Математика егэ вариант 409

Задание 1

Ответ: 12

Скрыть

$$Delta LKNsimDelta LPM$$

$$frac{LK}{LP}=frac{LN}{LM}=frac{4x}{6x}$$

$$LK=frac{2}{3}cdot18=12$$

Задание 2

Ребро куба равно 1,8. Середина ребра этого куба является центром шара радиуса 0,9. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите $$frac{S}{pi}$$.

Ответ: 0,81

Скрыть

$$S_{пов. шара}=4picdot R^2=4picdot0,9^2$$

Внутри куба лежит $$frac{1}{4}$$ чаcть шара.

$$frac{1}{4}cdot4picdot0,9^2=0,9^2pi$$

$$0,9^2=0,81$$

Задание 3

В магазине стоят два платежных терминала. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого. Найдите вероятность того, что ровно один терминал из двух оказался неисправен, а другой работает.

Ответ: 0,18

Скрыть

$$P=0,9cdot0,1+0,1cdot0,9=0,18$$

Задание 4

В корабельной артиллерии применяется система управления огнем. Орудие делает выстрел по цели. Если цель не поражена, делается еще один выстрел. Третий выстрел не делается. Предположим, что вероятность поражения цели каждым выстрелом равна 0,9. На сколько вырастет вероятность поражения цели, если дать системе возможность делать третий выстрел в случае, когда два первых неудачные?

Ответ: 0,009

Скрыть

Вероятность поразить цель с первого выстрела равна $$0,9$$.

Но есть вероятность и того что цель будет поражена со второго выстрела и она равна: $$0,1cdot0,9=0,09$$.

Вероятность того, что цель не будет поражена и со второго выстрела равна:

$$0,1cdot0,1=0,01$$

Значит, тогда вероятность того, что цель будет поражена с третьего выстрела равна: $$0,01cdot0,9=0,009$$

Задание 5

Решите уравнение $$log_5^2 (25x)-12log_{25}x = 24$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите произведение всех корней уравнения.

Ответ: 25

Скрыть

$$(2+log_5x)^2-6log_5x=24$$

$$t=log_5x$$

$$4+4t+t^2-6t=24$$

$$t^2-2t-20=0$$

$$t=1pmsqrt{21}$$

$$log_5x=1pmsqrt{21}$$

$$x=5^{1pmsqrt{21}}$$

$$5^{1+sqrt{21}}cdot5^{1-sqrt{21}}=25$$

Задание 6

Найдите значение выражения $$sqrt{3}cdotfrac{sin75^{circ}cos15^{circ}-sin165^{circ}sin15^{circ}}{sin35^{circ}sin205^{circ}+sin305^{circ}cos205^{circ}}$$

Ответ: 3

Скрыть

$$sqrt{3}cdotfrac{sin75^{circ}cos15^{circ}-sin165^{circ}sin15^{circ}}{sin35^{circ}sin205^{circ}+sin305^{circ}cos205^{circ}}=sqrt{3}cdotfrac{sin75^{circ}cos15^{circ}-cos75^{circ}sin15^{circ}}{sin35^{circ}sin25^{circ}+cos35^{circ}cos25^{circ}}=$$

$$=sqrt{3}cdotfrac{sin(75^{circ}-15^{circ})}{cos(35^{circ}+25^{circ})}=3$$

Задание 7

Ответ: 3

Скрыть

$$y’>0$$

$$(1,5;5)cup(9;10)$$

$$2;3;4 Rightarrow 3$$

Задание 8

Ответ: 87,5

Скрыть

$$2sin(frac{2pi}{3}t+frac{pi}{12})geq1$$

$$frac{pi}{6}+2pi kleqfrac{2pi}{3}t+frac{pi}{12}leqfrac{5pi}{6}+2pi k,kin Z$$

$$frac{pi}{12}+2pi kleqfrac{2pi}{3}tleqfrac{3pi}{4}+2pi k$$

$$frac{1}{8}+3kleq tleqfrac{9}{8}+3k$$

$$k=0$$

$$frac{7}{8}cdot100=frac{175}{2}=87,5$$

Задание 9

Дежурный монтер спустился по движущемуся вниз эскалатору метро. Весь его путь от верхней площадки до нижней продолжался 24 с. Затем он поднялся и в том же темпе снова спустился вниз, но теперь уже по неподвижному эскалатору. Известно, что спуск продолжался 42 с. За сколько секунд спустился бы человек по движущемуся вниз эскалатору, стоя на ступеньке?

Ответ: 56

Скрыть

В первом случае монтёр спускался со скоростью, равной собственной скорости и скорости эскалатора, а именно, со скоростью $$frac{1}{24}$$ ед/с, а во втором случае — только с собственной скоростью, равной $$frac{1}{42}$$ ед/с, следовательно, скорость эскалатора равна:

$$frac{1}{24}-frac{1}{42}=frac{1}{56}$$ ед/с,

откуда получается, что чистое время спуска по эскалатору равно:

$$frac{1}{frac{1}{56}}=56$$ с

Задание 10

Ответ: -2,12

Скрыть

Горизонтальная асимптота: $$x=4; y=-2$$

$$f(x)=frac{k}{x-4}-2$$

Точка $$(1;-1)$$ принадлежит графику функции. Тогда:

$$-1=frac{k}{-3}-2$$

$$1=frac{k}{-3}$$

$$k=-3$$

$$f(x)=frac{-3}{x-4}-2$$

$$f(29)=-frac{3}{25}-2=-2,12$$

Задание 11

Ответ: 15

Скрыть

$$y’=-8+frac{4}{4x}=frac{1}{x}-8=frac{1-8x}{x}$$

$$x=frac{1}{8}$$ — точка максимума

$$y(frac{1}{8})=16-1+lnfrac{1}{2}+ln2=15$$

А) Решите уравнение $$sin^3xcdot(1+ctg x)+cos^3xcdot(1+tg x)=2sqrt{sin xcdotcos x}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{7pi}{2};7pi]$$

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁.

А) Докажите, что плоскости AD₁C и BB₁D₁ перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние от точки В₁ до плоскости AD₁C, если AB = 5, AA₁ = 6.

В июне 2023 года Валерий Анатольевич планирует взять кредит на сумму 709800 рублей на 4 года (последняя выплата запланирована в 2027 году). Условия его возврата таковы:

— в январе 2024 и 2025 годов долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2026 и 2027 годов долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по апрель необходимо выплатить часть долга (одну и ту же сумму каждый год);

— к маю 2027 года долг должен быть полностью погашен.

Определите размер ежегодной годовой выплаты в рублях.

В прямоугольнике ABCD на стороне АВ как на диаметре построена окружность с центром О. Отрезок OD пересекает окружность в точке М. Известно, что $$frac{DM}{AB}=frac{sqrt{26}-1}{2}$$.

А) Докажите, что стороны прямоугольника относятся как 5 : 2.

Б) Найдите МС, если известно, что $$AM = sqrt{2-frac{2}{sqrt{26}}}$$.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение:

$$|-a^2-a+x+32|+|-a^2+a+x+3|=2a-29$$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (-2;-1).

На доске написано 27 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 22. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 21. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные умножили на 2. Пусть А — среднее арифметическое оставшихся после этого чисел.

А) Могло ли оказаться так, что А = 10?

Б) Могло ли оказаться так, что А = 12?

В) Найдите наименьшее возможное значение А?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.