Методы решения логарифмических уравнений егэ

Логарифмические уравнения – коротко о главном

Определение логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение – уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида ( displaystyle lo{{g}_{a}}~x~=~b).

Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду ( displaystyle lo{{g}_{a}}left( fleft( x right) right)~=~lo{{g}_{a}}left( gleft( x right) right)), и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: ( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)).

ОДЗ (Область допустимых значений) для логарифмического уравнения:

( displaystyle left{ begin{align}& f(x)>0,\ & a>0,text{}\& ane 1.\end{align}right.)

5 основных методов решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

( displaystyle lo{{g}_{a}}~f(x)=b Leftrightarrow ~f(x)={{a}^{b}}, a>0, ane 1).

2 метод. Использование свойств логарифма:

• ( displaystyle lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b)
• ( displaystyle ccdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}})
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( bc right))
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}b-lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( frac{b}{c} right))
• ( displaystyle {{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)
• ( displaystyle {{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,ane 1)
• ( displaystyle lo{{g}_{a}}a=1~(a>0,ane 1))

3 метод. Введение новой переменной (замена):

Замена ( displaystyle lo{{g}_{a}}x~=~t)позволяетсвести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.

4 метод. Переход к новому основанию:

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right)).

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right)).

5 метод. Логарифмирование:

Берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

Теорема: Если ( displaystyle a>1), то функция ( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x) является монотонно возрастающей, если ( displaystyle 0<a<1), то функция( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x) является монотонно убывающей.

( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=A\gleft( x right)=Aend{array} right.).

Метод введения новой переменной

Я начну с рассмотрения первого метода. Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» – это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Пусть вначале ( displaystyle x=10), так как ( displaystyle lg 10=1), то ( displaystyle frac{1}{4-1}+frac{2}{2+1}=frac{1}{3}+frac{2}{3}=1), верно!

Теперь ( displaystyle x=100,lg 100=2), тогда ( displaystyle frac{1}{4-2}+frac{2}{2+2}=frac{1}{2}+frac{2}{4}=1), все верно!

Таким образом, числа ( displaystyle 10) и ( displaystyle 100) являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: ( displaystyle 10,100).

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения. 

Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.

А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

2. ( displaystyle frac{{{log }_{2}}frac{x}{2}}{{{log }_{2}}x}-frac{{{log }_{2}}{{x}^{2}}}{{{log }_{2}}x-1}=1)

3. ( displaystyle 0.1{{lg }^{4}}x-{{lg }^{2}}x+0,9=0.)

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример.

Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб». Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.

Сделав это, ты получишь:

Давай сделаем ее: ( displaystyle t=lo{{g}_{2}}x). Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим. Тогда мы получим:

Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{x}_{2}}) в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.

Теперь давай попробуем решить третье уравнение

4. ( displaystyle 1+{{log }_{x}}frac{4-x}{10}=left( lg {{x}^{2}}-1 right){{log }_{x}}10)

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной!

Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

Если ( displaystyle {{x}_{1}}), ( displaystyle {{x}_{2}})– корни уравнения ( displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0), то:

Так как ( displaystyle {{log }_{2x+3}}~left( 3x+7 right)=1/{{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)), то введем замену ( displaystyle t={{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)).

Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид: ( displaystyle frac{2}{t}+t-3=0)

Его корни равны: ( displaystyle {{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=1), тогда

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

На самом деле, пример решается в два действия:

1. Преобразуем ( displaystyle {{log }_{5}}3=frac{1}{{{log }_{3}}5})

2. Теперь справа у меня стоит выражение ( displaystyle frac{{{log }_{3}}left( 2x+10 right)}{{{log }_{3}}5}), которое равно ( displaystyle {{log }_{5}}left( 2x+10 right))

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

Опишем непосредственно сам мини-максный метод

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

• ( displaystyle {{log }_{frac{1}{3}}}left( 1+{{left( {{x}^{2}}-3x+2 right)}^{2}} right)=sqrt{{{x}^{2}}-6x+8})
• ( displaystyle {{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}+log _{5}^{5}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0)
• ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6})

Ответ: ( displaystyle 2)

2. ( displaystyle {{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}+log _{5}^{2}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0)

Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

Ответ: нет решений.

3. ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6})

Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:

Таким образом, ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{left( x+3 right)}^{2}}+9 right)ge 2)

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

Ответ: ( displaystyle x=-3)

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

Как решать логарифмические уравнения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от (х), называются логарифмическими.

Давайте сразу же рассмотрим пример, так будет легче всего разобраться.

Пример 1
$$ log_{2}(x)=log_{2}(5)$$

Мы видим слева и справа логарифмы с одинаковыми основаниями, равными (2). Вполне логично предположить, что логарифмы будут равны, если будут равны выражения, стоящие под логарифмом (их называют аргументами) — то есть (х=5). Мы только что решили логарифмическое уравнение!

