHcdot dfrac12cdot CHcdot AB=9.]
Ответ: 9
Задание
4
#2881
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция (ABCD), (AD) – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок (BC). Апофема грани (ASD) равна (10) и образует угол (45^circ) с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна (9).
Пусть (SH) – высота пирамиды. Проведем (HKperp AD). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (SK) (наклонная) также перпендикулярна (AD) (так как (HK) – ее проекция на плоскость (ABC)). Следовательно, (SK) и есть апофема грани (ASD). Также отсюда следует, что (angle SKH=45^circ) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, (triangle SHK) прямоугольный и равнобедренный, значит, [SH=HK=SKdiv sqrt2=dfrac{10}{sqrt2}] По определению получается, что (HK) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то [S_{ABCD}=9cdot dfrac{10}{sqrt2}] А значит объем пирамиды равен [V=dfrac13cdotdfrac{10}{sqrt2}cdot9cdot dfrac{10}{sqrt2}=150.]
Ответ: 150
Задание
5
#1857
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция с основаниями (AD) и (BC). (H) – точка пересечения диагоналей трапеции, а (SH) – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, (mathrm{tg}, angle SAC = 3), (BH = 3), (AH = 2). Найдите объем пирамиды.
(triangle AHD) и (triangle BHC) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция (ABCD) равнобедренная (Rightarrow) (AH = HD), (BH = HC) (Rightarrow) (AC = BD = 2 + 3 = 5) (Rightarrow)
[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = frac{1}{2}cdot ACcdot BH + frac{1}{2}cdot ACcdot HD = frac{1}{2}cdot ACcdot(BH + HD) = frac{1}{2}cdot ACcdot BD.]
В (triangle SAH): (SH = AHcdot mathrm{tg}, angle SAC = 6), т.к. (triangle SAH) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SH = frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot5cdot5cdot6 = 25].
Ответ: 25
Задание
6
#1858
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В основании пирамиды (SABC) лежит прямоугольный треугольник с прямым углом (angle A). Точка (H) – центр описанной вокруг треугольника (triangle ABC) окружности, (SH) – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что (AB = 6), (AC = 
, (SA = 5sqrt5).
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам (Rightarrow) (BH = AH = CH) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике (triangle BAC) по теореме Пифагора: (BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100) (Rightarrow) (BC = 10) (Rightarrow) (AH = frac{BC}{2} = frac{10}{2} = 5). Треугольник (triangle AHS) – прямоугольный, т.к. (SH perp ABC) ((SH) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти (SH): (SH^2 = AS^2 — AH^2 = (5sqrt5)^2 — 5^2 = 100) (Rightarrow) (SH = 10). Теперь найдем объем пирамиды: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SHcdot S_{triangle BAC} = frac{1}{3}cdot SHcdotfrac{1}{2}cdot ABcdot AC = frac{1}{3}cdot10cdotfrac{1}{2}cdot6cdot8 = 80.]
Ответ: 80
Задание
7
#2769
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Точки (A), (B) и (C) лежат в плоскости (pi). Прямая (l) образует с плоскостью (pi) угол в (45^circ) и проходит через точку (B) так, что (angle(l; AB) = angle(l; BC)). Через (l’) обозначим проекцию (l) на (pi). Найдите (angle(l’; AB)), если (angle ABC = 80^circ). Ответ дайте в градусах.
Докажем, что (l’) содержит биссектрису угла (ABC). Выберем на (AB) точку (A’), а на (BC) точку (C’) так, чтобы (A’B = BC’). Построим прямую, проходящую через точку (B) и точку (H) – середину (A’C’). 
Отметим на (l) точку (M). Треугольник (A’BC’) – равнобедренный, тогда (BH) – высота.
Рассмотрим треугольники (A’BM) и (C’BM): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда (MA’ = MC’) и треугольник (A’MC’) – равнобедренный, тогда (MH) – его высота.
В итоге (A’C’perp BH) и (A’C’perp MH), следовательно, (A’C’perp (MBH)). Если предположить, что (M’) – проекция точки (M) на ((A’BC’)), не попадает на прямую, содержащую (BH), то получим, что (A’C’perp M’M) и (A’C’perp MH), откуда следует, что (A’C’perp (MM’H)). Но тогда плоскости ((MM’H)) и ((MBH)) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.
