Решение кусочно линейной функции егэ

Каталог заданий
Задания 10. Графики функций. Кусочно-линейная функция

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

15
Сен 2022

Категория: 10 Графики функций

2022-09-15
2022-09-15

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Графики функций

Щёлкать мышкой не надо. Презентация с голосовым сопровождением и будет перелистываться сама

Кусочно-линейная функция

У

О

1

-1

X

m

-3

Общий вид уравнение линейной функции:

показывает угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох, т.к.

показывает ординату точки пересечения графика с осью Оу.

2

=

=

Пример

На рисунке изображён график функции вида

где числа  a ,  b ,  c  и  d  — целые. Найдите корень уравнения 

Решение

m 2

m 1

У

+

3

(2;1)

О

Х

— 5

+

Ответ: 1 .

4

У

Пример

На рисунке изображён график функции вида

где числа  a ,  b ,  c  и  d  — целые. Найдите корень уравнения 

3

О

Х

Решение

-5

Т.е.,

3) По рисунку составим уравнения прямых, содержащих куски графика.

Т.е.,

4) Сравнив две формулы из (2) и (3), получим две системы уравнений:

и

Используя их, можно найти любой нужный нам параметр.

5

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

Графики и формулы кусочно-линейных функций

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-infty lt t lt +infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 le t lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 le t lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 cdot 3+b Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_{back}+22 Rightarrow t_{back} = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 le t le 5,5.$

Получаем:

$$s(t) = {left{ begin{array}{c} 5t,0 le t lt 2 \ 10,2 le t lt 3 \ -4t+22,3 le t le 5,5 end{array} right.} $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

В общем случае:

Знак модуля в линейных функциях

По правилу раскрытия скобок модуля (см. §4 данного справочника)

$$ |x| = left[ begin{array}{cc} x, xge0 \ -x, x lt 0end{array} right.$$

Например:

$$ y = 2|x|+5 = {left{ begin{array}{c} -2x+5, xge0 \ 2x+5, x lt 0end{array} right.} $$

Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения — «и того, и другого» — вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

$$ y = |2|x|-1| = {left{ begin{array}{c} |-2x-1|, xlt0 \ |2x-1|,x ge 0 end{array} right.} = {left{ begin{array}{c} 2x+1, {left{ begin{array}{c} -2x-1 lt 0 \ x lt 0 end{array} right.} \ -2x-1, {left{ begin{array}{c} -2x-1 ge 0 \ x lt 0end{array} right.} \ -2x+1, {left{ begin{array}{c}2x-1 lt 0 \ x ge 0end{array} right.} \ 2x-1, {left{ begin{array}{c}2x-1 ge 0 \ x ge 0end{array} right.} end{array} right.}= $$

$$ = {left{ begin{array}{c} 2x+1, {left{ begin{array}{c} -2x lt 1 \ x lt 0 end{array} right.} \ -2x-1, {left{ begin{array}{c} -2x ge 1 \ x lt 0end{array} right.} \ -2x+1, {left{ begin{array}{c}2x lt 1 \ x ge 0end{array} right.} \ 2x-1, {left{ begin{array}{c}2x ge 1 \ x ge 0end{array} right.} end{array} right.}= {left{ begin{array}{c} 2x+1, {left{ begin{array}{c} x gt — frac{1}{2} \ x lt 0 end{array} right.} \ -2x-1, {left{ begin{array}{c} x le — frac{1}{2} \ x lt 0end{array} right.} \ -2x+1, {left{ begin{array}{c}x lt frac{1}{2} \ x ge 0end{array} right.} \ 2x-1, {left{ begin{array}{c}x ge frac{1}{2} \ x ge 0end{array} right.} end{array} right.}= {left{ begin{array}{c} -2x-1, x le — frac{1}{2} \ 2x+1, — frac{1}{2} lt x lt 0 \ -2x+1, 0 le x lt frac{1}{2} \ 2x-1, x ge frac{1}{2} end{array} right.} $$

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.