Решу егэ задание 27499

Спрятать решение

2012-07-20

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Исследование функции на возрастание и убывание  по графикам с
помощью производной.

Краткая
теория

На
рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а
на рис.2 этот угол тупой. Если угол
наклона  касательной острый, это означает, что производная
в этой точке положительна,
и функция при увеличении значения переменной Х  будет возрастать.( см. рис.1). Если  угол наклона касательной тупой, как на рис.2, это означает, что производная в это точке отрицательна, и функция на этом участке убывает. (см.рис. 2.).     Итак,  условие
возрастания и убывания функции:

еслиf  ´(x)  > 0  на некотором 
промежутке, то функция возрастает на этом промежутке, если    f  ´(x)< 0  на некотором 
промежутке, то функция убывает на этом промежутке,             

У
функции может быть несколько участков убывания и возрастания.   Рис. 3.Разберем примерНа рис.3 изображен
график некоторой функции f (x). Функция возрастает
на промежутках [-3;3]  и [13;19]. На этих промежутках угол наклона касательной
с положительным направлением оси ОХ  острый, значит производная f ´(x)  > 0, так как тангенс
острого угла положителен. Функция убывает на   промежутках [ -8; -3] и
[3;13], так как на этих участках угол наклона касательной с положительным
направлением оси ОХ  тупой, значит производная  f ´(x)  < 0, так как тангенс
тупого  угла отрицательный. Если надо определить
участки возрастания и убывания не по графику, а путем вычислений, то действуют
по такому
плану:                                                                                                                      
1. Найти область определения заданной
функции.

2. Найти производную  f 
´(x) 
заданной функции.

3. Найти промежутки, где производная f ´(x)  > 0 и f ´(x)  < 0, ( решая полученные
неравенства аналитически или методом интервалов).

Пример1. Исследовать функцию f(x) = 5x² -3x +1на монотонность
(на возрастание и убывание).                                 Решение.

1. Область
   определения функцииD(f) = R.
2. f
   ´(x) = (5x² -3x +1)´ = 10x – 3 
3. f ´(x) = 0     10x -3 =0    10x=3       x= 0,3       

 Отметим  найденную точку на числовой прямой. Числовая
прямая разбилась на два промежутка  (-∞; 0,3] и [0,3; + ∞).Проверим
знак производной в каждом из полученных промежутков. Для этого выбираем любое
произвольное число из левого промежутка и потом из правого. Выберем любое
число   х<0,3,  например  х=0 и подставим вместо х в производную, получим: 
10·0 -3= -3< 0.Поставим слева от числа 0,3 знак минус на числовой прямой.

Выберем любое число х>0,3,  например, х=2 и
подставим вместо х в производную, получим:  10·2 -3= 17>0.Поставим  справа
от числа 0,3 знак плюс на числовой прямой. Там, где производная положительна  (f ´(x) >0) функция возрастает, то есть возрастает на промежутке  [
0,3; +∞)

Там, где  производная
отрицательна 

(f ´(x)<0) функция
убывает, то есть убывает на ( -∞; 0,3].

Пример2. Исследовать функцию f(x) = 3x² –2x³+12х  на возрстание и
убывание. Найти длину участка возрастания.

1.Область
определения функции   D(f) = R.

2. f ´(x) = (3x² -2x³ +12х)´= 6х
– 6х² +12

3. f ´(x) = 0     6х – 6х²
+12 =0  разделим на 6 и перепишем по порядку.     — х² +х +2 = 0 
Решим это квадратное уравнение, найдем дискриминант и корни.

D= 1² —
4·(-1)·2 = 1 + 8 = 9>0  — два корня.