На самом деле, абсолютно такая же логика применима при решении почти всех логарифмических уравнений — если у нас сравниваются два логарифма с одинаковыми основаниями, то мы можем избавиться от логарифмов, приравнять их аргументы и решить получившееся уравнение.

Пример 2
$$ log_{3}(2x+5)=log_{3}(11) $$

Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием (3). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$ 2x+5=11,$$
$$ 2x=6,$$
$$ x=3.$$

Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте посмотрим еще один пример:

Пример 3
$$ log_{2}(1+3x)=log_{2}(2x-3) $$

Смотрим на основания — они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:

$$1+3x=2x-3,$$
$$3x-2x=-3-1,$$
$$x=-4.$$

Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:

$$ log_{2}(1+3*(-4))=log_{2}(2*(-4)-3),$$
$$log_{2}(-11)=log_{2}(-11).$$

Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.

Действительно, давайте вспомним определение логарифма (log_{a}b) — это в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b). При этом определение справедливо не для всех (a) и (b), а только для (a>0), (b>0), (a neq 1). Подробнее про логарифм и его свойства можно почитать здесь.

Значит, с нашим решением что-то не так — мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!

Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:

$$log_{a}f(x)$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:

$$ begin{cases}
f(x)>0, \
a>0, \
a neq 1.
end{cases}$$

И при решении любых логарифмических уравнений или неравенств всегда первым делом записываем ОДЗ для каждого логарифма в уравнении.
В нашем примере 3, ОДЗ будет выглядеть вот так:

$$ begin{cases}
1+3x>0, \
2x-3>0. \
end{cases}$$

Решаем получившуюся систему

$$ begin{cases}
x>-frac{1}{3}, \
x>frac{3}{2}. \
end{cases}$$

Находим (х), удовлетворяющие одновременно обоим неравенствам, и получаем в итоге ОДЗ:
$$x>frac{3}{2}.$$

Вспоминаем, что решая это уравнение мы получили корень (x=-4), который нашему ОДЗ не удовлетворяет. Поэтому в примере 3 корней нет.

И так, всегда пишем ОДЗ!

Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:

Пример 4
$$ log_{2}(x)=log_{4}(9).$$

Запишем ОДЗ: (x>0).

У логарифма слева основание (2), а у логарифма справа основание (4). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ого, как я такое получил?
Просто воспользовался формулой возведения в степень основания и аргумента логарифма — если возвести в одинаковую степень, то логарифм от этого не поменяется:

$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n).$$

В нашем примере возведем основание и аргумент в степень (frac{1}{2}):

$$ log_{4}(9)=log_{4^{frac{1}{2}}}(9^{frac{1}{2}})=log_{2}(3).$$

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ну теперь основании у логарифмов одинаковые и можно с чистым сердцем приравнять аргументы, как мы делали до этого.
$$x=3.$$

Кстати, решить уравнение (log_{2}(x)=log_{4}(9))
можно было и по-другому — привести к основанию (4) логарифм, стоящий слева в уравнении:

Опять воспользуемся свойством логарифма:
$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n);$$
$$log_{2}(x)=log_{2^2}(x^2)=log_{4}(x^2);$$
Подставим в исходное уравнение наши преобразования:
$$ log_{4}(x^2)=log_{4}(9);$$
Ура, у нас слева и справа логарифмы с одинаковым основанием — вычеркиваем логарифмы:
$$x^2=9;$$
Решаем аккуратно простейшее квадратное уравнение. Не забываем, что у него будет 2 корня!
$$x=pm3;$$

Опа, у нас получилось два корня. А когда мы решали первым способом был один корень! Что за дела?

Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ (х>0). Тогда корень (x=-3) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.

Ответ: (x=3.)

Подробнее про свойства логарифмов можно посмотреть тут. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 5
$$log_{5}(x)=2$$

Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.

Оказывается, любое число (a) можно представить в виде логарифма с нужным вам основанием (b) по формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
Эту формулу можно просто запомнить. А въедливым читателям, я бы рекомендовал посидеть и подумать откуда берется данное выражение. Подсказка — оно напрямую вытекает из определения логарифма. Задайте себе вопрос — «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?»

И так, воспользуемся формулой и распишем 2-ку:
$$2=log_{5}(5^2);$$
Подставим в уравнение:
$$log_{5}(x)=log_{5}(5^2);$$
Ура, у нас два логарифма с одинаковыми основаниями, теперь можно приравнять подлогарифмические выражения.
$$x=5^2;$$
$$x=25.$$

Пример 6
$$log_{3}(x+2)=0$$

Начинаем с ОДЗ:
$$x+2>0;$$
$$x>-2.$$

Приступаем к решению уравнения. Что делать в случае, когда справа стоит (0)? Ничего страшного в этом нет, действуем по прежнему плану — представим (0) в виде логарифма по нашей формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(3^0);$$
Вспоминаем, что любое число в нулевой степени это единица.
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(1);$$
$$x+2=1;$$
$$x=-1.$$
Корень удовлетворяет ОДЗ — записываем ответ.
Ответ: (x=-1).

Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившееся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, то вам поставят за это задание 0 баллов.

В общем виде формула для решения логарифмов выглядит так:
$$ log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x)) qquad (*)$$
где (a>0) — основание логарифмов, а (f(x)) и (g(x)) — какие-то выражения, зависящие от (x).
$$ begin{cases}
f(x)>0, или \
g(x)>0. \
end{cases}$$
$$f(x)=g(x).$$

Обратите внимание на «или» в ОДЗ. Оказывается можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на f(x), либо на g(x) — смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых (f(x)=g(x)).

Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:

Пример 7
$$2*log_{4}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$

Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя (2) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое (4), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!

Но перед тем как решать, запишем ОДЗ:
$$ begin{cases}
4+x>0, \
x-2>0. \
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>-4, \
x>2. \
end{cases}$$

Находим пересечение и в итоге ОДЗ получается:
$$ x>2.$$

Приступаем непосредственно к решению уравнения. Самое главное, нам необходимо привести все логарифмы к одинаковому основанию, и, по возможности, привести к виду (log_{a}f(x)=log_{a}g(x)).
Здесь не обойтись без свойств логарифмов.
Воспользуемся формулой вынесения степени из основания логарифма:
$$log_{a^n}(b)=frac{1}{n}*log_{a}(b)$$
$$log_{4}(4+x)=log_{2^2}(4+x)=frac{1}{2}*log_{2}(4+x)$$

Подставим в уравнение
$$2*frac{1}{2}*log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
$$log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
Теперь у нас хотя бы логарифмы с одинаковым основанием. Далее преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись формулами:
$$ a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{a}(b)-log_{a}(c)=log_{a}(frac{b}{c})$$
$$4-log_{2}(x-2)=log_{2}(2^4)-log_{2}(2-x)=log_{2}(16)-log_{2}(2-x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$
Подставим получившееся выражение в уравнение:
$$log_{2}(4+x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$

Ура, теперь у нас слева и справа в уравнении логарифмы с одинаковым основанием (2).
Избавляемся от логарифмов и решаем:
$$4+x=frac{16}{x-2};$$
Перекинем все налево и приведем к общему знаменателю
$$4+x-frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{(4+x)(x-2)}{x-2}—frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{4x-8+x^2-2x–16}{x-2}=0;$$
$$frac{x^2+2x-24}{x-2}=0;$$
Дробь равна 0, когда числитель равен 0
$$x^2+2x-24=0;$$
$$D=(2^2-4*(-24)=4+96=100;$$
$${x}_{1,2}=frac{-2pm 10}{2};$$
$${x}_{1}=4;$$
$${x}_{2}=-6;$$
Мы получили два корня. Но не забываем про ОДЗ. Выше мы его посчитали и получилось, что (x>2). Значит второй корень не подходит.
Ответ: (x=4).

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Рассмотри теперь уравнение, в котором есть, так называемый, логарифм с переменным основанием. То есть логарифм, у которого в основании стоит какое-то выражение, зависящее от (х).

Пример 8
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=1;$$

В основании логарифма стоит ((1-х)), это переменное основание, потому что я могу подставлять различные значения (х) и каждый раз основание логарифма будет разным. Ничего страшного в этом нет, начинаем решать, руководствуясь тем же принципом, что и в предыдущих примерах — стараемся привести обе части уравнения к виду двух логарифмов с одинаковым основанием. Для этого нужно представить (1) справа в виде логарифма с основанием ((1-х)).

Но первым делом выпишем ОДЗ, не забывая накладывать условия и на основание логарифма, так как оно зависит от (х):
$$ begin{cases}
x^2+3x+1>0, \
1-x>0, \
1-xneq1.\
end{cases} qquad (**)$$

Теперь приступаем к решению самого уравнения. Выпишем еще раз формулу, по которой преобразуем правую часть:

$$a=log_{b}(b^a);$$
Где (а=1), а (b=1-x):
$$1=log_{1-x}(1-x)^1=log_{1-x}(1-x);$$
Подставим в уравнение
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=log_{1-x}(1-x);$$

Два логарифма с одинаковым основанием — можем приравнять аргументы:
$$x^2+3x+1=1-x;$$
$$x^2+4x=0;$$
$$x(x+4)=0;$$
$$x=0;$$
$$x=-4.$$
Получили два корня, проверим удовлетворяют ли они ОДЗ, подставив их в (**). Корень (0) не удовлетворяет последнему неравенству в ОДЗ, а ((-4)) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: x=-4.

