Говорят, что задание 18 Профильного ЕГЭ по математике (на числа и их свойства) решить невозможно. Но это не так. Можно научиться! Можно сделать первый шаг – прочитать эту статью и узнать о секретах решения задачи 18.
Еще говорят, что это задача «на смекалку». Но и это не так. Дело не в загадочной «смекалке», а в знании определенных приемов, ключиков, хитрых инструментов. Некоторые из них вы сейчас увидите. Пусть это будет первое знакомство с нестандартными, ни на что не похожими задачами на числа и их свойства.
4. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 5 дней?
б) Могло ли это произойти за 9 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?
Пусть в первый день Маша делает х фотографий, а Наташа у фотографий.
На второй день: Маша 
, а Наташа 
фотографию.
В n-ный день Маша сделает 
, а Наташа 
фотографию.
По условию, число фотографий, которые ежедневно делает Маша, образует арифметическую прогрессию с разностью 1. Число Наташиных фотографий также образует арифметическую прогрессию. Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии:
За n дней Маша сделает 
, а Наташа 
фотографий. Разность этих величин 
Мы получили, что 
.
а) Случай n = 5 возможен. Это значит, что то 
. Каждый день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша.
б) Случай n = 9 невозможен. Уравнение 
не имеет целых решений, поскольку 935 не делится на 9.
Это один из приемов решения нестандартных задач. Часто мы получаем уравнение с двумя (тремя, четырьмя…) переменными. Помогает то, что эти переменные – натуральные. Мы внимательно смотрим на полученное уравнение. Если его левая часть положительна, то и правая должна быть положительна. Если левая четна, то и правая должна быть четна. Если левая часть кратна 9, то и правая часть должна быть кратна 9.
в) В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий.
Еще один лайфхак. В задачах на числа и их свойства строгие неравенства лучше заменять нестрогими:
.
Найдем, какое максимальное количество фотографий могла при этом сделать Наташа.
У нас есть единственное уравнение:
. Поскольку 
– целое, n должно быть делителем числа 935. Разложим 935 на множители: 935 = 5∙11∙17.
Числа 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 – делители числа 935.
При этом 
невозможно, поскольку по условию .
Составим таблицу для значений n, равных 1, 5, 11 и 17.
 |
 |
 |
 |
Количество фотографий,сделанных Наташей за дней: |
|---|---|---|---|---|
| 1 |  |
935 |  |
 |
| 5 |  |
187 |  |
 |
| 11 |  |
85 |  |
 |
| 17 |  |
55 |  |
 |
Количество фотографий, которые могла сделать Наташа, не превышает 1632. Если 
, то 
.
Ответ: 1632.
Посмотрите, как мы действовали. Сначала сделали «заготовку» для всех трех пунктов. Да, такой прием тоже часто применяется в нестандартных задачах.
Получили уравнение . Из одного этого уравнения (как в сказке про суп из топора) мы получаем всё, что нам нужно. В пункте (в) есть перебор вариантов, но не хаотичный, а умный. Иначе перебирать варианты можно бесконечно.
Вот еще одна задача на числа и их свойства:
2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа A за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа B будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа B входит на 7 человек
меньше, чем в автобус типа A?
Помните, как мы решали текстовые задачи? Мы записывали данные задачи в таблицу. Сделаем так же.
| Тип автобуса | Сколько автобусов | Сколько рейсов | Сколько человек в автобусе |
|---|---|---|---|
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же.
Оно равно 
. Отсюда 
.
Выразим одну из переменных через другую: 
Мы видим, что переменная n и в числителе, и в знаменателе дроби. Оценить m трудно, правда? Чтобы проще было это сделать, выделим в дроби 
целую часть.
Еще один прием решения нестандартных задач – выделение целой части. Это помогает сделать оценку какой-либо величины.
.
Поскольку m – натуральное число (количество школьников в автобусе типа В), выражение в правой части также должно быть целым положительным. Значит, 42 делится на 
без остатка.
Выпишем делители числа 42. Это 1; 2; 3; 6: 7; 14; 21; 42.