X₁= ( — 1+√9)/
( -2) =2/ (-2)= — 1;         X₂= ( — 1-√9)/ ( -2) =2

Отметим 
найденные точки на числовой прямой. Числовая прямая разбилась на три
промежутка:

(-∞;
-1] , [-1; 2]  и [2; +∞). Проверим знак производной в каждом промежутке. 
На (-∞; -1] выберем, например, х = -3 и подставим в производную.  . f ´(-3)=  — (
-3)² +(-3) +2= -9 -3 +2 = -10<0

В
случае, когда производная получилась в виде квадратичной функции, то знак в
каждом промежутке проверять не надо, достаточно определить знак в одном
промежутке, в остальных знаки будут обязательно чередоваться, или как на рисунке
изобразить схематически график квадратичной функции (
красный график). 

Изобразим
числовую прямую и расставим знаки производной.

Производная
положительна на [-1; 2] , значит на этом промежутке функция возрастает.
Производная отрицательна на промежутках (-∞; — 1]  и [2; +∞),
значит функция убывает на этих промежутках.  Найдем длину участка
возрастания    2 – (-1) = 2 +1 =3.

Ответ: функция
возрастает на промежутке[-1; 2] , убывает на промежутках 

(-∞;
— 1]  и [2; +∞). Длина участка   возрастания  равна   3.

Рассмотрим примеры на исследование функции на возрастание и
убывание по графикам.

1.

На рисунке изображен
график производной функции определенной на
интервале Найдите
промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания
данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее
производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6).
Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

 Ответ: 14.

2.

На рисунке изображён график   —
производной функции определенной на
интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2]
функция принимает наибольшее
значение?

Решение. Функция,
дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если
функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная
положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция
возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

На заданном отрезке производная функции не положительна, функция
на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается
на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

 Ответ: −3.

3.

На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение. Функция,
дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если
функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная
положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция
возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Поэтому промежутки возрастания функции f(x) соответствуют
промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам
(−11; −10], [−7; −1] и [2; 3).
Наибольший из них  — отрезок [−7; −1], длина
которого равна 6.

 Ответ: 6.

4.   На рисунке изображён график   —
производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁,
x₂, x₃, …, x₈. Сколько
из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Решение. Возрастанию
дифференцируемой функции f(x) соответствуют неотрицательные
значения её производной. Производная неотрицательна в точках x₄,
x₅, x₆. Таких точек 3 Ответ: 3.

5.

На рисунке изображен график функции и отмечены точки
−2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной
наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение. Значение производной в
точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь
равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная
отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной
явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

 Ответ:4.

6.

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  =  f(x).
На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂,
x₃, …, x₉. Среди этих точек найдите все
точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе
укажите количество найденных точек.

Решение. Две из отмеченных точек
являются точками экстремума функции f(x). Это точки x₃
и x₆ (выделены красным). В них производная функции f(x)
равна нулю.

В точках x₁, x₂, x₇
и x₈ функция f(x) возрастает (выделены синим).
В этих четырёх точках производная функции f(x) положительна.

В точках x₄, x₅ и x₉
функция f(x) убывает (выделены зеленым). В этих трёх
точках производная функции f(x) отрицательна.

 Ответ: 3.

 7.

Функция определена и непрерывна
на интервале На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания
данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её
производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и
(1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на
интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2,
−1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.

 Ответ: 3.

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов
промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому
промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке и монотонна на
интервале то функция монотонна
на всем отрезке

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке,
если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением
конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная
функции

не существует в точке и положительна
во всех остальных точках. Функция f в точке непрерывна,
следовательно, она возрастает на

8.

На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x).
Числа a, b, c, d и e за­да­ют на оси x че­ты­ре интервала.
Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в cоответствие каж­до­му ин­тер­ва­лу ха­рак­те­ри­сти­ку
функ­ции или её производной.

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь
графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной
в ней.

ТОЧКИ		ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)		1) про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на на всём интервале 2) про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце интервала 3) функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце интервала 4) про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на на всём интервале

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем
буквам:

Пояснение.

Если функ­ция возрастает, то про­из­вод­ная
по­ло­жи­тель­на и наоборот.

