Решу егэ равнобедренный треугольник

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика базового уровня

Математика базового уровня

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 23.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108.

Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина C, на другой  — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а)  Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.

б)  Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  4.

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.

а)  Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 12.

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина C, на другой  — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB  =  10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB  =  AF : FC  =  1 : 5.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 50, а сторона основания равна 60. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 12. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2014

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Вариант 901.

ЕГЭ Профиль №1. Равнобедренный треугольник

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tg B={AC}/{BC};$

$ctg B={BC}/{AC}$.

Пример:

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Решение:

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

$cos⁡∠НСА={НС}/{АС}={НС}/{34}=0.15$

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

${НС}/{34}={15}/{100}$

$НС={34·15}/{100}=5.1$

Ответ: $5.1$

Пример:

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

${ВС}/{sin⁡A}=2R$

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

${16·5}/{4}=2R$

$R={16·5}/{4·2}=10$

Ответ: $10$

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Да мы просто найдём и ( displaystyle AH), и ( displaystyle CH) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что ( displaystyle AB=BC))

( displaystyle AH=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}})

( displaystyle CH=sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}})

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

( displaystyle begin{array}{l}AB=BC\BH=BH\AH=CHend{array})

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.