Решу егэ теорема пифагора

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно

Диаметр AB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN этой окружности в точке H так, что MH  =  NH. Найдите MO, если MB  =  21, HB  =  15.

В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =   все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребрах AM и AB  — точка F и G соответственно так, что MF  =  BE  =  BG  =  3.

а)  Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру MB.

б)  Найдите длину отрезка, по которому плоскость CEF пересекает грань AMD пирамиды.

Основанием прямой призмы ABCDА₁B₁C₁D₁ является ромб с тупым углом B, равным 120°. Все ребра этой призмы равны 10. Точки P и K  — середины ребер CC₁ и CD соответственно.

а)  Докажите, что прямые PK и PB₁ взаимно перпендикулярны.

б)  Найдите угол между плоскостями PKB₁ и C₁B₁B.

Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к этой окружности, равна 2.

а)  Докажите, что длина отрезка, соединяющего центр квадрата и центр окружности равна длине отрезка CK.

б)  Найдите диаметр окружности.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.

а)  Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.

б)  Плоскость α проходит через точки N и B₁ параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены середины P и E отрезков AB и AD соответственно.

а)  Докажите, что прямые B₁E и СР перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между этими прямыми, если

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M  — середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что

а)  Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.

На окружности ω отмечены точки M, N, K таким образом, что MN  — диаметр, а K  — середина дуги MN. Точка E  — середина хорды MK. Точка B  — середина дуги KN, не содержащей точку M. Через точку E проведена хорда AB.

а)  Докажите, что

б)  В окружность ω вписан прямоугольник ABCD. Найдите его площадь, если

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что Точка O  — середина отрезка CB₁.

а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD₁ и CB₁ и равна

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что Точка O  — середина отрезка CB₁.

а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD₁ и CB₁ и равна

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка L  — середина бокового ребра SB. На ребре SA взята точка К так, что

а)  Докажите, что плоскость DKL параллельна боковому ребру SC.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью DKL, если все ребра пирамиды равны 24.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка K является серединой ребра SD, а точка L  — серединой стороны BC основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N.

а)  Докажите, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB  =  10, а высота пирамиды равна 20.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 6, на ребре AA₁ взята точка M так, что На ребре D₁C₁ взята точка N так, что

а)  Докажите, что прямые MB₁ и CN перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки M до прямой CN.

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Известно, что AB = BC . Точка K  — середина ребра A₁B₁ , а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM :MC =1:3.

а)  Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC .

б)  Найдите расстояние между прямыми KM и A₁C₁, если AB = 6 , AC = 8 и AA1 = 3.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра BC  =  5 и AB  =  AA₁  =  8, M и N  — середины ребер CD и АА₁ соответственно. Плоскость α проходит через точки M и B и параллельна прямой CD₁.

а)  Докажите, что прямая DN параллельна плоскости α.

б)  Найдите расстояние между прямыми C₁D и BD₁.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA  =  5, а высота Точки M и N  — середины ребер CD и АВ соответственно. Точка N  — вершина пирамиды NSCD, NT  — ее высота.

а)  Докажите, что точка T делит SM пополам.

б)  Найдите расстояние между прямыми NT и SC.

Основание ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси ОО₁ цилиндра (О₁  — центр верхнего основания цилиндра). Объем цилиндра равен объем пирамиды равен 50.

а)  Докажите, что

б)  Найдите расстояние между AS и CD, если диаметр основания цилиндра равен

В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AB опущена высота CH. В треугольнике ACH проведена биссектриса CE угла ACH.

а)  Докажите, что треугольник BCE  — равнобедренный.

б)  Найдите EO, где O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и известно, что AC  =  8, BC  =  6.

Точка M  — середина ребра AA₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B₁ перпендикулярно прямой C₁M.

а)  Докажите, что одна из диагоналей грани ACC₁A₁ равна одному из ребер этой грани.

б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, AC  =  20, AA₁  =  32.

На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB  =  BC  =  CD  =  DA  =  4, SA  =  SB  =  SC  =  SD  =  7.

а)  Докажите, что многогранник SABCD  — правильная четырёхугольная пирамида.

б)  Найдите объём многогранника SABCD.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 14, боковые ребра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

еорема Пифагора

Сложно представить, но в научной литературе существует 367 доказательств теоремы Пифагора. В школьной программе мы проходим гораздо меньше — в этом материале познакомимся с главными формулами и их доказательствами.

О чем эта статья:

• Основные понятия
• Теорема Пифагора: доказательство
• Обратная теорема Пифагора: доказательство
• Решение задач

Поделиться статьей

• АВТОР

Лидия Казанцева

• РУБРИКА

8 класс

• ДАТА ПУБЛИКАЦИИ

28.07.2020

• ПРОСМОТРЫ

182195

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a2 + b2 = c2,

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c2 − b2
• b = √c2 − a2
• c = √a2 + b2

Запоминаем

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

• если c2 < a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
• если c2 = a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
• если c2 > a2 +b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

• если a = 6, b = 10,

значит c2 = a2 + b2 = 62 + 102 = 36 + 100 = 136

• c = √136 = 11,7

Ответ: 11,7.

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Как решаем:

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

112 = 82 + 92

121 ≠ 145

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