Решение первого задания егэ по математике профильный уровень 2022 - Exhelper.top

Новые задания №1 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня — простейшие уравнения.

Для успешного результата необходимо уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

Задание №1 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы

Источник: math100.ru

→ Рациональные уравнения

→ Иррациональные уравнения

→ Показательные уравнения

→ Логарифмические уравнения

→ Тригонометрические уравнения

time4math.ru

→ скачать задания

vk.com/ekaterina_chekmareva

→ задания

При отработке данного задания будут полезны книги:

Купить ЕГЭ 2022 Математика. 100 баллов. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств

Купить Математика: уравнения и неравенства. Подготовка к ЕГЭ: профильный уровень

Купить Показательные и логарифмические уравнения. ЕГЭ. Математика

Купить Методы решения тригонометрических уравнений. ЕГЭ. Математика

Связанные страницы:

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня

Решение 17 задания ЕГЭ по профильной математике

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике базового уровня

Купить сборники типовых вариантов ЕГЭ по математике

Задание 9 профильного ЕГЭ по математике. Практика

Источник

Каким был ЕГЭ по математике в 2022 году?

Мы знаем, что в 2022 году формат ЕГЭ по математике изменился. Поменялась нумерация заданий. Добавились новые задачи: №9 (Функции и графики) и № 10 (Теория вероятностей). И в первой части стало на 1 задачу меньше.

Во второй части ЕГЭ также произошли изменения.

«Экономическая» задача, которая теперь под № 15, оценивается уже не в 3, а только в 2 первичных балла.

А вот задача по стереометрии, №13, наоборот, «подорожала» и теперь оценивается в 3 балла.

Расскажем о заданиях 2 части ЕГЭ, задачах 13-18, а затем подробно разберем различные типы таких задач.
Задание 12, уравнения. Все стандартно, просто тригонометрия.

Задание 13, стереометрия. По сравнению с прошлыми годами сложность значительно выше. Здесь и теорема Менелая, и произвольная призма, и пересечение сфер.

Задача 14, неравенство. Все стандартно – показательное неравенство, замена переменной. Помним о секретах решения таких задач! Сделав замену, сначала полностью решаем неравенство для новой переменной, затем возвращаемся к первоначальной.

Задача 15, экономическая. В 2022 году были только кредиты и вклады. Обошлись без задач на оптимизацию.

Задача 16, планиметрия. Простые задания, без затей. Подобные треугольники, теорема косинусов, свойство биссектрисы треугольника, в общем, обязательная школьная программа по геометрии.

Задание 17, задачи с параметрами. Составители вариантов порадовали разнообразием: был и графический метод, и аналитический. И решение квадратных уравнений с параметрами. И в каждом задании присутствовали модули, так что кто эту тему не знает, надо повторить!

Изучить «параметры» с нуля можно с помощью Видеокурса Анны Малковой

Полный курс, 26 часов видео, 13 видеоуроков. 11 методов решения задач с параметрами.

И наконец, задание 18, задачи на числа и их свойства. Все типы заданий – новые, нестандартные. Числа на круге, использование делимости и остатков.

Освоить эту необычную задачу можно с помощью видеокурса Анны Малковой.

Полный курс, 10 видеоуроков по 2 часа. 11 методов решения задач на числа и их свойства.

А теперь подробно о каждом задании ЕГЭ-2022, 2 часть.

Уравнения на EГЭ -2022 по математике, задача 12

Cтереометрия на EГЭ-2022 по математике, задача 13

Hеравенства на EГЭ-2022 по математике, задача 14

Экономические задачи и финансовая математика на ЕГЭ-2022, задача 15

Планиметрия на EГЭ-2022 по математике, задача 16

Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения

Задача 18 на числа и их свойства на ЕГЭ-2022 по математике

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «ЕГЭ-2022, математика. Все задачи с решениями» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Решение и ответы заданий Варианта №1 из сборника ЕГЭ 2022 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко. ГДЗ Решебник профиль для 11 класса. Полный разбор. Ответы с решением.

Задание 1.
Найдите корень уравнения 4^5х+2 = 0,8·5^5х+2.