Заполним таблицу. Значения m вычисляем по формуле 
, а общее количество школьников – как 
.
 |
|
|
Общее количество школьников |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 56 | 504 |
| 2 | 5 | 35 | 420 |
| 3 | 6 | 28 | 420 |
| 6 | 9 | 21 | 504 |
| 7 | 10 | 20 | 540 |
| 14 | 17 | 17 | 816 |
| 21 | 24 | 16 | 1104 |
| 42 | 45 | 15 | 1980 |
Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно 1980.
Конечно, мы выбирали довольно простые задачи. И конечно, есть и другие приемы их решения.
Например, метод «Оценка плюс пример». Мы разбираем множество нестандартных задач на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике, задание 18. Секреты решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
- Начать заниматься бесплатно.
Купить доступ к этой задаче в составе
экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.
16 февраля 2022
В закладки
Обсудить
Жалоба
Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором.
Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Для того чтобы продвинуться в его решении, не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, однако необходимо проявить определённый уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе. Ответ на первый вопрос задачи по силам большинству успевающих учеников, главное здесь — не испугаться условия, дочитать его до конца и немного подумать.
Успешность решения задания 18 (ранее 21 или 19) в ЕГЭ 2011-2020 гг.
Доля выпускников, приступивших к выполнению этого задания вариантов ЕГЭ в 2011—2021 гг., в среднем составляет 12—15% от общего числа сдающих. В таблице указан процент выпускников, получивших в разные годы за выполнение этого задания от 1 до 4 баллов.
Общность всех формулировок заданий №18 последних лет
С 2010 года вариант ЕГЭ по математике содержит четырёхбалльное задание С7 (в этом году №18) олимпиадного характера. Большую долю среди задач, уже использованных в вариантах экзамена, составляют задачи на последовательности (чисел, ходов, наборов чисел и т.д.)
Характерной особенностью подобных задач является исследование элементов заданной последовательности следующего вида:
а) на наличие элемента, обладающего заданным свойством;
б) подсчёт количества элементов, обладающих заданным свойством;
в) оценка (наибольшего или наименьшего значения) либо количества элементов, обладающих заданным свойством, либо некоторой числовой характеристики заданных элементов;
г) приведение примера, подтверждающего полученную оценку (подразумевается, но в условии не формулируется!).
→ zadanie_18m.pdf
→ Пособие по теме.
Автор: Прокофьев Александр Александрович.
Мы знаем, что в ЕГЭ по математике вторая часть кажется значительно сложнее первой. Но особенно много вопросов вызывает задание №18. Многие думают, что решить его под силам только олимпиадникам.
Но так ли это?
Давай попробуем разобраться, почему эта задача кажется такой необычной и сложной. А еще разберемся, как ее решать!
Формат задачи
По формату задача абсолютно стандартная. Она состоит из нескольких пунктов, за каждый из которых можно получить баллы. Давай посмотрим подробнее:
Пункт А
В этой части задачи в большинстве случаев надо дать ответ на вопрос о возможности или невозможности какой-то ситуации. Если ты отвечаешь, что ситуация возможна, значит, ты можешь подтвердить ее каким-то примером.
Кстати, чаще всего эта часть решается довольно легко. Найти пример не составит труда.
Главное — не торопиться и внимательно прочитать условие задачи!
Пункт Б
Этот пункт очень схож с пунктом А. Но очень часто решение пункта Б сводится к тому, что ситуация невозможна. И тебе остается только это доказать. Но не забудь, что невозможность ситуации доказывается в общем виде, а не на конкретном примере.
А как доказать? Обычно такое доказывается с помощью рассмотрения оценок, делимостей, ограничений и т.д.
Но это только звучит сложно и страшно. Если немного потренироваться, ты научишься очень быстро решать такие задачи.
Пункт В
Последний пункт чуть-чуть посложнее, но и получить за него можно 2 балла! С наибольшей вероятностью в пункте В нужно будет найти наименьшее или наибольшее значение величины, связанной с условием задачи.
