Решу егэ показательные неравенства профильный уровень

3^{3x}-3^xcdot 2^{2x}cdot 3+3^{2x}cdot 2^x-3cdot 2^{3x} geqslant 0.

Разделим обе части неравенства на 2^{3x}, 2^{3x} neq 0, 2^{3x}>0, неравенство примет вид frac{3^{3x}}{2^{3x}}-frac{3^xcdot 2^{2x}cdot 3}{2^{3x}},,,+ frac{3^{2x}cdot 2^x}{2^{3x}}-frac{3cdot 2^{3x}}{2^{3x}}geqslant 0,

left( frac32right) ^{3x}-3cdot left( frac32right) ^x+left( frac32right) ^{2x}-3geqslant 0, введем обозначение left( frac32right) ^x=t, t>0.

t^3+t^2-3t-3geqslant 0,

t^2(t+1)-3(t+1)geqslant 0,

(t+1)(t^2-3)geqslant 0,

tin[-sqrt 3;-1]cup [sqrt 3;+infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3geqslant 0 является tin[sqrt 3;+infty ).

left( frac32right) ^x=t, тогда left( frac32right) ^xgeqslant sqrt 3.

xgeqslant log_{tfrac32}sqrt 3=frac{dfrac12log_33}{log_33-log_32},

xgeqslant frac1{2(1-log_32)}.

x inleft[ frac1{2(1-log_32) }; +infty right).

Введём обозначение 7^x=t,, t > 0. Неравенство примет вид t^{2}-7t+3|t-5| geq 6.

left[!!begin{array}{l} begin{cases} t^{2}-7t+3(t-5) geq 6, \ t geq 5; end{cases} \ begin{cases} t^{2}-7t+3(-t+5) geq 6, \ 0 < t leq 5; end{cases} end{array}right.

left[!!begin{array}{l} begin{cases} t^{2}-4t-21 geq 0, \ t geq 5; end{cases} \ begin{cases} t^{2}-10t+9 geq 0, \ 0 < t leq 5; end{cases} end{array}right.

left[!!begin{array}{l} begin{cases} t leq -3; t geq 7, \ t geq 5; end{cases} \ begin{cases} t leq 1; t geq 9, \ 0 < t leq 5; end{cases} end{array}right.

left[!!begin{array}{l} t geq 7, \ 0 < t leq 1. end{array}right.

1) 0 < 7^{x} leq 1,,x leq 0.

2) 7^{x} geq 7,, x geq 1.

Значит, объединением решений будут промежутки (-infty ;0] и [1;+infty ).

С помощью замены 5^{x}=t, где t > 0, приведем неравенство к виду frac{4t-17}{t-4}+frac{10t-13}{2t-3} > frac{8t-30}{2t-7}+frac{5t-4}{t-1}.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

4-frac{1}{t-4}+5+frac{2}{2t-3} > 4-frac{2}{2t-7}+5+frac{1}{t-1},

frac{2}{2t-3}-frac{1}{t-4}+frac{2}{2t-7}-frac{1}{t-1} > 0.

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(2t-7)(t-1)} < 0.

Решим неравенство методом интервалов

С учётом условия t > 0, получим

0 < t < 1,  frac{3}{2} < t < frac{5}{2},  frac{7}{2} < t < 4.

Возвращаясь к переменной x, получим, что 5^{x} < 1,  frac{3}{2} < 5^{x} < frac{5}{2},  frac{7}{2} < 5^{x} < 4 откуда x < 0,  log_{5}frac{3}{2} < x < log_{5}frac{5}{2},  log_{5}frac{7}{2} < x < log_{5}4.

frac{3^{2x}+2 cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 cdot 3^{x}} leq 4+frac{1}{3^{x}}-frac{3 cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Обозначим 3^{x}=t,, t > 0. Неравенство примет вид:

frac{t^{2}+2t+2}{t^{2}+2t} leq 4 +frac{1}{t}-frac{3t+1}{t-1},

1+frac{2}{t(t+2)}-4-frac{1}{t}+frac{3t+1}{t-1} leq 0,

frac{3(t+3)t}{t(t-1)(t+2)} leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 < 0, то есть 0 < t < 1. Тогда 0 < 3^{x} < 1, x < 0.