Задание 2.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Задание 3.
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC = 10, высота AH равна √51. Найдите косинус угла ACB.

Задание 4.
Найдите значение выражения frac{5sin61^{circ}}{sin299^{circ}}.

Задание 5.
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задание 6.
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Задание 7.
При температуре 0°С рельс имеет длину l₀= 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(𝑡°) = l₀(1 + α∙t°), где α = 1,2∙10⁻⁵(°С )⁻¹ – коэффициент теплового расширения, t° – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Задание 8.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в А. Ответ дайте в км/ч.

Задание 9.
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax² + bx + c, где числа a, b и c – целые. Найдите значение f(−5).

Задание 10.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Задание 11.
Найдите наименьшее значение функции y = frac{4}{3}x√x – 3x + 9 на отрезке [0,25; 30].

Задание 12.
а) Решите уравнение 2sin³(π + x) = frac{1}{2}cos(x – frac{3pi }{2}).
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-frac{7pi }{2};-frac{5pi }{2}].

Задание 13.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра SА. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет frac{3}{4} площади треугольника SBC
б) Найдите объем пирамиды KBCPQ.

Задание 14.
Решите неравенство (4^х – 5·2^х)² – 20(4^х – 5·2^х) ≤ 96.

Задание 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат до полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Задание 16.
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.

а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD = 6, АЕ = √6.

Задание 17.
Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение

|x^{2}-a^{2}|=|a+x|cdot sqrt{x^{2}-4ax+5a}

имеет ровно один корень.

Задание 18.
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2022. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.1 / 5. Количество оценок: 17

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

Источник

Задание 1

1.1	Найдите корень уравнения 3^{x-5}=81.	Смотреть видеоразбор
1.2	Найдите корень уравнения sqrt{3x+49}=10.	Смотреть видеоразбор
1.3	Найдите корень уравнения log_8(5x+47)=3.	Смотреть видеоразбор
1.4	Решите уравнение sqrt{2x+3}=x.	Смотреть видеоразбор

Задание 2

2.1	В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.	Смотреть видеоразбор
2.2	Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?	Смотреть видеоразбор

Задание 3

3.1	Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.	Смотреть видеоразбор
3.2	Площадь треугольника ABC равна 24; DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.	Смотреть видеоразбор
3.3	В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.	Смотреть видеоразбор
3.4	Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.	Смотреть видеоразбор

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

7.1

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

v=c cdot frac{f-f_0}{f+f_0}

где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀ – частота испускаемого сигнала (в МГц), f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Смотреть видеоразбор

Задание 8

8.1	Весной катер идёт против течения реки в 1 frac{2}{3} раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 frac{1}{2} раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).	Смотреть видеоразбор
8.2	Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?	Смотреть видеоразбор
8.3	Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?	Смотреть видеоразбор

Задание 9

9.1

На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2+bx+c=0, где числа a, b, c — целые. Найдите значение f(-12).

Смотреть видеоразбор

Задание 10

10.1	Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?	Смотреть видеоразбор
10.2	В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».	Смотреть видеоразбор

Задание 11

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 80.6%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $cos A={3} / {5}$
(см. рис.). Найдите $AB$.

Решение

$sin A = {BC}/{AB}$.

$sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 — {9}/{25}} = {4}/{5}$.

${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.

Ответ: 8.75

Задача 2

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

Ответ: 122

Задача 3

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$.

Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° — 48° = 132°$.

Ответ: 132

Задача 4

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Ответ: 146

Задача 5

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

Ответ: 60

Задача 6

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AB = 180°$, а $︶MB = 180° — 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Ответ: 76

Задача 7

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

Ответ: 58

Задача 8

В треугольнике $ABC$ равны боковые стороны $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$,
$sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

Решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$.

Из $△AHB: HB = √{AB^2 — AH^2} = √{225 — 81} = √{144} = 12$.

Ответ: 12

Задача 9

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.

Решение

В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.

Ответ: 10

Задача 10

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

Решение

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

Ответ: 24.75

Задача 11

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.