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

Разберем еще один частый тип логарифмических уравнений — это уравнения с заменой переменной. Общий принцип заключается в том, чтобы привести все логарифмы в уравнении к одинаковому основанию и одинаковому аргументу, а потом сделать замену.

Проще разобрать на примерах:

Пример 9

$$log^2_{2}(x)+6=5*log_{2}(x)$$

Как и любой пример на логарифмы, начинаем с ОДЗ:

$$x>0.$$

В уравнении один из логарифмов в квадрате, поэтому представить в виде равенства двух логарифмов, как мы делали в предыдущих примерах, не получится. Кроме этого, замечаем, что у нас оба логарифма абсолютно одинаковые (у них одинаковые основания, и одинаковые аргументы).

Попробуем сделать замену:
$$t=log_{2}(x)$$
Тогда наше уравнение после замены примет вид:
$$t^2-5t+6=0;$$
$$D=25-24=1;$$
$$t_{1}=frac{5+1}{2}=3;$$
$$t_{2}=frac{5-1}{2}=1;$$
И сделаем обратную замену, получив два простых логарифмических уравнения:
$$t_{1}=log_{2}(x)=3;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^3);$$
$$x=8.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
Обязательно, не забываем проверить, удовлетворяют ли корни ОДЗ ((x>0)). Оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=8; , x=2.)

Пример 10
$$ log_{2}left(frac{8}{x}right)-frac{10}{log_{2}(16x)} = 0;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ:
$$ begin{cases}
frac{8}{x}>0, \
log_{2}(16x)neq0,\
16x>0.\
end{cases}$$

Решаем каждое из получившихся неравенств в системе:
$$ begin{cases}
x>0, \
xneqfrac{1}{16},\
x>0.\
end{cases}$$
В итоге ОДЗ будет: (xin(0;frac{1}{16})cup(frac{1}{16};infty)).

Посмотрим теперь на сам пример. Видим два логарифма, у них одинаковые основания, что хорошо. Но функции, стоящие под логарифмами, разные. Постараемся при помощи свойств логарифма сделать одинаковые аргументы, чтобы потом сделать замену.

Воспользуемся формулами суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями:
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}(frac{b}{c})=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}left(frac{8}{x}right)=log_{2}(8)-log_{2}(x)=3-log_{2}(x);$$
$$log_{2}(16x)=log_{2}(16)+log_{2}(x)=4+log_{2}(x);$$
Подставим наши преобразования в исходное уравнение
$$3-log_{2}(x)-frac{10}{4+log_{2}(x)}=0;$$
Теперь в уравнении все логарифмы одинаковые, модем сделать замену. Пусть (t=log_{2}(x)).
$$3-t-frac{10}{4+t}=0;$$
Приводим к общему знаменателю
$$frac{(3-t)(4+t)-10}{4+t}=0;$$
$$frac{-t^2-t+2}{4+t}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-t^2-t+2=0;$$
$$t_{1}=1;$$
$$t_{2}=-2;$$
Делаем обратную замену:
$$t_{1}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=-2;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}({2}^{-2});$$
$$x=frac{1}{4}.$$
Сверяем с ОДЗ, видим, что оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=2; , x=frac{1}{4}.)

Пример 11
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{0,5}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4)$$

Область допустимых значений:
$$ begin{cases}
x^2+4x>0, \
x^2+3x-4>0,\
x>0.\
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x(x+4)>0, \
x>0,\
(x-1)(x+4)>0.\
end{cases}$$

Зеденым цветом показано решение первого неравенства в системе, синим — второго и фиолетовым третьего. Область, которая находится на пересечении сразу всех трех промежутков заштрихована бордовым.

Решаем методом интервалов, и находим пересечение решений всех неравенств в системе:

В итоге получаем ОДЗ: (x>1).

Приступаем к решению самого уравнения. Первым делом приведем все логарифмы к одинаковому основанию (2). Для этого нужно преобразовать только второе слагаемое в уравнении:
$$0,5=frac{1}{2}=2^{-1};$$
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{2^{-1}}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
Вынесем степень из основания, воспользовавшись формулой (log_{a^n}(b)=frac{1}{n}log_{a}(b)).
$$log_{2}(x^2+4x)-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
В первом слагаемом под логарифмом вынесем общий множитель (х). А квадратный многочлен под логарифмом справа разложим на множители при помощи дискриминанта:
$$log_{2}(x(x+4))-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}((x-1)(x+4));$$
И опять воспользуемся формулами суммыразности логарифмов:

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}left(frac{b}{c}right)=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}(x)+log_{2}(x+4)-log_{2}(x)+log_{2}(4)+2=log_{2}(x-1)+log_{2}(x+4);$$
Сократим подобные слагаемые и посчитаем (log_{2}(4)=2):
$$4=log_{2}(x-1);$$
$$log_{2}(x-1)=4;$$
$$log_{2}(x-1)=log_{2}(2^4);$$
$$x-1=16;$$
$$x=17.$$
Сверяем корень с ОДЗ — подходит. Записываем ответ.
Ответ: (x=17).