Пусть left | 2^{x}-3 right |=t, тогда получаем неравенство t geq 4+frac{1}{6-t}. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+frac{1}{6-t} leq 0; frac{t^{2}-10t+25}{6-t} leq 0; frac{(t-5)^{2}}{6-t} leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6. Отсюда left | 2^{x}-3 right |=5 или left | 2^{x}-3 right | > 6.

Пусть 2^{x}=a, решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения left | a-3 right |=5 получаем left[!!begin{array}{l} a-3 = 5, \a — 3= -5; end{array}right. Leftrightarrow left[!!begin{array}{l} a = 8, \ a = -2. end{array}right.

Далее left[!!begin{array}{l} 2^{x}=8 \ 2^{x}=-2; end{array}right. Leftrightarrow x=3. Модуль left | a-3 right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенства left | a-3 right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

left | a-3right | > 6 получаем a < -3 или a > 9. Далее left[!!begin{array}{l} 2^{x} < -3, \ 2^{x} > 9; end{array}right.: Leftrightarrow : 2^{x} > 2^{log_{2}9} Leftrightarrow : x > log _{2}9.

Пусть t=2^{3-x^2}-1, тогда неравенство примет вид:

frac{t^2-8t+7}{t^2}geqslant 0, frac{(t-1)(t-7)}{t^2}geqslant 0, откуда t<0; 0<tleqslant 1; tgeqslant 7.

При t<0 получим: 2^{3-x^2}-1<0; 3-x^2<0, откуда x<-sqrt{3}; x>sqrt{3}.

При 0<tleqslant 1 получим: 0<2^{3-x^2}-1leqslant 1; 0<3-x^2leqslant 1, откуда -sqrt{3}<xleqslant -sqrt{2};sqrt{2}leqslant x< sqrt{3}.

При tgeqslant 7 получим: 2^{3-x^2}-1geqslant 7; 3-x^2geqslant 3, откуда x=0.

Решением исходного неравенства будет

x<-sqrt{3}; -sqrt{3}<xleqslant -sqrt{2}; x=0; sqrt{2}leqslant x<sqrt{3}; x>sqrt{3}

Пусть 4^x=t, тогда имеем: frac{t+2}{t-8}+frac{t}{t-4}+frac{8}{t^2-12t+32}leq 0.

Разложим многочлен t^2-12t+32 на множители:

t^2-12t+32=0,

t_1=8, t_2=4,

t^2-12t+32=(t-8)(t-4).  Получили:

frac{t+2}{t-8}+frac{t}{t-4}+frac{8}{(t-8)(t-4)}leq 0

Приводим левую часть к общему знаменателю:

frac{(t+2)(t-4)+t(t-8)+8}{(t-8)(t-4)}leq 0 .

Раскроем скобки и приведем подобные:

frac{t^2+2t-4t-8+t^2-8t+8}{(t-8)(t-4)}leq 0 ,

frac{2t^2-10t}{(t-8)(t-4)}leq 0 ,

frac{2t(t-5)}{(t-8)(t-4)}leq 0 .

Решаем неравенство методом интервалов.

ОДЗ: (t-8)(t-4)neq 0 Rightarrow tneq 8, tneq 4.

Нули дроби: 2t(t-5)=0 Rightarrow t=0, t=5.

0leq t< 4 или 5leq t< 8

Если 0leq t< 4, то 0leq 4^x< 4, 4^x<4^1, x<1

Если 5leq t< 8, то 5leq 4^x< 8, log_4{5}leq x < 1.5

Пусть y=2^{2-x^2}-1, тогда неравенство примет вид:

frac{y^{2}-4y+3}{y^{2}}geqslant 0; frac{(y-1)(y-3)}{y^{2}}geqslant 0,

откуда y< 0;: 0< yleqslant1;:ygeq 3.

При y< 0 получим: 2^{2-x^2}-1< 0;enspace 2-x^{2}< 0, откуда x< -sqrt{2};enspace x> sqrt{2}.

При 0< yleqslant 1 получим: 0< 2^{2-x^{2}}-1leqslant 1;enspace 0< 2-x^{2}leqslant 1, откуда -sqrt{2}< xleqslant -1;enspace1leqslant x< sqrt{2}.

При ygeqslant 3 получим: 2^{2-x^2}-1geqslant 3;enspace 2-x^{2}geqslant 2, откуда x=0.

Решение исходного неравенства:

x< -sqrt{2}; -sqrt{2}< xleqslant 1; x=0; 1leqslant x< sqrt{2}; x> sqrt{2}.