Решение

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$

$AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB$

$S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$

Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$

Отсюда, $224 = 2x · 7x$

$224 = 14x^2$

$x^2 = {224}/{14}$

$x^2 = 16$

$x = 4$

Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.

Ответ: 72

Задача 12

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.

Решение

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда
$48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и
$AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

Ответ: 28

Задача 13

Площадь прямоугольника равна $22$. Найдите его большую сторону, если она на $9$ длиннее меньшей стороны.

Решение

$S_{ABCD} = AB·CB$.

Обозначим большую сторону через $x$, тогда меньшая сторона $x — 9$. Итак, $22 = x(x — 9)$

$ x^2 — 9x — 22 = 0$

$D = 81 + 88 = 169 = 13^2$

$ x = {9±13}/{2}$

$ x_1 = 11$

$ x_2 = -2$ (не подходит).

Ответ: 11

Задача 14

Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.

Решение

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ — высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.

$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {15 — 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.

Ответ: 2

Задача 15

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Решение

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.

$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {14 — 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

Ответ: 1.75

Задача 16

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

Решение

$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$.

Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$;

$AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.

Ответ: 12

Задача 17

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.

Решение

Рассмотрим ромб $ABCD$.

$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

$S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.

Ответ: 40

Задача 18

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.

$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

Ответ: 36

Задача 19

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

Ответ: 12.25

Задача 20

Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Решение

Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений:
${{table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$

Из первого уравнения системы: $x+y=14$

$y=14-x$.

Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим:

$x(14-x)=48$

$x^2-14x+48=0$

$x_1=8$

$x_2=6$

Тогда $y_1=14-8=6$

$y_2=14-6=8$

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.

Ответ: 6

Задание 1

Найдите корень уравнения $$4^{5x+2}=0,8cdot 5^{5x+2}$$

Ответ: -0,2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 2

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Ответ: 0,25

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3

В тупоугольном треугольнике АВС известно, что АС=ВС=10, высота АН равна $$sqrt{51}$$. Найдите косинус угла АСВ.

Ответ: -0,7

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{5sin 61^{circ}}{sin 299^{circ}}$$

Ответ: -5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 72

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 6

На рисунке изображён график y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7

При температуре 0°C рельс имеет длину l₀=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $$l(t_{0})=l_{0}(1+alpha cdot t^{circ})$$, где $$alpha=1,2cdot 10^{-5}$$(°C) — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 50

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 17,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9

На рисунке изображён график функции $$f(x)=ax^{2}+bx+c$$, где числа a,b и с — целые. Найдите $$f(-5)$$.

Ответ: 72

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 10

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стёкол, вторая — 70%. Первая фабрика выпускает 5 % бракованных стёкол, а вторая — 4 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,043

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=frac{4}{3}xsqrt{x}-3x+9$$ на отрезке $$[0,25;30]$$.

Ответ: 6,75

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 12

а) Решите уравнение $$2sin^{3}(pi+x)=frac{1}{2}cos (x-frac{3pi}{2})$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{7pi}{2};-frac{5pi}{2}]$$

Ответ: а) $$pi k;pm frac{pi}{6}+pi n, k,n in Z$$ б) $$-frac{19pi}{6};-3pi;-frac{17pi}{6}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет $$frac{3}{4}$$ треугольника SBC.

б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.

Ответ: $$80sqrt{3}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 14

Решите неравенство: $$(4^{x}-5cdot 2^{x})-20(4^{x}-5cdot 2^{x})leq 96$$

Ответ: $$(-infty;0];[2;3]$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 15

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Ответ: 600 тыс. руб.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 16

Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём АЕ=ED=CD, а прямые АС и BE перпендикулярны. Отрезки АС и BD пересекаются в точке Т.

а) Докажите, что прямая ЕС пересекает отрезок TD в его середине.

б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD=6, $$AE=sqrt{6}$$

Ответ: $$frac{8sqrt{}5}{3}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 17

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|x^{2}-a^{2}|=|x+a|cdot sqrt{x^{2}-4ax+5a}$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$-5;(0;1)$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 18

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?

в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?

Ответ: а)да б)нет в)97

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Источник

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Задание 15

Задание 16

Задание 17

Задание 18

Новое и интересное на сайте: