Решу егэ степень с целым показателем - Exhelper.top

Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения:

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения  при a=7.

Найдите значение выражения  при a=19.

Найдите значение выражения  при

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения при b=81.

Найдите значение выражения при x=90.

Найдите значение выражения если

Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения:

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения  при a=7.

Найдите значение выражения  при a=19.

Найдите значение выражения  при

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения при b=81.

Найдите значение выражения при x=90.

Найдите значение выражения если

Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Видеоурок: Степень с целым показателем

Лекция: Степень с целым показателем

Степень

Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.

Когда говорят о степени с целым показателем, это означает, что число «n» должно быть величиной не дробной. Если данный показатель имеет отрицательное значение, то для начала необходимо избавиться от минуса перед показателем степени, а затем производить действия над степенью.

а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

8⁴ = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096».

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)³ = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а¹ = а.

Например,

5¹ = 5.

2. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а⁰ = 1.

Например,

7⁰ = 1.

3. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

aⁿ * a^m = a^n+m.

Например:

5²* 5⁴ = 5⁶.

4. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

aⁿ / a^m = a^n-m .

Например,

5⁴: 5² = 5².

5. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(aⁿ )^m = a^n*m

Например,

(5⁴)² = 5⁸.

6. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)^m = a^m * b^m.

Например,

(5 * 8)² = 5² * 8².

7. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)^m = a^m / b^m

8. Если некоторая дробь имеет отрицательный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Например,

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

9. Если Вы возводите отрицательное число в четную степень, то в результате Вы всегда получите положительное число. Если же необходимо возвести отрицательное число в нечетную степень, то результатом данного математического действия будет отрицательное число.

Например,

(-11)² = 121,

(-3)³= (-27).

Источник

Задание 22823

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 22843

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 22863

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 22963

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23043

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23063

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23383

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23423

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23443

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23463

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23503

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23643

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23707

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23721

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23747

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23792

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 23958

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24006

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24022

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24037

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24052

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24104

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24188

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24204

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24221

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24236

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24355

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24385

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24407

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24415

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24423

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24436

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24446

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24456

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24492

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24504

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24555

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24575

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24601

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Задание 24613

Введите ответ в поле ввода

Решение
→

Источник

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем очень важная математическая операция, которая применяется во многих областях: физика, математика, информатика и т.д. Например, если посмотреть в справочнике массу Солнца, то вы увидите такую запись:

$$M=1,989*10^{31}кг;$$

Или, например, масса атома водорода равна:

$$m=1,674*10^{-24}кг;$$

А знаете сколько байт в одном гигабайте?

$$1 ; гигабайт=2^{30} ; байт;$$

Для всех этих величин используются степени, потому что числа очень большие, и записывать их обычным образом неразумно.

Первый урок посвящен понятию обыкновенной степени с целым показателем — это математическая операция, в ходе которой число многократно умножается на само себя. Если некоторое действительное число (a) возвести в целую степень (b,) то это значит, что число (a) умножается на само себя (b) раз.

$$ a^b=underbrace{a*a*a*…*a}_{b ; раз}, $$
Пример 1
$$ 3^4=underbrace{3*3*3*3}_{4 ; раза}=81; $$
$$ 2^5=underbrace{2*2*2*2*2}_{5 ; раз}=32; $$
$$ 10^{31}=underbrace{10*10*10…*10*10}_{31 ; раз}; $$

Отрицательная степень

Часто вы будете сталкиваться с отрицательной степенью. Для того, чтобы ее посчитать, необходимо данное число (a) (стоящее под степенью) перевести в обратное, то есть представить в виде (frac{1}{a}), и просто возвести в степень.

$$ a^{-b}=left(frac{1}{a}right)^{b}=frac{1}{a^b}; $$

Очень частая ошибка — написание знака минус перед полученным результатом. Знак минус указывает только на отрицательную степень, а сам результат возведения в степень будет положительным.

Пример 2
$$ 2^{-1}=frac{1}{2^1}=frac{1}{2};$$
$$ 4^{-3}=frac{1}{4^3}=frac{1}{64}; $$
$$ left(frac{1}{5}right)^{-3}=left(frac{5}{1}right)^{3}=125; $$

Кстати, формула для отрицательной степени работает и наоборот. Если у вас степень в знаменателе, то можно легко перенести ее в числитель при помощи отрицательной степени. Это может быть удобно при преобразованиях степеней:
$$frac{1}{a^b}=a^{-b};$$
$$ frac{1}{3^4}=frac{3^{-4}}{1}=3^{-4}; $$

А что если отрицательная степень уже в знаменателе? В этом случае, если мы хотим достать степень из знаменателя в числитель, степень становится положительной.
$$ frac{1}{a^{-b}}=a^b;$$
$$frac{1}{3^{-2}}=3^2=9;$$

Отрицательные числа под степенью

Отдельно стоит обсудить, что будет, если в степень с целым показателем возвести отрицательное число. Из младших классов известно, что если перемножить два отрицательных числа, то получится положительное. При возведении в степень, число умножается на само себя. Если же отрицательное число умножить на само себя четное количество раз, то ответ получается положительным, а если степень над отрицательным числом нечетная, то результат будет отрицательным.

Пример 3
$$(-2)^{2}=-2*(-2)=4;$$
$$(-3)^{4}=-3*(-3)*(-3)*(-3)=81;$$
$$(-5)^{3}=-5*(-5)*(-5)=-125;$$
$$(-2)^{5}=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32;$$

Отрицательное число в отрицательной степени будет считаться аналогичным образом. Сначала избавляемся от минуса в степени, используя обратное число, а затем возводим в степень:

$$(-2)^{-3}=left(frac{1}{-2}right)^3=left(frac{1}{-2}right)*left(frac{1}{-2}right)*left(frac{1}{-2}right)=-left(frac{1}{8}right);$$
$$(-9)^{-1}=left(frac{1}{-9}right)^1=-frac{1}{9}$$

Будьте внимательны, если минус перед числом находится не под степенью, то ответ будет в любом случае отрицательным.

$$-3^2=-9;$$
$$(-3)^2=9;$$

Степень стоит только над тройкой, скобок нет, значит минус не возводится в степень, только тройка, и ответ будет отрицательным. А во втором примере есть скобки, значит минус под четной степенью. Почувствуйте разницу!

Основные свойства степени с целым показателем:

Важно помнить, что любое число в нулевой степени — равно всегда 1.
$$ a^0=1, $$
$$ 25^0=1. $$

Степень от произведения двух множителей:
$$ 1.; (a*b)^n=a^n*b^n; $$
$$ (2*5)^3=2^3*5^3=8*125=1000, $$

Произведение степеней с одинаковым основанием:
$$ 2.; a^n*a^m=a^{n+m}; $$
$$ 2^3*2^4=2^{3+4}=2^7=128, $$

Частное степеней с одинаковым основанием:
$$ 3.; frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}; $$
$$ frac{3^5}{3^3}=3^{5-3}=3^{2}=9, $$

Степень в степени:
$$ 4.; (a^n)^m=a^{n*m}; $$
$$ (2^3)^2=2^{3*2}=2^6=64, $$

Разберем несколько примеров заданий, которые иногда встречаются в ЕГЭ и ОГЭ по математике. Как правило, для того, чтобы решить эти задания, необходимо хорошо знать все свойства степеней с целым показателем:

Пример 4
$$ frac{2^4*2^5}{2^7}=frac{2^9}{2^7}=2^2=4; $$
Здесь мы использовали свойства произведения степеней с одинаковым основанием при умножении и делении – в числителе степени складываются, после этого выполняем операцию деления, степени вычитаются. Формулы №2, №3.