Тебе нужно будет сделать оценку на искомую величину и привести пример, когда эта оценка выполняется. За каждый правильно выполненный шаг ты получишь по 1 баллу.
Алгоритм решения задачи
К сожалению, эту задачу не получится решить, подобрав типовой алгоритм. Тут придется поразмышлять. Но от этого интереснее!
Мы подготовили для тебя подборку тем, которые пригодятся тебе для решения №18.
Разбирая задание №18, ты потренируешь свой мозг и научишься решать нестандартные задачи.
Если ты переживаешь, оставь эту задачку напоследок. Решишь ее, когда останется время.
Ну а раз ты здесь, значит, ты хочешь получить высокие баллы и максимально в этом заинтересован!
И мы знаем, что у тебя все получится!
2022-03-21 17:59
ЕГЭ
Математика
Блок 1. Введение
| 1.1 | Решите уравнения с параметром а: а) ax = − 5; б) (a−1)x = −3; в) (a−2)x = 2−a г) (a−2)x = (a−2)(a+3) |
Смотреть видеоразбор |
| 1.2 | Определите при каких значениях параметра а: а) уравнение |x| = a−3 имеет один корень; б) уравнение |x| = a2−5 не имеет корней. |
Смотреть видеоразбор |
| 1.3 | Функция задана формулой y=x^2+ax+b. Найдите a и b, если: а) график функции проходит через точки (0;3) и (-1;8); б) наименьшее значение, равное −4, функция принимает при x = 1 |
Смотреть видеоразбор |
Блок 2. Координатно-параметрический метод
| 2.1 | Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение frac{|3x|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0 имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 2.2 | Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений begin{cases} frac{xy^2-3xy-3y+9}{sqrt{x+3}}=0 \ y=ax end{cases} имеет ровно два различных решения | Смотреть видеоразбор |
| 2.3 | Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение frac{x^2-4x+a}{5x^2-6ax+a^2} = 0 имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 2.4 | Найти все значения а, при каждом из которых уравнение sqrt{3x-2} cdot ln(x-a) = sqrt{3x-2} cdot ln(2x+a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] | Смотреть видеоразбор |
| 2.5 | Найти все значения а, при каждом из которых уравнение (4^x-3 cdot 2^x + 3a — a^2)cdotsqrt{2-x} = 0 имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 2.6 | Найти все действительные значения величины h , при которых уравнение x(x+1)(x+h)(x+1+h) = h^2 имеет 4 действительных корня | Смотреть видеоразбор |
Блок 3. Преобразование графиков
| 3.1 | Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 2ax+|x^2-8x+7| больше 1 | Смотреть видеоразбор |
| 3.2 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (|x-2|+|x+a|)^2-7(|x-2|+|x+a|)-4a(4a-7) = 0 имеет ровно два корня | Смотреть видеоразбор |
| 3.3 | Максимальное значение выражения x + 2y при условии log_{frac{x^2+y^2}{2}}ay ge 1 равно 4. Чему равно положительное значение параметра a? | Смотреть видеоразбор |
| 3.4 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение f(x) = |a+2|sqrt[3]{x} имеет 4 решения, где f — чётная периодическая функция с периодом T=frac{16}{3}, определённая на всей числовой прямой, причём f(x)=ax^2, если 0 le x le frac{8}{3} | Смотреть видеоразбор |
Блок 4. Системы с параметром
| 4.1 | Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система begin{cases} (|x|-5)^2+(y-4)^2=9 \ (x+2)^2+y^2=a^2 end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 4.2 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} frac{(y^2-xy-4y+2x+4)sqrt{x+4}}{sqrt{5-y}} \ a=x+y end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 4.3 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} (x-2a+3)^2+(y-4)^2=2,25 \ (x+3)^2+(y-a)^2=a^2+2a+1 end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 4.4 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ((x-5)^2+(y-3)^2-9)((x-2)^2+(y-1)^2) le 0 \ y=ax+a+3 end{cases} не имеет решений | Смотреть видеоразбор |
Блок 5. Квадратичная функция