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

.

Основное логарифмическое тождество:

,

.

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие .

Ответ:

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения:

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Тема 13. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Логарифмом числа по основанию  называется показатель степени , в которую надо возвести основание , чтобы получить число , то есть из  следует  и наоборот.

Основные формулы.

1. 
2. .
3. 
4. — запись числа через логарифм.
5. — основное логарифмическое тождество.
6.  — формула перехода к логарифму по основанию
7. .
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 

Основные методы решения логарифмических уравнений.

I. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида

Примеры.

Решить уравнение. 1)  .

Решение.

Проверка:  верно;

                     верно.

Ответ: -1; 3.

2) .

Решение. По определению логарифма:  Получаем

.

Проверка:  верно.

Ответ: .

Решить уравнения.

1. .                                                        Ответ:
2. .                                                Ответ:      
3. .                                                Ответ:    
4. .                                  Ответ:
5. .                                                               Ответ:
6.                                                                      Ответ:

II. Метод потенцирования.

Сущность метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду   Это уравнение ( при  равносильно системе

Примеры.

Решить уравнение.

1) .

Решение. ОДЗ (область допустимых значений переменной): . Преобразуем исходное уравнение

-удовлетворяет условию (1).

Ответ: .

2) .

Решение. ОДЗ    (2)

 

 не удовлетворяет ОДЗ,  удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

1. 

Решение. ОДЗ:

           Найдем связь между основаниями логарифмов. По формуле разности кубов получаем  

 Таким образом

  Значение  удовлетворяет ОДЗ,  не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

Решить уравнения.

1.                                                    Ответ:
2.                                                  Ответ:
3.                                                      Ответ:
4.                                                             Ответ:
5.                   Ответ:  
6.                                  Ответ:  

III. Метод введения неизвестного (подстановка).

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного уравнения.

Примеры.

Решить уравнение. 1)

Решение. ОДЗ  В первом слагаемом перейдем к основанию 25, воспользовавшись формулой  Получим . Так как , т.е.  то умножив обе части уравнения на  получим  . Введем новую переменную, обозначив  Получим  квадратное уравнение относительно нового неизвестного :

. Решая его, находим Используя обозначение  получаем

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

2)

Решение. ОДЗ   С учетом ОДЗ раскроем модуль, получим  Обозначим  приходим к квадратному уравнению  Тогда  

Найденные значения удовлетворяют уравнению.

Ответ: -10; —.

Решить уравнения.

1.                                                              Ответ:              

2.                                                 Ответ:

3.                                         Ответ:

4.                                                    Ответ:

5.                                                        Ответ:

IV. Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Часто метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Примеры. Решить уравнение.

1) .

Решение. ОДЗ: . Перейдем к основанию 2, используя формулу , получим

, , обозначим , тогда

                     . Значит,

Найденное значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 64.

2) .

Решение. ОДЗ: Переходим к основанию 2, используя формулу.

Итак,

Тогда исходное уравнение перепишется так

. Обозначим , получим уравнение

   Тогда

Найденные значения  удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1, 4, .

Решить уравнения

1.                                    Ответ:
2.                                           Ответ:
3.                                                      Ответ:
4.                                                              Ответ:
5.                                                  Ответ:  

V. Метод логарифмирования.

Уравнения, содержащие неизвестную величину как в основании, так и в показателе степени, решают, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. Основание логарифмирования выбирают по виду конкретного уравнения.

Примеры. Решить уравнение.

1) , где

Решение. В данном задании целесообразно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.

Получаем , откуда  Введем новую переменную . Тогда полученное уравнение перепишется в виде (учитывая, что )

Ответ:

2) .

Решение. ОДЗ:  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию .

  Пусть , тогда

Тогда  Найденные значения  удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Решить уравнения

1.                                                           Ответ:
2.                                         Ответ:
3.                                                     Ответ:
4.                                                        Ответ:
5.                                                           Ответ:

1.	Логарифмическое уравнение (определение) Сложность: лёгкое	5
2.	Сумма логарифмов (потенцирование) Сложность: лёгкое	3
3.	Разность логарифмов (потенцирование) Сложность: лёгкое	3
4.	Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному Сложность: лёгкое	5
5.	Логарифмирование (показательное уравнение) Сложность: лёгкое	2
6.	Сумма логарифмов Сложность: лёгкое	1
7.	Логарифмическое уравнение (неизвестно основание) Сложность: среднее	4
8.	Логарифмическое уравнение (произведение равно 0) Сложность: среднее	2
9.	Логарифмическое уравнение, разность логарифмов Сложность: среднее	3
10.	Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате) Сложность: среднее	3
11.	Логарифмическое уравнение (разложение на множители) Сложность: среднее	5
12.	Логарифмическое уравнение, сводимое к дробно-рациональному (разность логарифмов) Сложность: среднее	6
13.	Логарифмирование (основное логарифмическое тождество) Сложность: среднее	5
14.	Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному Сложность: среднее	5
15.	Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (основание — натуральное число) Сложность: среднее	5
16.	Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (обыкновенная дробь) Сложность: среднее	5
17.	Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (сумма логарифмов) Сложность: среднее	7
18.	Метод введения новой переменной (логарифм частного) Сложность: среднее	4
19.	Логарифмическое уравнение, сводимое к алгебраическому (теорема Виета) Сложность: среднее	5
20.	Логарифмическое уравнение, сводимое к алгебраическому (дискриминант) Сложность: среднее	7
21.	Логарифмическое уравнение (тригонометрия) Сложность: сложное	7
22.	Логарифмическое уравнение (новая переменная) Сложность: среднее	5
23.	Логарифмическое уравнение, сводимое к дробно-рациональному (десятичный логарифм) Сложность: сложное	9
24.	Показательное уравнение (логарифмические корни) Сложность: сложное	8
25.	Логарифмическое уравнение (графический способ) Сложность: сложное	3

Ученик проходит в несколько лет
дорогу, на которую человечество употребило
тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными
глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый
результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией
открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик
должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока: Урок повторного контроля
знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

• Образовательная — обобщение знаний учащихся
  по теме «Логарифмические уравнения и системы
  уравнений; закрепить основные приемы и методы
  решения логарифмических уравнений и систем
  уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий
  повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
• Развивающая — развитие логического мышления
  для сознательного восприятия учебного
  материала, внимание, зрительную память,
  активность учащихся на уроке. Предоставить
  каждому из учащихся проверить свой уровень
  подготовки по данной теме.
• Воспитывающая — воспитание познавательной
  активности, формирование личностных качеств:
  точность и ясность словесного выражения мысли;
  сосредоточенность и внимание; настойчивость и
  ответственность, положительной мотивации к
  изучению предмета, аккуратности,
  добросовестности и чувство ответственности.
  Осуществить индивидуальный подход и
  педагогическую поддержку каждого ученика через
  разноуровневые задания и благоприятную
  психологическую атмосферу.

Задачи урока:

• выработать у учащихся умение пользоваться
  алгоритмом решения логарифмических уравнений.
• осуществить формирование первоначальных
  знаний в виде отдельных навыков после
  определенной тренировки решения уравнений и
  систем уравнений.
• познакомить учащихся с частными случаями и
  отработать навыки по решению таких уравнений и
  систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

• Методы самообучения
• Приемы устного опроса.
• Приемы письменного контроля.
• Коллективная учебная деятельность.
• Организация работы в группах.
• Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

• компьютер, мультимедийный проектор и экран;
• тетради;

Раздаточный материал: задания для
самостоятельной работы.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)
2. Проверка домашнего задания (3 мин)
3. Входной контроль (повторение теоретического
   материала) (15 мин)
4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение
   уравнений и систем уравнений (45 мин)
5. Разноуровневая самостоятельная работа
   (проверка знаний учащихся) (20 мин)
6. Итоги урока (4 мин)
7. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности
учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность
выполнения домашнего задания всеми учащимися;
установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение
теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с
классом по повторению логарифмических формул и
способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

Сравните числа:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения
логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

• По определению логарифма.
• Метод потенцирования.
• Метод введения новой переменной.
• Решение уравнений логарифмированием его обеих
  частей.
• Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

1. log₂(3 — 6x) = 3
2. lg(х² — 2х) = lg (2х + 12)
3. 5^{х + 1} — 5 ^{х — 1} = 24
4. х^{lg х} = 10000
5. 3^{2х + 5} = 3^{х + 2} + 2
6. log₃²x — log₃ x = 3
7. log₂x — log₄x = 3
8. 2^x = x² — 2x

Среди данных уравнений выбрать
логарифмические. Определить способ решения
каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения
уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если
имеется не один корень):

• Найти наименьший корень уравнения.
• Найти сумму корней уравнения.
• Найти разность корней уравнения.
• Найти произведение корней уравнения.
• Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности
учащихся (результаты заносятся в листы
самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий
ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их
несколько) уравнения  log₆(3x + 88) — log₆
11 = log₆ x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней
уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log₄ (x — 3)
+ 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения:  log₂(2+5)+ log_0,5(-х-0,5)
= 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение — log₆ x + 34 = ()² + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных
крыльях доски с последующей проверкой решения
всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным
комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка
учащихся (результаты заносятся в листы
самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями
будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a > 0, a 1.

log _a f(x) = b, a > 0, a 1.

log _f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании
определения логарифма: если log_b a = c, то a
= b ^c.