Рассмотрим более сложный пример, когда основания разные:

Пример 5
$$ frac{3^4*5^3}{15^3}=frac{3^4*5^3}{(3*5)^3}=frac{3^4*5^3}{3^3*5^3}=$$
$$=3^{4-3}*5^{3-3}=3^1*5^0=3*1=3; $$
В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что (15) раскладывается, как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1, №3.

Пример 6
$$left(frac{1}{3}right)^{-4}*left(frac{1}{3}right)^{3}=left(frac{1}{3}right)^{-4+3}=$$
$$=left(frac{1}{3}right)^{-1}=3^1=3;$$

Пример 7
$$frac{4^{-2}*8^{-6}}{2^{-22}}=frac{(2^{2})^{-2}*(2^3)^{-6}}{2^{-22}}=frac{2^{-4}*2^{-18}}{2^{-22}}=$$
$$=frac{2^{-20}}{2^{-22}}=2^{-20-(-22)}=2^{-20+22}=2^2=4;$$

Пример 8

Упростите выражение:
$$0,6c^4d^5*frac{1}{3}c^{-2}d^{-4};$$

В таких заданиях перемножаем числа с числами и степени с одинаковыми основаниями:

$$0,6c^4d^5*frac{1}{3}c^{-2}d^{-4}=0,6*frac{1}{3}*c^{4}*c^{-2}*d^{5}*d^{-4}=$$
$$=0,2*c^{4-2}*d^{1}=0,2*c^2*d;$$

Пример 9

Упростите выражение:
$$frac{12x^{-5}}{y^{-6}}*frac{y}{36x^{-9}}=frac{12*x^{-5-(-9)}*y^{1-(-6)}}{36}=frac{x^{4}*y^{7}}{3};$$

Пример 10
$$ frac{18^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=frac{9^{n+1}*2^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=frac{(3^2)^{n+1}*2^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=$$
$$=frac{3^{2n+2}*2^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=3^{(2n+2)-2n)}*2^{(n+1)-(n-1)}=$$
$$=3^2*2^2=9*4=36;$$

Буквы в степени не должны вас пугать, все преобразования остаются точно такими же, как и с числами.