| 5.1 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2+ax+1}{x^2+x+1}| lt 3 выполняется при всех значениях x | Смотреть видеоразбор |
| 5.2 | При каких значениях p вершины парабол y=-x^2+2px+3 и y=x^2-6px+p расположены по разные стороны от оси x? | Смотреть видеоразбор |
| 5.3 | Найти все значения a, при каждом из которых f(x)=x^2-|x-a^2|-5x имеет хотя бы одну точку максимума | Смотреть видеоразбор |
| 5.4 | Найдите все значения параметра a при каждом из которых множество значений функции y=frac{3x+3-2ax}{x^2+2(2a+1)x+4a^2+4a+2} содержит отрезок [0;1] | Смотреть видеоразбор |
| 5.5 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{5a-15x+ax}{x^2-2ax+a^2+25} содержит отрезок [0;1] | Смотреть видеоразбор |
| 5.6 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2+x-2a}{x+a}-1| le 2 не имеет решений на интервале (1;2) | Смотреть видеоразбор |
| 5.7 | Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение frac{a^3-(x+2)a^2+xa+x^2}{a+x} = 0 имеет ровно один корень | Смотреть видеоразбор |
| 5.8 | Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{cos{x}-a}{cos{2x}-4}содержит число −2 | Смотреть видеоразбор |
| 5.9 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4cos{x}-3-a)cos{x}-2,5cos{2x}+1,5=0 имеет хотя бы один корень | Смотреть видеоразбор |
| 5.10 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4^{|x|}=frac{7a}{a-5}cdot 2^{|x|}-frac{12a+17}{a-5} имеет ровно два различных корня | Смотреть видеоразбор |
| 5.11 | Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства frac{a-(a^2-2a-3)cos{x}+4}{sin^2{x}+a^2+1} lt 1 содержит отрезок [-frac{pi}{3}; frac{pi}{2}] | Смотреть видеоразбор |
Блок 6. Расположение корней квадратного уравнения
| 6.1 | Найти все значения параметра a, при которых разность между корнями уравнения x^2+3ax+a^4=0 максимальна | Смотреть видеоразбор |
| 6.2 | Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log_{1-x}(a-x+2) = 2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (-1;1] | Смотреть видеоразбор |
Блок 7. Аналитический метод
| 7.1 | При каких значениях а корни уравнения |x-a^2|=-a^2+2a+3 имеют одинаковые знаки? | Смотреть видеоразбор |
| 7.2 | Найти все значения параметра а, при которых неравенство x^2+2|x-a| ge a^2 справедливо для всех действительных x | Смотреть видеоразбор |
| 7.3 | Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |sin^2{x}+2cos{x}+a|=sin^2{x}+cos{x}-a имеет на промежутке (frac{pi}{2};pi] единственный корень | Смотреть видеоразбор |
| 7.4 | Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (x^2-4ax+a(4a-1))^2-3(x^2-4ax+a(4a-1))-|a|(|a|-3)=0 имеет более двух корней | Смотреть видеоразбор |
Блок 8. Функциональные методы
| 8.1 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7| имеет единственный корень | Смотреть видеоразбор |
| 8.2 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ax^2+4ax-8y+6a+28 le 0 \ ax^2-6ay-8x+11a-12 le 0 end{cases} имеет ровно одно решение | Смотреть видеоразбор |
| 8.3 | Найдите все значения параметра alpha из интервала (0; pi), при каждом из которых система begin{cases} x^2+y^2-4(x+y)sin{alpha}+8sin^2{alpha} = 2sin{alpha}-1 \ frac{x}{y}+frac{y}{x} = 2sin{alpha}+4sin^2{alpha} end{cases} имеет единственное решение | Смотреть видеоразбор |
| 8.4 | Найдите все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства 1 le frac{2a+x^2-4log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a+9)}{5sqrt{18x^4+7x^2}+2a+4+(log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a+9))} состоит из одной точки и найти это решение. | Смотреть видеоразбор |
| 8.5 | Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x^6+(a-|x|)^3+2x^2-|x|+a=0 имеет более трёх различных решений. | Смотреть видеоразбор |
| 8.6 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^10+(a-2|x|)^5+x^2-2|x|+a=0 имеет более трёх различных решений. | Смотреть видеоразбор |