Решить уравнение log₂ x = 3.

Решение. Область определения уравнения x >
0. По определению логарифма x = 2³, x = 8
принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a >
0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению
логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно,
и после решения уравнения f(x) = a^b
проверяется, принадлежат ли его корни области
определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log₃(5х — 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.

log₃(5х- 1) = 2,

log₃(5х — 1) = log₃3²,

5х — 1 =9,

х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения
находится из неравенства 2х² — 2х — 1
> 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями,
получим 2х² — 2х — 1 = 3. Это уравнение
имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные
значения неизвестной удовлетворяют неравенству
2х² — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат
области определения данного уравнения, и, значит,
являются его корнями.

Ответ. х₁ = -1, х₂ = 2.

Уравнения вида log_f(x) b = с, b
> 0.

Уравнения этого вида решаются по определению
логарифма с учётом области определения
уравнения. Данное уравнение равносильно
следующей системе

Чаще всего, область определения
логарифмического уравнения находится отдельно,
и после решения уравнения (f(x))^c = b
или равносильного уравнения проверяется,
принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

log_x-19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

2.. Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от
уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к
уравнению f(x) = g(x), которое обычно не
равносильно исходному.

Уравнения вида

log_a f(x) = log_a g(x) , а
> 0, а ?1.

На основании свойства монотонности
логарифмической функции заключаем, что f(x)
= g(x).

Переход от уравнения log_a f(x) = log_a
g(x) к уравнению f(x) = g(x)
называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может
нарушиться равносильность уравнения. В данном
уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в
полученном после потенцирования эти функции
могут быть как положительными, так и
отрицательными. Поэтому из найденных корней
уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать
те, которые принадлежат области определения
данного уравнения. Остальные корни будут
посторонними.

Пример. Решить уравнение log₃ (x²
— 3x — 5) = log₃ (7 — 2x).

Решение. Область определения уравнения
найдётся из системы неравенств:

x² — 3x — 5>0,  7 — 2x>0

х> -1,5+ , х<3,5

х₂ <-1,5-

Потенцируя данное уравнение, получаем х²
— 3х — 5 = 7 — 2х,

х² — х — 12 = 0, откуда х₁ = -3,
х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе
неравенств.

Ответ. х = -3.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x)
с помощью свойств логарифмов по одному
основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному
основанию, то для приведения их к виду log _a f(x)
= log _a g(x) используются следующие свойства
логарифмов:

log_b a + log_b c = log_b (a*c),
где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

log_b a — log_b c = log_b (a/c),
где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m log_b a = log_b a ^m, где a
> 0; b > 0, b 1; m
R.

Пример 1. Решить уравнение log₆ (x — 1)
= 2 — log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения
из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ (x — 1) + log₆ (5x + 3) = 2,

log₆ ((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее,
потенцированием, к уравнению

(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х =
-2,6; х = 3. Учитывая область определения
уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения,
решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом
интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна
логарифму частного, получим уравнение log₅ (x
+ 3) ² = 0. По определению логарифма (х + 3)
² = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2
посторонний корень.

Ответ. х = -4.

Пример 3. Решить уравнение log₂ (6 — x)
= 2 log₆ x.

Решение. На области определения 0 < x < 6
исходное уравнение равносильно уравнению 6 — x
= x², откуда х = -3, х = 2. Число х
= -3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog _a f(x) + Blog _b g(x)
+ C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае,
если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют
одинаковое основание. Для приведения логарифмов
к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 < x
< 2. Используя формулу (3), получим

Так как 3 = log₂8, то на области определения
получим равносильное уравнение (2-x)/(x-1) =
8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x >
1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя
формулу (4).

Ответ. х = 6.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x >
-1, x 0. Приведём
логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1)
? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть
уравнения. Получим (log ₃(x + 1)-1)² = 0,
откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.

Ответ. x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений,
которые введением новой переменной приводятся к
квадратным.

Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные
числа.

Пусть t = log_a f(x), t R. Уравнение примет
вид t² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a
f(x). Учитывая область определения, выберем
только те значения x, которые удовлетворяют
неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg ² x — lg
x — 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения —
интервал (0; ).Введём
новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t ² — t — 6 = 0.
Его корни t₁ = -2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x =
-2 или lg x = 3, х = 10 ^-2 или х = 10 ³.

Оба значения x удовлетворяют области
определения данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим
уравнение

Так как х < 0, то | x | = —x и
следовательно

Введём новую переменную t = log₃ (-x), t
принадлежит R. Квадратное уравнение t ²
— 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся
к первоначальной переменной log₃ (-x) = 2,
отсюда —х = 9, х = -9. Значение неизвестной
принадлежит области определения уравнения.

