Решу егэ сайт ларина математика

Задание 1

Решите уравнение $$x^2+log_7 x+log_7frac{7}{x}=50.$$

Ответ: 7

Скрыть

$$x^2+log_7 x+log_7frac{7}{x}=50Leftrightarrow x^2+log_7 x+log_7 7-log_7 x=50Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2+1=50 x>0 end{matrix}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2=49 x>0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} x=pm7 x>0 end{matrix}right.Leftrightarrow x=7$$

Задание 2

Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Известно, что номер телефона не начинается с нуля. Какова вероятность того, что в нем все цифры нечетные? Ответ округлите до десятитысячных.

Ответ: 0,0347

Скрыть

На 1 месте может быть любая цифра от 1 до 9, то есть 9 вариантов.

На 2, 3, 4 и 5 месте — любая от 0 до 9, то есть по 10 вариантов.

Всего $$9cdot10cdot10cdot10cdot10=90000$$ вариантов.

На каждом месте может быть одна из 5 цифр — 1,3,5,7,9.

Всего $$5cdot5cdot5cdot5cdot5=3125$$ вариантов.

$$P(A)=frac{3125}{90000}approx0,0347$$

Задание 3

В треугольнике АВС угол С равен $$90^{circ},$$ СН — высота, ВС = 17, ВН = 15. Найдите тангенс угла А.

Ответ: 1,875

Скрыть

Так как CH — высота, то треугольник СНВ — прямоугольный, в нём СВ — гипотенуза, ВН и СН — катеты.

Найдем катет СН по теореме Пифагора:

$$СВ^2=ВН^2+СН^2$$

$$289=225+СН^2$$

$$СН^2=64$$

$$СН=8$$

$$ctg B=frac{ВН}{СН}=frac{15}{8}=1,875$$

Так как треугольник АВС — прямоугольный, то $$angle А=90-angle В$$:

$$tg A=tg (90-angle В)=ctg B=1,875$$

Задание 4

Найдите $$frac{3cos a-2sin a}{4sin a+5cos a},$$ если $$ctg a=-3$$

Ответ: 1

Скрыть

$$frac{3cos a-2sin a}{4sin a+5cos a}=frac{3cdotfrac{cos a}{sin a}-2}{4+5cdotfrac{cos a}{sin a}}=frac{3cdot(-3)-2}{4+5cdot(-3)}=frac{-9-2}{4-15}=1$$

$$ctg a=-3Leftrightarrow frac{cos a}{sin a}=-3$$

Задание 5

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1,$$ в котором $$ВВ_1=2sqrt{3},АС_1=4sqrt{3},$$ а угол АСВ равен $$30^{circ}.$$

Ответ: 54

Скрыть

Пусть $$AB=x,$$ тогда $$BC=frac{AB}{tg 30}=sqrt{3}x.$$

$$AC_1=sqrt{AA_1^2+AB^2+BC^2}Rightarrow 16cdot3=4cdot3+x^2+3x^2Rightarrow 4x^2=36Rightarrow x^2=9Rightarrow$$

$$Rightarrow x=3$$

$$V=xcdot xsqrt{3}cdot2sqrt{3}=6cdot x^2=54$$

Задание 6

Ответ: 0,5

Скрыть

Чтобы прямая $$y=8x+11$$ была параллельна касательной к графику функции, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты совпадали, то есть были бы равны 8 (множитель перед x). В свою очередь угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной функции в соответствующей точке. То есть, чтобы найти абсциссу точки касания, необходимо вычислить производную от функции и приравнять ее 8:

$$y’=2x+7=8$$

$$2x=1$$

$$x=0,5$$

Задание 7

Два тела, массой $$m = 10$$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $$v = 10$$ м/с под углом $$2a$$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2sin^2a,$$ где $$m$$ — масса в килограммах, $$v$$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $$2a$$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 750 джоулей.

Ответ: 120

Скрыть

Выразим квадрат синуса из формулы энергии:

$$sin^2 a=frac{Q}{mv^2}$$

Подставим сюда числовые величины, получим:

$$sin^2 a=frac{750}{10cdot10^2}=frac{3}{4}$$

откуда

$$sin a=pmfrac{sqrt{3}}{2}$$

В задаче спрашивают наименьший угол и в физике углы берутся из положительной области, поэтому имеем уравнение

$$sin a=frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow a=arcsinfrac{sqrt{3}}{2}=60^{circ}$$

И, окончательно, угол $$2a=2cdot60^{circ}=120^{circ}.$$

Задание 8

Часы со стрелками показывают 6 ч 15 мин. Через сколько минут минутная стрелка в шестой раз поравняется с часовой?