| 8.7 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 64x^6-(a-3x)^3+4x^2+3x=a имеет более одного корня. | Смотреть видеоразбор |
| 8.8 | Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y , удовлетворяющих неравенству 5|x-2|+3|x+a| le sqrt{4-y^2}+7 | Смотреть видеоразбор |
| 8.9 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (log_7(2x+2a)-log_7(2x-2a))^2-8a(log_7(2x+2a)-log_7(2x-2a))+12a^2+8a-4 имеет ровно два корня. | Смотреть видеоразбор |
| 8.10 | Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^2-10a+5sqrt{x^2+25}=4|x-5a|-8|x| имеет хотя бы один корень | Смотреть видеоразбор |
| 8.11 | Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a+2)^2 cdot log_3(2x-x^2)+(3x-1)^2 cdot log_{11}(1-frac{x^2}{2})=0 имеет решение | Смотреть видеоразбор |
| 8.12 | При каких значениях параметра a уравнение ax^6=e^x имеет одно положительное решение? | Смотреть видеоразбор |
Блок 9. Разные задачи с параметром
| 9.1 | Найти все значения параметра a, при которых уравнение sqrt{1-(x^2-4x-a^2+2a+3)^6}+sqrt{1+(x^2-4x-a^2+2a+3)^6} = 2 имеет только один положительный корень | Смотреть видеоразбор |
| 9.2 | Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=2x^3-3ax^2+5 на отрезке, заданном неравенством |x-2| le 1, не меньше, чем −3 | Смотреть видеоразбор |
| 9.3 | Найдите все значения параметра b , при каждом из которых для любого a неравенство (x-a-2b)^2+(y-3a-b)^2 lt frac{1}{2} имеет хотя бы одно целочисленное решение (x, y). | Смотреть видеоразбор |
| 9.4 | Найти все a, при каждом из которых уравнение sqrt{a-9cos^4{x}}=sin^2{x} имеет решение | Смотреть видеоразбор |
| 9.5 | Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение 3x^2-12x+3a+9=4sin{frac{4x-x^2-a-3}{2}} cdot cos{frac{x^2-2x-a-1}{2}} имеет ровно два различных решения | Смотреть видеоразбор |
| 9.6 | Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число b>a, что неравенство 21b ge 6|a+b|-3|b-2|-|a-b|-9|a^2-b+2|+16 не выполнено | Смотреть видеоразбор |
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на интервале 
2
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
3
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
Пройти тестирование по этим заданиям
Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня
Характеристика задания 18 ЕГЭ профильный уровень
Спецификация КИМ
35
минут
2.1. Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.
2.2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков ; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод .
2.3. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы.
5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Что можно ожидать в качестве задания 18 на экзамене?
Критерии проверки задания №18
Как правило критерии пишутся под определенную задачу. Содержание может быть следующим.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но
4
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения (исключено одно-два верных значения);
С помощью верных рассуждений получен верный ответ для одной возможной в задаче ситуации
3
2
Задача сведена к исследованию:
– или решение недостаточно обосновано.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
1
– или взаимного расположения фигур на плоскости (прямых, окружностей и др.);
– или совокупности уравнений (неравенств) с параметром
0
Пример решения задания 18 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)
1
Основу решения составляет теорема о касающихся окружностях.
Алгебраический метод
Как правило, к алгебраическим методам относят методы решения уравнений, неравенств и систем с параметром при всех допустимых значениях параметра, основанные на алгебраических преобразованиях (равносильные переходы, замены, использование необходимых и достаточных условий) и применении формул и приемов для решения простейших уравнений (линейных, дробно-рациональных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических).