Источник

Математушка

Наши выпускники
Оставить заявку
ЕГЭ
Статьи
Контакты
Цены
Заочное обучение

Войти

Задачи ЕГЭ по математике

Задача № 1

Показать ответ

Показать решение

Задача № 2

Показать ответ

Показать решение

Задача № 3

Показать ответ

Показать решение

Задача № 4

Показать ответ

Показать решение

Задача № 5

Показать ответ

Показать решение

Задача № 6

Показать ответ

Показать решение

Задача № 7

Показать ответ

Показать решение

Задача № 8

Показать ответ

Показать решение

Задача № 9

Показать ответ

Показать решение

Задача № 10

Показать ответ

Показать решение

Задача № 11

Показать ответ

Показать решение

Задача № 12

Показать ответ

Показать решение

Задача № 13

Показать ответ

Показать решение

Задача № 14

Показать ответ

Показать решение

Задача № 15

Показать ответ

Показать решение

Задача № 16

Показать ответ

Показать решение

Задача № 17

Показать ответ

Показать решение

Задача № 18

Показать ответ

Показать решение

Задача № 19

Показать ответ

Показать решение

Задача № 20

Показать ответ

Показать решение

Задача № 21

Показать ответ

Показать решение

Задача № 22

Показать ответ

Показать решение

Задача № 23

Показать ответ

Показать решение

Задача № 24

Показать ответ

Показать решение

Задача № 25

Показать ответ

Показать решение

Задача № 26

Показать ответ

Показать решение

Задача № 27

Показать ответ

Показать решение

Задача № 28

Показать ответ

Показать решение

Задача № 29

Показать ответ

Показать решение

Задача № 30

Показать ответ

Показать решение

Задача № 31

Показать ответ

Показать решение

Задача № 32

Показать ответ

Показать решение

Задача № 33

Показать ответ

Показать решение

Задача № 34

Показать ответ

Показать решение

Задача № 35

Показать ответ

Показать решение

Задача № 36

Показать ответ

Показать решение

Задача № 37

Показать ответ

Показать решение

Задача № 38

Показать ответ

Показать решение

Задача № 39

Показать ответ

Показать решение

Задача № 40

Показать ответ

Показать решение

Задача № 41

Показать ответ

Показать решение

Задача № 42

Показать ответ

Показать решение

Задача № 43

Показать ответ

Показать решение

Задача № 44

Показать ответ

Показать решение

Задача № 45

Показать ответ

Показать решение

Задача № 46

Показать ответ

Показать решение

Задача № 47

Показать ответ

Показать решение

Задача № 48

Показать ответ

Показать решение

Задача № 49

Показать ответ

Показать решение

Задача № 50

Показать ответ

Показать решение

Задача № 51

Показать ответ

Показать решение

Источник

Корни и степени

Степень с натуральным показателем
Степень с целым показателем
Кубический корень
Корень -ной степени
Сравнение арифметических корней
Как избавиться от иррациональности в знаменателе
Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Степенью называется выражение вида a^c .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, a^1=a .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

a^n= $underbrace{a cdot a cdot a cdot a cdot ldots cdot a}_{displaystyle n}.$

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

a^0=1 .

Это верно для aneq 0 . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

$a^{-1}=genfrac{}{}{}{0}{1}{a};$

$a^{-2}=genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2};$

$a^{-n}=genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}.$

Конечно, все это верно для aneq 0 , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

$5^{-2}=genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2};$

$left( genfrac{}{}{}{0}{1}{2} right)^{-1}=2;$

$left( genfrac{}{}{}{0}{2}{7} right)^{-1}=genfrac{}{}{}{0}{7}{2}.$

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

$left( genfrac{}{}{}{0}{5}{3} right)^{-2}=1 : left( genfrac{}{}{}{0}{5}{3} right)^{2}=left( genfrac{}{}{}{0}{3}{5} right)^{2}=genfrac{}{}{}{0}{9}{25}.$

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби $genfrac{}{}{}{0}{p}{q}$ , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению, $left (sqrt{a} right )^2=a; , , sqrt{a}geq 0; , , ageq 0.$

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение sqrt{a} для нас сейчас имеет смысл только при ageq 0 .

Выражение sqrt{a} всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

$sqrt{ab}=sqrt{a} cdot sqrt{b}, ; sqrt{a^2}=left|aright| , ; sqrt{a^{2n}}={left|aright|}^n;$

$sqrt{genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=genfrac{}{}{}{0}{sqrt{a}}{sqrt{b}}.$

Запомним важное правило: $sqrt{a^2}=left|aright| .$

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

$left( sqrt[leftroot{3}scriptstyle 3]{a} right) ^3 = sqrt[leftroot{3}scriptstyle 3]{a} cdot sqrt[leftroot{3}scriptstyle 3]{a} cdot sqrt[leftroot{3}scriptstyle 3]{a}.$

Например, , так как ;

, так как ;

$sqrt[leftroot{3}scriptstyle 3]{-genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -genfrac{}{}{}{0}{1}{5}$ , так как $left( -genfrac{}{}{}{0}{1}{5} right) ^3 = -genfrac{}{}{}{0}{1}{125}$ .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что $left( sqrt[leftroot{3}scriptstyle n]{a} right) ^n = a$ . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

$a^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 2}} = sqrt{a},$

$a^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 3}} = sqrt[leftroot{3}scriptstyle 3]{a},$

в общем случае $a^{frac{1}{n}} = sqrt[leftroot{3}scriptstyle n]{a}.$ .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

$25^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 2}} = 5;$

$8^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 3}} = 2;$

$81^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 4}} = 3;$

$100000^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 5}} = 10;$

$0,001^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 3}} = 0,1.$

Выражение $a^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle m}{scriptstyle n}}$ по определению равно $sqrt[leftroot{3}scriptstyle n]{a^m}$ .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