На ин­тер­ва­ле (a;b)про­из­вод­ная
по­ло­жи­тель­на вна­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце, по­то­му
что функ­ция вна­ча­ле возрастает, а потом убывает.

На ин­тер­ва­ле (b;c)
про­из­вод­ная отрицательна, по­то­му что функ­ция убывает.

На ин­тер­ва­ле (c;d)
функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце ин­тер­ва­ла.

На ин­тер­ва­ле (d;e)
про­из­вод­ная положительна, по­то­му что функ­ция возрастает.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие
А — 2, Б — 1, В — 3 и Г — 4.

Ответ: 2134.

Решить самостоятельно.

1.

На рисунке изображен
график функции y = f(x), определенной на интервале
(−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции
положительна.

2.

На рисунке изображен
график производной функции f(x), определенной на интервале
(−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x)
принимает наименьшее значение?

3.

На рисунке изображен
график производной функции f(x), определенной на интервале
(−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

4.

На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

5.

На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

6.

На рисунке изображен
график функции и отмечены точки
−2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной
наибольшее? В ответе укажите эту точку.

7.

На рисунке изображён
график функции y  =  f(x) и отмечены семь
точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃,
x₄, x₅, x₆, x₇.
В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Решение. Производная функции
отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это
точки x₃, x₄, x₇  —
всего 3 точки.

 8. 

На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси
абсцисс: В скольких из этих точек
производная функции положительна?

9.    На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на
оси абсцисс: В скольких из этих точек
производная функции отрицательна?

10.  

На рисунке изображён
график функции определенной на
интервале . Сколько из
отмеченных точек принадлежат промежуткам
убывания функции?

11

Функция определена и непрерывна
на отрезке На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

12.  

Функция определена и непрерывна
на отрезке На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

13

Функция определена и непрерывна
на полуинтервале На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.

14.

На рисунке изображён график функции определённой на
интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x).
В ответе укажите длину наибольшего из них.

15. 
 На ри­сун­ке
изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и от­ме­че­ны точки K,
L, M и N на оси x. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те
в со­от­вет­ствие каж­дой точке ха­рак­те­ри­сти­ку функ­ции и её производной.

 

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь
графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной
в ней.

ТОЧКИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНК­ЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
А) K Б) L В) M Г) N		1) функ­ция по­ло­жи­тель­на, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на 2) функ­ция от­ри­ца­тель­на, про­из­вод­ная отрицательна 3) функ­ция положительна, про­из­вод­ная равна 0 4) функ­ция отрицательна, про­из­вод­ная положительна

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий
номер.

16.  

На ри­сун­ке изображён гра­фик функции y = f(x) .
Точки a, b, c, d и e за­да­ют на оси Ox
интервалы. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каждому ин­тер­ва­лу
характеристику функ­ции или её производной.

Пользуясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му ин­тер­ва­лу
вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)		1) Зна­че­ния функции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке интервала. 2) Зна­че­ния производной функ­ции положительны в каж­дой точке интервала. 3) Зна­че­ния функции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке интервала. 4) Зна­че­ния производной функ­ции отрицательны в каж­дой точке интервала.

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем
буквам:

17.  Исследовать
функцию f(x) = 5 +2x³— 24х  на возрастание и убывание.
Найти длину участка убывания.

18. Исследовать функцию f(x) = x² – x⁴ + 1  на возрстание и
убывание. Найти длину наименьшего  участка возрастания.

Ответы
на задания.

1.     4

2.    -7

3.    18

4.     6

5.     6

6.   – 2

7.     3

8.     5

9.      7

10.              
4

11.              
8

12.              
6

13.              
9

14.              
3

15.              
4321

16.              
1432

17.              
↓   [-2; 2];    ↑ ( — ∞; -2] и [2; +∞). Длина участка ↓
равна 4.

18.              
↓   [-1; 0] и  [1; +∞);     ↑ ( — ∞; -1] и [0; 1]. Длина наименьшего
участка ↑ равна 1.

Скачано с www.znanio.ru