Алгебраический метод (теоремы о корнях квадратного трехчлена)
1 выполняется для любого значения х ? б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет решений? Ответ: а) 1 а б) – 1 ≤ а ≤ 7. 10 » width=»640″
● 13.46. При каких значениях параметра а
неравенство:
а) 9 x – 4 ( a – 1 ) . 3 x + a 1 выполняется для
любого значения х ?
б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет
решений?
Ответ: а) 1 а
б) – 1 ≤ а ≤ 7.
10
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена
10
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена
10
Алгебраический метод
1 8
Решение аналогичного примера участником экзамена.
10
10
Функциональный метод
Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике.
Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер.
Наиболее часто используются следующие свойства функций:
- свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса );
- свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;
- кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации );
- периодичность функций и др..
В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций .
10
ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)
10
Классификация задач,
решаемых функциональными методами
1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y = f ( x, a ) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от значений параметра a , принимающего допустимые числовые значения.
2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и при задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию на промежутке [ t ; t+ 2] при всех значениях t .
3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.).
4. Решение задач четвертого типа опирается на определение свойства функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум, …). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию).
Область значений функции
Полезно знать и уметь находить область значений функций на всей области определения и на отрезке.
1
2
3
4
5
Использование ограниченности функции Метод оценки (минимаксные задачи)
Идея метода минимаксов .
Иначе говоря, уравнение можно переписать в виде
min f ( x ) = max g ( x ) , то есть нужно найти такие значения чтобы они одновременно являлись точками минимума для функции и точками максимума для функции g ( x ) .
Поэтому подобные уравнения называют «минимаксными задачами».
Наиболее часто этот метод можно применить в случаях, когда функции, стоящие в левой и правой частях уравнения – разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая и т.д.)
Функциональный метод Метод оценки (минимаксные задачи)
Четность, нечетность функции
Функциональный метод ( монотонность функции)
Пример из пособия
О функционально-графическом методе решения задач с параметрами
В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств)
вида (1)
где символ заменяет один из знаков часто ставится вопрос исследовать (1) на: – наличие решений или их отсутствие, – единственность решения или наличие определенного количества решений, – наличие решений определенного типа и т.д.
Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения ( метод наглядной графической интерпретации ), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений .
Графиком функции y = f ( x ), x ∈ D ( f ) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида ( x, f ( x )), где x ∈ D ( f ) .
О функционально-графических методах решения задач с параметрами
Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений . В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода можно выделить два основных графических приема.
- Построение графического образа на координатной плоскости Oxy .
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
- построение графического образа на координатной плоскости Ox a .
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
24
Часто используемые семейства функций
Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций или уравнения и их графики.
1. Семейство линейных функций графики которых — прямые, проходящие через точку и имеющие угловой коэффициент, равный (« пучок прямых » – так обычно называют это семейство графиков).
2. Семейство функций , графики которых получаются из графика параллельным переносом на вектор
(семейство « уголков »).
3. Семейство окружностей с центром в точке , радиуса .
При решении уравнения (неравенства) вида на плоскости
строятся график функции (назовем его « неподвижным ») и прямые параллельные оси Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.
Соответствие формул и геометрических образов
ЕГЭ прошлых лет
Уравнение «пучка» прямых,
проходящих через точку (4; 2).
Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами
Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.
Плюсы графических методов :
- во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на
них и, соответственно, на решение изменение параметра;
- во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
- в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.
Минусы графических методов : при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.
Геометрический метод
Требуется знание соответствия формул и геометрических образов, и величин ( формулы расстояний между точками на прямой и на плоскости ).
Геометрический метод
Метод областей
1 8
ЕГЭ 2017
На помощь приходит производная
1 8
Комбинированный метод
1 8
ЕГЭ 2016
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
Задание №18 (тренировочная работа)
18
Задание №18 (ЕГЭ 2018)
18
34
Решение задание №18 (ЕГЭ 2018)
34
Подготовительные задания 18
34
34
Ответы к подготовительным заданиям 18
34
Зачетные задания 18
34
34
Ответы к зачетным заданиям 18
34
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
18
18
18
34
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
18
18
34