$a^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle m}{scriptstyle n}} = sqrt[leftroot{3}scriptstyle n]{a^m} = left( sqrt[leftroot{3}scriptstyle n]{a} right) ^m.$

Например,

$8^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 4}{scriptstyle 3}} = left( sqrt[leftroot{3} scriptstyle 3]{8} right) ^4 = 2^4 = 16;$

$a^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 3}{scriptstyle 5}} = sqrt[leftroot{3} scriptstyle 5]{a^3} = left( sqrt[leftroot{3} scriptstyle n]{a} right) ^m;$

$b^{-genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 2}{scriptstyle 3}} = genfrac{}{}{}{0}{1}{sqrt[leftroot{3} scriptstyle 3]{b^2}}.$

Запомним правила действий со степенями:

$a^ma^n = a^{m+n}$ — при перемножении степеней показатели складываются;

$genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — при делении степени на степень показатели вычитаются;

$left( a^m right) ^n = left( a^n right) ^m = a^{mn}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются;

$genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = left( genfrac{}{}{}{0}{a}{b} right) ^n.$

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. $genfrac{}{}{}{0}{sqrt{ mathstrut 2,8} cdot sqrt{ mathstrut 4,2}}{sqrt{ mathstrut 0,24}}= sqrt{ mathstrut genfrac{}{}{}{0}{2,8 cdot 4,2}{0,24}} = sqrt{ mathstrut genfrac{}{}{}{0}{28 cdot 42}{24}}=sqrt{ mathstrut genfrac{}{}{}{0}{7 cdot 4 cdot 7 cdot 6}{4 cdot 6}} =$

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. $genfrac{}{}{}{0}{left( 2 sqrt{7} right) ^2}{14}= genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 cdot left( sqrt{7} right) ^2}{14} = genfrac{}{}{}{0}{4 cdot 7}{14} = 2.$

3. $genfrac{}{}{}{0}{ sqrt[leftroot{3} scriptstyle 9]{7} cdot sqrt[leftroot{3} scriptstyle 18]{7}}{sqrt[leftroot{3} scriptstyle 6]{7}}=genfrac{}{}{}{0}{7^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 9}} cdot 7^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 18}}}{7^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 6}}}=7^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 9} + genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 18}- genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 6}}= 7^{genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 6} - genfrac{}{}{}{3}{scriptstyle 1}{scriptstyle 6}}=7^0=1.$

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения $displaystyle frac{11a^6b^3-{left(3a^2bright)}^3}{4a^6b^6}$ при b = 2.

Решение:

$displaystyle frac{11a^6b^3-{left(3a^2bright)}^3}{4a^6b^6}=displaystyle frac{11a^6b^3-{27a^6b}^3}{4a^6b^6}=displaystyle frac{-16a^6b^3}{4a^6b^6}=-displaystyle frac{4}{b^3}.$

При b = 2 получим $-displaystyle frac{4}{2^3}=-displaystyle frac{4}{8}=-0,5 .$

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения $displaystyle frac{a^{3,21} cdot a^{7,36}}{a^{8,57}}$ при a=12 .

Решение:

$displaystyle frac{a^{3,21} cdot a^{7,36}}{a^{8,57}}=displaystyle frac{a^{3,21+7,36}}{a^{8,57}}=displaystyle frac{a^{10,57}}{a^{8,57}}=a^{10,57-8,57}=a^2.$

При a = 12 получим ${12}^2=144.$

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения $displaystyle frac{{left(b^{sqrt{3}}right)}^{2sqrt{3}}}{b^4}$ при b = — 5.