Таким образом, (M’) лежит на прямой, содержащей (BH), но тогда (l’) совпадает с прямой, содержащей (BH). В итоге, (angle(l’; AB) = 0,5angle ABC = 40^circ).
Ответ: 40
При подготовке к ЕГЭ по математике старшеклассникам следует особое внимание уделить теме «Пирамида», так как задачи, связанные с расчетом объема и площади данного многогранника, непременно встретятся на финальной аттестации. Весь необходимый для повторного изучения материал вы найдете в данном разделе. Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию и элементарные упражнения, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация
Пирамида — многогранник, образованный благодаря соединению всех точек плоского многоугольника с точкой, выходящей за пределы плоскости данного многоугольника.
Пирамиду называют n-угольной по количеству углов в основании. Если последним является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с его центром, фигуру называют правильной.
Все боковые грани пирамиды — треугольники.
Подробная теоретическая часть приведена в начале страницы. Вы также можете сразу приступить к практике. Задачи, представленные в данном разделе, помогут вам найти объем пирамиды, длину ее определенных отрезков и т. д. Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ. Таким образом, разобраться в теме вы сможете самостоятельно, без помощи репетитора.
Как часто следует тренироваться?
Чтобы на ЕГЭ ребенок смог легко решить задачи по стереометрии (а определение площади и других параметров пирамиды относятся к данному разделу геометрии), мы рекомендуем выполнять по 2—3 упражнения каждый день. Таким образом, знания будут лучше усваиваться и вам будет проще переходить от простого к сложному.
Проверьте, легко ли вы рассчитаете площадь пирамиды, прямо сейчас. Разберите любое задание онлайн. Если решение дастся вам легко, значит, шансы на высокие экзаменационные баллы по математике достаточно велики. А при возникновении затруднений планируйте свой день таким образом, чтобы в ежедневное расписание был включен дистанционный образовательный проект «Школково». Мы поможем вам восполнить пробелы в знаниях!
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика базового уровня
Математика базового уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Справочник
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 510732
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна 
Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
Спрятать решение
Решение.
Пусть второй катет — b с помощью теоремы Пифагора найдём его:
Найдём площадь основания:
Найдём объём призмы:
Ответ: 24.
Аналоги к заданию № 509621: 506419 510732 510752 510969 510989 518406 518434 518454 518478 522364 … Все
Спрятать решение
·
Прототип задания
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Спрятать решение
Решение.
Многогранник, объём которого необходимо найти, является треугольной пирамидой. Из рисунка видно, что его объём равен объёму треугольной призмы, уменьшенному на сумму объёмов двух треугольных пирамид: 
и 
Поскольку призма правильная, объёмы этих пирамид равны. Объём пирамиды равен одной третьей от произведения площади основания на высоту, следовательно, для объём искомого многогранника имеем:
Ответ: 2.
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402.
Каталог заданий
Назад в каталог
Вернуться к списку прототипов этой категории
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 13 № 510732
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
Аналоги к заданию № 509621: 506419 510732 510752 510969 510989 518406 518434 518454 518478 522364 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.
Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?
Повторим формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)
Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?
Посмотрим, как решаются простые задачи по стереометрии и задачи с секретами.
Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в 
раз, а объем в 
раз.
И решаем задачи. У нас все получится!
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?
Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.
3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия 
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен 
4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.
Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен 
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна 
Найти объем пирамиды SABCD .
Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника SAE получаем, что 
Соответственно, сторона основания пирамиды равна 
Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора, для треугольника SHE – она равна 2.
Применяя формулу для объема пирамиды 
, получаем ответ: 16.
Многие задания №2 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.
Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.
6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.
Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.
Радиус описанной окружности найдем по формуле
Площадь 
найдем по формуле Герона:
, где 
– полупериметр.
Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.
7. В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми 
и 
. Ответ дайте в градусах.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку 
и параллельны, найдем угол между и . Он равен 45 градусов, так как грань – квадрат.
Ответ: 45.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
9 марта 2023
В закладки
Обсудить
Жалоба
Теория и практика.
Содержание
1) Прямые
2) Параболы
3) Как искать пересечение параболы и прямой, двух парабол
4) Гипербола. Асимптотические точки гиперболы
5) Пересечение гиперболы и прямой
6) Иррациональные функции
7) Пересечение корня и прямой
Тригонометрические функции
9) Показательные функции
10) Логарифмические функции
10_zadacha.pdf
Источник: vk.com/profimatika