Ответ: 345

Скрыть

В первый раз стрелки встретятся между 7 и 8 часами, второй раз — между 8 и 9 часами, …, шестой — между 12 и 13 часами. то есть ровно в 13 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 5 часов 45 минут, что составляет 345 минут.

Задание 9

Ответ: 0,75

Скрыть

Прямая проходит через $$(-2;-3)$$ и $$(0;5).$$ Получим:

$$left{begin{matrix} -3=-2k+b 5=0k+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} -2k=-8 b=5 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} k=4 b=5 end{matrix}right.$$

Гипербола проходит через $$(-2;-3).$$ Тогда:

$$-3=frac{k}{-2}Rightarrow k=6.$$ Получим $$y=frac{6}{x}.$$

$$frac{6}{x}=4x+5Leftrightarrow 4x^2+5x-6=0$$

$$D=25+96=121$$

$$x_1=frac{-5+11}{2cdot4}=frac{1,5}{2}=0,75$$

$$x_2=frac{-5-11}{2cdot4}=-2$$

Задание 10

Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найдите вероятность того, что изделие стандартное, если оно прошло упрощенный контроль. Ответ округлите до тысячных.

Ответ: 0,997

Скрыть

Событие А — изделие прошло упрощенный контроль, Г1 – изделие удовлетворяет стандарту, Г2 – изделие бракованное.

$$Р(Г1)=0,95,Р(Г2)=0,05,Р(frac{A}{Г1})=0,95,Р(frac{A}{Г2})=0,06$$

$$Р(A)=Р(Г1)cdot Р(frac{A}{Г1})+Р(Г2)cdot Р(frac{A}{Г2})=0,95cdot0.95+0,05cdot0,06=$$

$$=0,9025+0,003=0,9055$$

$$Р(frac{Г1}{A})$$ – изделие удовлетворяет стандарту, если оно прошло упрощенный контроль.

По формуле Бейеса:

$$Р(frac{Г1}{A})=frac{0,95cdot0.95}{0,9055}approx0,997$$

Задание 11

Найдите точку минимума функции $$y=(x+8)^2cdot е^{-x-3}.$$

Ответ: -8

Скрыть

$$y=(x+8)^2cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y’=((x+8)^2)’cdot е^{-x-3}+(x+8)^2cdot(e^{-x-3})’=2(x+8)cdot e^{-x-3}+(x+8)^2cdot(-e^{-x-3})=$$
$$=e^{-x-3}cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$

А) Решите уравнение $$frac{(x^2-x-12)^2}{x+sqrt{13}}=frac{(2x^2+x-27)^2}{x+sqrt{13}}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[sqrt{15}-1;sqrt{17}-1]$$

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром, равным 6, на ребре $$АА_1$$ взята точка М так, что $$frac{AM}{MA_1}=frac{1}{2}.$$ На ребре $$D_1C_1$$ взята точка N так, что $$frac{D_1N}{NC_1}.$$

А) Докажите, что прямые $$МВ_1$$ и $$CN$$ перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$CN.$$

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 400 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если к 15-му числу n-го месяца за первые n месяцев будет выплачено 424,8 тысячи рублей?

В треугольнике АВС угол С — тупой, угол В равен 45^o и АН — высота. Прямая АН пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке D.

А) Докажите, что дуги ВC и DA равны.

Б) Найдите ВС, если АС = 8 и площадь треугольника BDH равна 9.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых неравенство

$$a+|x|+frac{x^2+(a-2)^2}{a+|x|}leq2sqrt{x^2+(a-2)^2}$$

имеет единственное решение.

Есть желтые и белые карточки, всего — 100 штук. На каждой написано натуральное число, среднее арифметическое всех чисел равно 32. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше, чем любое число на белой. Все числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 94,6.

А) Может ли быть ровно 70 желтых карточек?

Б) Могут ли все числа на белых карточках быть различными?

В) Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?