Ответ. х = -9.

 Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные
числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным
умножением обеих частей его на log_a f(x)
0.
Учитывая, что log_a f(x) log_f(x)
a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b),
получим уравнение

Замена log_a f(x)=t, t R приводит его к квадратному At²
+ Ct + B = 0.

Из уравнений log_a f(x)= t₁, log_b
f(x)= t₂ найдем значения x и
выберем среди них принадлежащие области
определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим
из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2)
0, получим

или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к
квадратному уравнению

t ² — t — 2 = 0, t₁ = -1, t₂ =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log₅ (x+2) = -1, x+2 = 1/5, x = -9/5,

log₅ (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения
уравнения.

Ответ: x = -9/5, x = 23.

в) log₂х — 2 log_х2 = -1

Решение:

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию,
получим

Обозначим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к
логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x)
к уравнению log_a f(x) = log_a g(x),
который возможен если f(x) >0, g(x)
>0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе
части уравнения по основанию a, затем
применим формулы логарифма степени и
произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение
относительно log_a x.

Пример. Решить уравнение 3^2log4 ^x+2=16x².

Решение. Область определения x >0.
Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Ответ: x = 1/4

Уравнения вида

Область определения уравнения — интервал (0, ).
Прологарифмируем обе части уравнения по
основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма
произведения

Введем новую переменную t=log_a x , t R. Решив квадратное
уравнение At² + (B-а)t-log_a C=0,
найдем его корни t₁ и t₂.
Значение x найдем из уравнений t₁ = log_a
x и t₂=log_a x и выберем
среди них принадлежащие области определения
уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >
0. Так как при х > 0 обе части уравнения
положительны, а функция y = log₃ t
монотонна, то

(1 + log₃ x) log₃ x = 2.

Введём новую переменную t, где t = log₃ x,
t R.

(1 + t) t = 2, t ² + t — 2 = 0, t₁
= -2, t₂ = 1.

log₃ x = -2 или log₃ x = 1,

x = 1/9 или х = 3.

Ответ. х = 1/9; х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >1.
Обе части уравнения положительны,
прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма
частного:

Введем новую переменную t=log₂x,
получим квадратное уравнение t² — 3t +
2 = 0,

t₁ = 2, t₂ = 1, тогда log₂ x =
2 или log₂ x =1.

Ответ. x = 4, x = 2.

1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) —
2 = ¹/₂lq(2x -3) — lq25

2) log_0,5(log₄(1/х)) + log₄(log₂(16х²))
=0

3) Пусть (х₀;y₀) — решение системы
уравнений

Найти x₀ +y₀

Решение:

x₀ +y₀ =1,8+1,1=2,9

Ответ: 2,9.

4) Пример .Решите систему уравнений

у-1оg₃х = 1,

х^y=3¹².

Решение. Решим эту систему методом перехода
к новым переменным:

u = у, v = -1оg₃х.

Заметим, что x>0 и у R
является областью определения данной системы.

Логарифмируя обе части второго уравнения по
основанию 3, получим:

у 1оg₃ х = 12 или у(- 1оg₃х) = -12.

u + v = 1,

Итак,

u v = -12.

Тогда по обратной теореме Виета переменные и
и v являются корнями квадратного уравнения

z² -z-12 = 0

Следовательно, решения данной системы найдем
как множество решений совокупности двух систем
а) и б):

а) б)

Решениями указанных систем являются
соответственно пары (27;4), (; -3).

Ответ: (27; 4), (; -3).

5) Пример. Решите систему уравнений

ху = 2⁴

1оg₂² х + 1оg₂² y = 10.

Решение.

Перейдем к новым переменным:

1оg ₂ х = и,

x = 2^u>0, 1оg₂ у = v, у = 2^v >0.

В новых переменных данная система имеет вид:

Следовательно, и и v являются корнями
квадратного уравнения :

z ²-42 + 3 = 0

Отсюда следует, что достаточно решить систему

 

Другое решение найдем из-за симметричности х и
у, т. е. если (х; y) — решение, то (у; х) также
является решением.

Ответ: (2; 8), (8; 2).

5. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Вычислите значение выражения: 11-3log₃

2. Решите уравнения:

а) lg(x+3)=2lg2-lgx

б) log ₇36-log₇(3x-12)=log₇ 4

3.Решите систему уравнений :

 2 вариант

1. Вычислите значение выражения: 13-3log₂

2. Решите уравнения:

а) 9 log ₃x-x²log ₃x=0

б) log₅ (8-24x)-log ₅8=log ₅7.

3. Решите систему уравнений:

6.Подведение итогов урока:

Учитывая контингент учащихся данного класса,
можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся
усвоили материал по данной теме.

Выставление оценок.

7. Домашнее задание:

Решите уравнения:

Приложение