Решение: $displaystyle frac{{left(b^{sqrt{3}}right)}^{2sqrt{3}}}{b^3}=displaystyle frac{b^{sqrt{3} cdot 2sqrt{3}}}{b^3}=displaystyle frac{b^6}{b^3}=b^3 .$

При b = — 5 получим: ${(-5)}^3=-125 .$

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания: ${left(displaystyle frac{7}{8}right)}^{-3};$ $displaystyle frac{7}{8};$ ${left(displaystyle frac{8}{7}right)}^{-3}.$

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

$left(displaystyle frac{7}{8}right)^-3=left(displaystyle frac{8}{7}right)^3.$ Так как $displaystyle frac{8}{7} textgreater 1,$ то $left(displaystyle frac{8}{7}right)^3 textgreater 1.$

$left(displaystyle frac{8}{7}right)^-3=left(displaystyle frac{7}{8}right)^3.$ Так как $displaystyle frac{7}{8} textless 1,$ то $left(displaystyle frac{7}{8}right)^3 textless 1.$

Сравним $displaystyle frac{7}{8}$ и ${left(displaystyle frac{7}{8}right)}^3,$ для этого оценим их разность:

$displaystyle frac{7}{8} - {left(displaystyle frac{7}{8}right)}^3=displaystyle frac{7}{8} - displaystyle frac{7^3}{8^3}=displaystyle frac{7 cdot 8^2-7^3}{8^3}=displaystyle frac{7(8^2-7^2)}{8^3}=displaystyle frac{7(64-49)}{8^3} textgreater 0 ,$ значит $displaystyle frac{7}{8} textgreater {left(displaystyle frac{7}{8}right)}^3 .$

Получим : ${left(displaystyle frac{7}{8}right)}^3 textless displaystyle frac{7}{8} textless {left(displaystyle frac{8}{7}right)}^3 ,$ поэтому ${left(displaystyle frac{8}{7}right)}^{-3} ; displaystyle frac{7}{8} ; {left(displaystyle frac{7}{8}right)}^{-3} .$

Ответ: ${left(displaystyle frac{8}{7}right)}^{-3}; displaystyle frac{7}{8} ; {left(displaystyle frac{7}{8}right)}^{-3}.$

8. Представьте выражение в виде степени: $displaystyle frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}.$

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

$displaystyle frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}=displaystyle frac{x^{-6}(1+x^2+x^4)}{x^2(1+x^2+x^4)}=displaystyle frac{x^{-6}}{x^2}=x^{-6-2}=x^{-8}.$

Ответ: $x^{-8} .$

9. Упростите выражение: $displaystyle frac{2^{2n-1} cdot 3^{n+1}}{6 cdot {12}^n} .$

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

$displaystyle frac{2^{2n-1} cdot 3^{n+1}}{6 cdot {12}^n}=displaystyle frac{2^{2n-1} cdot 3^{n+1}}{2 cdot 3 cdot {(2^2 cdot 3 )}^n}= displaystyle frac{2^{2n-1} cdot 3^{n+1}}{2^1cdot 3^1cdot 2^{2n} cdot 3^n} =$

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

$= 2^{2n-1-1-2n}cdot 3^{n+1-1-n}=2^{-2}cdot 3^0=displaystyle frac{1}{2^2}cdot 1=displaystyle frac{1}{4} = 0,25.$

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения $displaystyle frac{a^{-4}cdot { a}^{-3}}{a^{-5}}$ при $a=displaystyle frac{1}{3}$ ?

Решение:

$displaystyle frac{a^{-4}cdot { a}^{-3}}{a^{-5}}=a^{-4+left(-3right)-(-5)}=a^{-2}.$

При $a=displaystyle frac{1}{3},$ получим ${left(displaystyle frac{1}{3}right)}^{-2}=3^2=9.$

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

${left(sqrt{5}+sqrt{6}right)}^2= 5 + 2sqrt{5cdot 6}+6=11+2sqrt{30};$

${left(2+7right)}^2={left(sqrt{4}+sqrt{7}right)}^2= 4 + 2sqrt{4cdot 7}+7=11+2sqrt{28}.$

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида $displaystyle frac{a}{sqrt{b}},$ то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на sqrt{b} :

$displaystyle frac{a}{sqrt{b}} = displaystyle frac{a cdot sqrt{b}}{sqrt{b}cdot sqrt{b}} = displaystyle frac{a cdot sqrt{b}}{sqrt{b}^2} = displaystyle frac{a cdot sqrt{b}}{b}.$

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида $displaystyle frac{c}{ a pm sqrt{b}}$ или $displaystyle frac{c}{ sqrt{a} pm sqrt{b}},$ то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

$displaystyle frac{c}{sqrt{a}-sqrt{b}}=displaystyle frac{c (sqrt{a}+ sqrt{b})}{ (sqrt{a}- sqrt{b})(sqrt{a}+ sqrt{b})}=$

$=displaystyle frac{c (sqrt{a}+sqrt{b})}{{ left(sqrt{a}right)}^2-{left(sqrt{b}right)}^2 }=displaystyle frac{c(sqrt{a}+ sqrt{b})}{a-b } .$

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

$displaystyle frac{2}{sqrt{27}}= displaystyle frac{2 cdot sqrt{3}}{sqrt{3^3} cdot sqrt{3}}=displaystyle frac{2 sqrt{3}}{sqrt{3^4} }=displaystyle frac{2 sqrt{3}}{9}.$

Пример 2.

$displaystyle frac{6}{1+sqrt{3}} = displaystyle frac{6(sqrt{3}-1)}{(sqrt{3}+1)(sqrt{3}-1)}=displaystyle frac{6(sqrt{3}-1)}{3-1}=$

$=displaystyle frac{6(sqrt{3}-1)}{2}=3(sqrt{3}-1).$

Пример 3.

$displaystyle frac{33}{7-3sqrt{3}} = displaystyle frac{33(7+3sqrt{3})}{(7-3sqrt{3})(7+3sqrt{3})}= displaystyle frac{33(7+3sqrt{3})}{49 -9 cdot 3}=$

$displaystyle frac{33(7+3sqrt{3})}{22}=displaystyle frac{3(7+3sqrt{3})}{2}.$

Пример 4.

$displaystyle frac{12}{sqrt{3}+sqrt{6}}=displaystyle frac{12(sqrt{6}-sqrt{3})}{(sqrt{3}+sqrt{6})(sqrt{6}-sqrt{3})}=displaystyle frac{12(sqrt{6}-sqrt{3})}{6-3}=$

$=displaystyle frac{12(sqrt{6}-sqrt{3})}{3}=4(sqrt{6}-sqrt{3}).$

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

$displaystyle frac{5+3sqrt{3}}{sqrt{3}+2}= displaystyle frac{(5+3sqrt{3})(2-sqrt{3})}{(sqrt{3}+2)(2-sqrt{3})}=$

$=displaystyle frac{10+6sqrt{3}-5sqrt{3}-9}{2^2-{(sqrt{3} )}^2}=displaystyle frac{1+sqrt{3}}{4-3}= 1+sqrt{3}.$

13. Сравните и $displaystyle frac{1}{7+4sqrt{3}}+displaystyle frac{1}{7-4sqrt{3}}.$

1) $displaystyle frac{1}{7+4sqrt{3}}+displaystyle frac{1}{7-4sqrt{3}}=displaystyle frac{7-4sqrt{3}+7+4sqrt{3}}{(7+4sqrt{3})(7-4sqrt{3})}=displaystyle frac{14}{7^2-{(4sqrt{3})}^2}=$

$=displaystyle frac{14}{49-48}=14.$

2) Сравним и 14.

$14 = sqrt{{14}^2}=sqrt{196},$ то и а значит,

$sqrt{140} textless displaystyle frac{1}{7+4sqrt{3}}+displaystyle frac{1}{7-4sqrt{3}} .$

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

$sqrt{3-2sqrt{2}}=sqrt{2+1-2sqrt{2}}=sqrt{{left(sqrt{2}right)}^2-2cdot 1cdot sqrt{2}+1}=$

$=sqrt{{left(sqrt{2}-1right)}^2} = left|sqrt{2}-1right| = sqrt{2}-1,$ т.к.

Пример 6.

$sqrt{7+4sqrt{3}} = sqrt{4+3+4sqrt{3 }}=sqrt{2^2+2cdot 2cdot sqrt{3 }+{(sqrt{3 })}^2} =$

$= sqrt{{(2+sqrt{3})}^2} = 2+sqrt{3}.$

Пример 7.

$sqrt{19-8sqrt{3}} = sqrt{16+3-8sqrt{3 }}=sqrt{4^2-2cdot 4cdot sqrt{3 }+{(sqrt{3 })}^2} =$

$=sqrt{{(4-sqrt{3})}^2} = 4-sqrt{3},$

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

$sqrt{a^2}=left|aright|.$

Решение:

$sqrt{{(5-2x)}^2}=left|5-2xright|.$

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения: $sqrt{{(sqrt{3}-1)}^2}+sqrt{{(sqrt{3}-2)}^2}.$

Решение:

$sqrt{(sqrt{3}-1)^2}+sqrt{(sqrt{3}-2)^2}=|sqrt{3}-1|+|sqrt{3}-2|=$

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения: $sqrt{{(2-sqrt{5})}^2}+sqrt{{(3-sqrt{5})}^2}.$

Решение: $sqrt{{(2-sqrt{5})}^2}+sqrt{{(3-sqrt{5})}^2}= left|2-sqrt{5}right|+left|3-sqrt{5}right|=$

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: $(x - 3) sqrt{displaystyle frac{1}{x^2-6x+9}},$ если

Решение. $(x - 3) sqrt{displaystyle frac{1}{x^2-6x+9}}=left(x - 3right)sqrt{displaystyle frac{1}{{left(x-3right)}^2}}=displaystyle frac{x-3}{left|x-3right|}=$

$=displaystyle frac{x-3}{3-x}=-1.$

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение: $left(sqrt{3}-2right)left(sqrt{7+4sqrt{3}}right) = sqrt{{left(sqrt{3}-2right)}^2(7+4sqrt{3}})=$

$=sqrt{left(3-4sqrt{3}+4right)left(7+4sqrt{3}right)}=sqrt{left(7-4sqrt{3}right)left(7+4sqrt{3}right)}=sqrt{7^2-{left(4sqrt{3}right)}^2}=$

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а) $2^{3-x}=16;$

б) ${27}^{displaystyle frac{1}{3}x-1}-3=0;$

в) ${left(displaystyle frac{1}{sqrt{3}}right)}^{2x+1}={left(3sqrt{3}right)}^x.$

Решение.

23. Решите уравнение: $2^{3-x}=16.$

Решение:

$2^{3-x}=2^4,$ тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

${27}^{displaystyle frac{1}{3}x-1}-3=0.$

Решение:

${left(3^3right)}^{left(displaystyle frac{1}{3}x-1right)}=3 , ; 3^{3left(displaystyle frac{1}{3}x-1right)}=3^1;$

$3left(displaystyle frac{1}{3}x-1right)=1, ; x - 3 = 1, ; x = 4.$

Ответ: 4.

25. Решите уравнение: ${left(displaystyle frac{1}{sqrt{3}}right)}^{2x+1}={left(3sqrt{3}right)}^x.$

Решение:

${left(3^{- displaystyle frac{1}{2}}right)}^{2x+1}={left(3^{1+ displaystyle frac{1}{2}}right)}^x ,; ; 3^{-displaystyle frac{1}{2} cdot (2x+1)}=3^{displaystyle frac{3}{2}x}.$

Значит, $-displaystyle frac{1}{2} cdot left(2x+1right)=displaystyle frac{3}{2}x,$ $x = -displaystyle frac{1}{5}.$

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Корни и степени» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник