Решение текстовых задач на движение на егэ - Exhelper.top

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

на больше ;
в пять раз больше ;
на меньше, чем ;
меньше в раза;
на меньше, чем ;
частное от деления на в полтора раза больше ;
квадрат суммы и равен ;
составляет процентов от ;
больше на процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте!

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы

Итак, правильные ответы:

больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .
меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.
Мы помним, что .
Если принять за , то на процентов больше, то есть .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна x+40 .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и x+40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}$ . Для велосипедиста получим $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}$ , для автомобилиста $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}$ .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:


велосипедист		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}$
автомобилист		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}$

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что t_1 на четыре больше, чем t_2 , то есть

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40}+4=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x}.$

Решаем уравнение.

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x} - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50}{displaystyle x + 40} = 4.$

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на x+4 , вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50left( x+40 right)-50x}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4;$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 50x+2000 -50x}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4;$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2000}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=4.$

Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 500}{displaystyle xleft( x + 40 right)}=1.$

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле $x_{1,2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle -b pm sqrt{D}}{displaystyle 2a}.$

В нашем уравнении a=1 , b=40 , c=-500 .

Найдем дискриминант и корни:

x_1=10 , x_2=-50 .

Ясно, что x_2 не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна x+3 . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}$ , на путь из в велосипедист затратит время $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}$ , а на обратный путь время $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}$ .


туда		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}$
обратно		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}$

На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.

Значит, t_2 на три меньше, чем t_1 . Получается уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3}+3=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x}.$

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x} - genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70}{displaystyle x + 3} = 3.$

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 70left( x+3 right) - 70x}{displaystyle xleft( x+3 right)}=3;$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 210}{displaystyle xleft( x+3 right)}=3.$

Разделим обе части уравнения на

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle70}{displaystyle xleft( x+3 right)}=1.$

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен .

Найдем корни уравнения:

x_1=7 . Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: .

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна x+1 , а скорость, с которой она движется против течения x-1 .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}$ , при движении против течения $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}$ , причем t_2 на два часа больше, чем t_1 .


по течению		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}$
против течения		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}$

Условие « t_2 на два часа больше, чем « t_1 » можно записать в виде:

Составляем уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}+2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}$

и решаем его:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x-1}-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x+1}=2.$

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255left( x+1 right)-255left( x-1 right)}{displaystyle left( x+1 right)left( x-1 right)}=2.$

Раскрываем скобки:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 510}{displaystyle x^2-1}=2.$

Делим обе части на , чтобы упростить уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 255}{displaystyle x^2-1}=1.$

Умножаем обе части уравнения на x^2-1:

Вообще-то это уравнение имеет два корня: x_1=16 и x_2=-16 (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256 ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: .

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15+x , скорость его движения против течения равна 15-x . Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle S}{displaystyle v}$ , время t_1 движения теплохода по течению равно $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}$ , которое теплоход затратил на движение против течения, равно $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}$ .


по течению		$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}$
против течения		$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}$

В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15+x}+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 200}{displaystyle 15-x}=30.$

Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 20}{displaystyle 15+x}+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 20}{displaystyle 15-x}=3.$

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 255-x^2 , получаем квадратное уравнение x^2=25 . Поскольку скорость течения положительна, получаем: x=5 .

Ответ: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в 10:00 вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в 16:00 . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7+x , а против течения со скоростью 7-x .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут $=1genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}$ часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно $4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}$ часа.


по течению
против течения

$t_1+t_2=4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}.$

Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем!
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма t_1+t_2 , равная $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7+x}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7-x}$ .

Итак, $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7+x}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15}{displaystyle 7-x}=4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}.$

Решим это уравнение. Число $4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}$ в правой части представим в виде неправильной дроби: $4genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 14}{displaystyle 3}$ .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

$30 cdot 7=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 14}{displaystyle 3} cdot left( 49-x^2 right).$

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:

x^2=4.

Поскольку скорость течения положительна, x=2 .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на движение»

Открытый банк заданий по теме задачи на движение. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1105

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути frac{21}{x+3}ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути frac{21}{x}ч. Разница во времени равна 10 мин = frac16часа.

Составим и решим уравнение: frac{21}{x}-frac{21}{x+3}=frac16,

6(21(x+3)-21x)=x(x+3),

x^2+3x-378=0,

x_1=18, x_2=-21.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1101

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 — x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — frac{160}{15-x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{160}{15-x}-frac{160}{15+x}=8,

frac{20}{15-x}-frac{20}{15+x}=1,

20(15+x-15+x)= (15-x)(15+x),

20cdot2x=225-x^2,

40x=225-x^2,

x^2+40x-225=0,

x_1=5, x_2=-45.

Скорость течения положительна, она равна 5 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1100

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость второго мотоциклиста через x км/ч, тогда по условию скорость первого мотоциклиста (x + 40) км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первым мотоциклистом, равно frac{171}{x+40} ч. Время, затраченное на прохождение всего пути вторым мотоциклистом, равно frac{171}{x} ч.

Составим и решим уравнение:

frac{171}{x}-frac{171}{x+40}=2,5,

171(x + 40) — 171x = 2,5x(x + 40),

171x+171cdot40-171x = 2,5x^2 + 100x,

2,5x^2+100x-171cdot40 =0,

x^2+40x-171cdot16=0,

x_1 = 36, x_2 = -76.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго мотоциклиста

36 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1096

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Товарный поезд имеет длину 1100 метров. Какова длина пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минуты 6 секунд. Ответ дайте в метрах.

Показать решение

Решение

Скорость пассажирского поезда относительно товарного равна 80-50=30 (км/ч) = frac{30000}{60} (м/мин) =500 (м/мин). Обозначим длину пассажирского поезда через x метров, тогда пассажирский поезд пройдёт мимо товарного поезда расстояние, равное (1100 + x) метров, за 3 мин 6 сек (3 мин 6 сек = 3,1 мин).

Составим и решим уравнение:

frac{1100+x}{3,1}=500,

1100+x=500cdot3,1,

x=1550-1100,

x=450.

Длина пассажирского поезда 450 м.

Ответ

450

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1095

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо семафора за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Тогда время, за которое поезд проезжает мимо семафора, равно frac{x}{60}ч. По условию это 45 секунд, то есть frac{45}{3600}ч.

frac{x}{60}=frac{45}{3600},

x=frac{60cdot45}{3600},

x=0,75 (км).

Длина поезда равна 750 м.

Ответ

750

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1094

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна 150 метров, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Показать решение

Решение

Обозначим длину поезда x км. Длина здания равна 150 метров, то есть 0,15 км. Путь, который поезд проехал мимо здания вокзала, равен (x+0,15) км. Время, за которое поезд проезжает мимо здания вокзала, равно frac{x+0,15}{63}ч. По условию это 1 минута (1 мин = frac{1}{60} часа).

оставим и решим уравнение: frac{x+0,15}{63}=frac{1}{60},

x=0,9 (км).

Длина поезда равна 900 м.

Ответ

900

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1093

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?

Показать решение

Решение

Обозначим время велосипедистов до встречи через x ч. Тогда первый велосипедист до встречи проедет 18x км, а второй велосипедист проедет до встречи 22x км.

Составим и решим уравнение:

8x + 22x = 88, 40x = 88, x = 2,2.

Велосипедисты встретятся через 2,2 часа.

Ответ

2,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №945

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость движения теплохода в воде без течения равна 15 км/ч. Стоянка длилась 7 часов. Найдите скорость течения реки, если в пункт отправления теплоход вернулся через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения через x км/ч, тогда скорость теплохода по течению реки равна (15+x) км/ч, скорость теплохода против течения (15-x) км/ч. Время движения теплохода равно 37-7=30 ч.

Составим и решим уравнение:

frac{221}{15+x}+frac{221}{15-x}=30,

221(15-x+15+x)=30(15-x)(15+x),

221=225-x^2,

x^2=4,

x_1=2,,x_2=-2.

Скорость течения положительна, она равна 2 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №944

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость велосипедиста на пути от A до B через x км/ч, x>0. Тогда его скорость на обратном пути будет (x+6) км/ч. Время, затраченное велосипедистом на путь от A до B, равно frac{288}{x}ч, время движения на обратном пути frac{288}{x+6}ч.

Составим и решим уравнение:

frac{288}{x}-frac{288}{x+6}=4,

288(x+6-x)=4x(x+6),

72cdot6=x^2+6x,

x^2+6x-432=0,

x_1=18,,x_2=-24.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №943

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение

Условие

Из пункта A в пункт B одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт B обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость первой машины через x км/ч, путь от A до B s км, тогда путь от пункта A в пункт B она пройдёт за frac sxч. Половина пути пройдена второй машиной со скоростью 39 км/ч за frac{0,5s}{39}=frac{s}{78}ч. Скорость второй машины на второй половине пути равна (x+26) км/ч, таким образом, время, затраченное на вторую половину пути второй машиной, равно frac{0,5s}{x+26}ч.

Составим и решим уравнение:

frac sx=frac{s}{78}+frac{0,5s}{x+26},

frac 2x=frac{2}{78}+frac{1}{x+26},

frac 2x-frac{1}{39}-frac{1}{x+26}=0,

frac{2cdot39(x+26)-x(x+26)-39x}{39x(x+26)}=0,

78x+39cdot52-x^2-26x-39x=0,

x^2-13x-39cdot52=0,

x_1=52,,x_2=-39.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость первой машины 52 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Автор: Бердыева Любовь Александровна

Тема урока:

Решение текстовых задач на движение (в
рамках подготовки к ЕГЭ)

Тип урока: повторительно – обобщающий урок.

Цели урока:

образовательные
–повторить методы решения различных типов текстовых задач на движение
развивающие –
развивать речь учащихся через обогащение и усложнение её словарного
запаса, развивать мышление учащихся через умение анализировать, обобщать и
систематизировать материал
воспитательные –
формирование гуманного отношения у учащихся к участникам образовательного
процесса

Оборудование урока:

интерактивная доска
конверты с заданиями, картами тематического
контроля, карточками – консультантами

Структура урока.

№	Основные этапы урока	Задачи, решаемые на данном этапе	Время
1	Организационный момент, вводная часть	· создание доброжелательной атмосферы в классе · настроить учащихся на продуктивную работу · определить отсутствующих · проверить готовность учащихся к уроку	2 мин
2	Подготовка учащихся к активной работе (повторение)	· проверить знания учащихся по теме: «Решение текстовых задач различных типов на движение» · осуществление развития речи и мышления отвечающих учащихся · развитие аналитичности и критичности мышления учащихся через комментирование ответов одноклассников · организовывать учебную деятельность всего класса во время ответа вызванных к доске учащихся	7 мин
3	Этап обобщения и систематизации изученного материала (работа в группах)	· проверить у учащихся умение решать задачи различных типов движение , · сформировать у учащихся знания, отражаемые в виде идей и теорий, переход от частных идей к более широким обобщениям · осуществлять формирование нравственных отношений учащихся к участникам образовательного процесса (во время групповой работы)	25 мин
4	Проверка выполнения работы, корректировка (при необходимости)	· проверить выполнение данных для групп заданий (их правильность) · продолжать формировать у учащихся умение анализировать, выделять главное, строить аналогии, обобщать и систематизировать · развивать умение вести дискуссии	8 мин
5	Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания	· сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения · мотивировать необходимость и обязательность выполнения домашнего задания · подвести итоги урока	3 мин

Формы организации познавательной деятельности
учащихся:

·
фронтальная форма познавательной деятельности – на
этапах II, IY, Y.

·
групповая форма познавательной деятельности – на III этапе .

Методы обучения: словесный, наглядный,
практический, объяснительно – иллюстративный, репродуктивный, частично –
поисковый, аналитический, сравнительный, обобщающий, традуктивный.

Ход урока.

I. Организационный момент, вводная часть.

Учитель объявляет тему урока, цели урока и
основные моменты урока. Проверяет готовность класса к работе.

II.
Подготовка учащихся к активной работе
(повторение)

Ответьте на
вопросы.

1)
Какое движение называют равномерным (движение с
постоянной скоростью)

2) Назовите формулу пути при равномерном движении ()

3)
Из этой формулы выразите скорость и время

4)
Указать единицы измерения

S	V	t
км	км/ч	ч
м	м/с	с
м	м/мин	мин

5)
Перевод единиц измерения скорости

А)

III. Этап обобщения и систематизации
изученного материала (работа в группах)

Весь класс разбивается по группам (5-6
человек в группе). Желательно, чтобы в одной группе были учащиеся разного
уровня подготовки. Среди них назначается руководитель группы (самый сильный
учащийся), который и будет руководить работой группы.

Все группы получают конверты с заданиями (они
одинаковы для всех групп), карточки консультанты (для слабых учащихся) и листы
тематического контроля. В листах тематического контроля руководитель группы
выставляет оценки каждому учащемуся группы за каждое задание и отмечает
затруднения, которые возникли у учащихся при выполнении конкретных заданий.

Карточка с заданиями для каждой группы.

№ 1. Из двух
городов, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся,
если их скорости равны 75 км/ч и 85 км/ч?

№ 2. Из городов A
и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали
два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B.
Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

№ 3. Из пункта А
в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и
велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 65 км больше, чем
велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в
пункт В на 4 часа 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

№ 4. Два
мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально
противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько
минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21
км/ч больше скорости другого?

№ 5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно
в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля
равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на
один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

№ 6. Из пункта A
круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился
мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз,
а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста,
если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

№ 7. Моторная
лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления,
затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если
скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

№ 8. Теплоход
проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается
в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если
скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления
теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

№ 9. От пристани
А к пристани В, расстояние между которыми равно 168 км, отправился с постоянной
скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним, со
скоростью на 2 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого
теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в
км/ч.

Образец карточки тематического контроля.

Класс ________ Ф.И.учащегося___________________________________

№ задания	Оценка	Замечание
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Карточки консультанты.

Карточка № 1 (консультант)

1. Движение
по прямой дороге

При решении задач на равномерное движение часто
встречаются две ситуации.

Если начальное расстояние между объектами равно S , а
скорости объектов V1 и V2, то:

а) при движении объектов навстречу друг другу время,
через которое они встретятся, равно .

б) при движении объектов в одну сторону время, через
которое первый объект догонит второй, равно

Пример 1. Поезд, пройдя 450 км, был остановлен из-за
снежного заноса. Через полчаса путь был расчищен, и машинист, увеличив
скорость поезда на 15 км/ч, привел его на станцию без опоздания. Найдите
первоначальную скорость поезда, если путь, пройденный им до остановки,
составил 75% всего пути.

Решение.

1)
Найдём
весь путь: 450 : 0, 75 = 600 (км)

2) Найдём
длину второго участка: 600 – 450 =150 (км)

3)
Составим
и решим уравнение:

	S	V	t
1 участок	450 км	X км/ч	ч
2 участок	150 км	(X+15) км/ч	ч
Весь путь	600 км	X км/ч	ч

Решение:

Х= −75 не подходит по условию задачи, где

Ответ: первоначальная скорость поезда равна 60 км/ч.

Карточка № 2 (консультант)

2. Движение по замкнутой дороге

Если длина
замкнутой дороги равна S , а скорости объектов , то:

а) при движении
объектов в разных направлениях время между их встречами

вычисляется по
формуле ;

б) при движении
объектов в одном направлении время между их встречами вычисляется по формуле

Пример 2. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 2
мин быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый
лыжник проходит круг?

Решение.

Пусть S м
– длина кольцевой трассы и x м/мин и y м/мин – скорости первого
и второго лыжников соответственно (x > y) .

Тогда S/x мин
и S/y мин – время, за которое проходит круг первый и второй лыжники
соответственно. Из первого условия получаем уравнение .
Так как скорость удаления первого лыжника от второго лыжника равна (x — y) м/мин, то из
второго условия имеем уравнение .

Решим систему уравнений.

Сделаем замену S/x= a и S/y= b , тогда система
уравнений примет вид:

. Умножим обе части
уравнения на 60a(a + 2)
> 0.

60(a + 2) 60a = a(a + 2) a² + 2a —120 = 0. Квадратное уравнение имеет один
положительный корень a =10 , тогда b =12. Значит, первый лыжник
проходит круг за 10 минут, а второй лыжник – за 12 минут.

Ответ: 10 мин; 12 мин.

Карточка № 3 (консультант)

3. Движение по реке

Если объект
движется по течению реки, то его скорость равна Vпо теч. =Vсоб.
+Vтеч.

Если объект
движется против течения реки, то его скорость равна Vпротив теч =V соб. – Vтеч. Собственная скорость объекта (скорость в неподвижной воде) равна

Скорость течения
реки равна

Скорость
движения плота равна скорости течения реки.

Пример 3. Катер спустился вниз по течению реки на 50 км, а затем прошел в
обратном направлении 36 км, что заняло у него на 30 минут больше времени, чем
по течению. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 4
км/ч?

Решение.

Пусть
собственная скорость катера равна х км/ч, тогда его скорость по
течению реки равна

(x + 4) км/ч, а против течения реки (x — 4) км/ч. Время движения катера по течению реки
равно ч, а против течения реки ч. Так как 30 минут = 1/2
ч, то согласно условию задачи составим уравнение = . Умножим обе части уравнения
на 2(x + 4)(x — 4) >0 .

Получим 72(x
+ 4) -100(x — 4) = (x
+ 4)(x — 4) x² + 28x — 704 = 0 x₁=16, x₂= — 44 (исключаем, так
как x> 0 ).

Итак,
собственная скорость катера равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч..

IV. Этап
разбора решения задач .

Разбираются
задачи, вызвавшие у учащихся затруднение.

Решение.

1) 75
+ 85 = 160 (км/ч) – скорость сближения.

2) 480
: 160 = 3 (ч).

Ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

Решение.

1) (330
– 180) : 3 = 50 (км/ч)

Ответ: скорость автомобиля, выехавшего из города A равна 50 км/ч.

Решение.

Составим таблицу.

	S (км)	V (км/ч)	t (ч)
велосипедист	50
автомобилист	50	х+65

Составим
уравнение, учитывая, что 4 часа 20 минут =

Очевидно, что х = -75
не подходит по условию задачи.

Ответ: скорость
велосипедиста 10 км/ч.

Решение.

Составим таблицу.

	t (ч)	V (км/ч)	S (км)
1 мотоциклист	t		t x
2 мотоциклист	t	х+21	t(x +21)

Cоставим
уравнение.

, где 1/3 часа=20минутам.

Ответ: через 20 минут
мотоциклисты поравняются в первый раз.

Решение.

Составим таблицу.

	t (ч)	V (км/ч)	S (км)
1 автомобиль	20мин=1/3 ч	101
2 автомобиль	20мин=1/3 ч	х	х

Составим
уравнение.

Ответ: скорость второго
автомобиля 65 км/ч.

Решение.

Составим таблицу.

	Движение до первой встречи
	t (ч)	V (км/ч)	S (км)
велосипедист		х
мотоциклист		у

Первое уравнение
составим по таблице , так как расстояние, пройденное до первой встречи и мотоциклистом и
велосипедистом будет одинаковое.

Второе уравнение
составим из условия второй встречи:

Решим систему
уравнений:

Ответ: скорость
мотоциклиста 60 км/ч.

Решение.

Составим таблицу,
исходя их условия, что скорость течения реки равна х км/ч.

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
По течению	11 + х	112
Против течения	11 – х	112

Составим
уравнение:

Умножая обе части
уравнения на

где

Ответ: скорость
течения реки равна 3 км/ч.

№ 8. Теплоход
проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной
воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ
дайте в км/ч.

Решение.

Составим таблицу,
исходя их условия, что собственная скорость теплохода равна х км/ч.

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
По течению	Х + 4	513
Против течения	Х – 4	513

Составим
уравнение:

Умножая обе части
уравнения на

513

где

Ответ: собственная скорость теплохода равна реки 23
км/ч.

Решение.

Составим таблицу,
исходя их условия, что скорость первого теплохода равна х км/ч.

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
I теплоход	Х	168
II теплоход	Х +2	168

Составим
уравнение:

Умножая обе части
уравнения на х

где

Ответ: скорость первого теплохода равна реки 12 км/ч

V. Подведение итогов урока.

Во время подведения итогов урока ещё раз
следует обратить внимание учащихся на принципы решения задач на движение. При
даче домашнего задания дать пояснение к наиболее трудным задачам.

Литература.

1)
Статья: Математика ЕГЭ 2014
(система задач из открытого банка заданий)

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. – опубликована на сайте http://alexlarin.net/

Источник

Задача 1. Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 4. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны км/ч и км/ч?

Решение: + показать

Задача 6. Из городов A и B, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через часа на расстоянии км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 7. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 8. Товарный поезд каждую минуту проезжает на метров меньше, чем скорый, и на путь в км тратит времени на часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 9. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через часа следом за ним со скоростью км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Решение: + показать

Задача 10. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным метрам?

Решение: + показать

Задача 11. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью км/ч. Через час после него со скоростью км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через часа минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 12. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо придорожного столба за секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: + показать

Задача 13. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна метров, за секунд. Найдите длину поезда в метрах. Видео*

Решение: + показать

Задача 14. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина товарного поезда равна метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно минутам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

Задача 15. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина пассажирского поезда равна метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест по задачам на движение по прямой.

Источник

Решение текстовых задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

Анализ данных.
Составление таблицы.
Составление уравнения.
Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

S = v · t.

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10	$ frac{60}{x+10} $	60
Второй велосипедист	x	$ frac{60}{x} $	60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

$ frac{60}{x+10}+3=frac{60}{x} $

$ frac{60+3x+30}{x+10}=frac{60}{x} $

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение:

1. Движение навстречу друг другу, движениев противоположных направлениях:

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

v = v₁ + v₂.

2. Движение друг за другом (вдогонку):

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

$ {upsilon_{c}=upsilon_{1}-upsilon_{2};\ upsilon_{1}>upsilon_{2}.} $

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

$ {upsilon_{y}=upsilon_{2}-upsilon_{1};\ upsilon_{2}>upsilon_{1}.} $

Таким образом:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

3. Движение по кругу:

При движении по кругу объекты могут:

сближаться, если скорость догоняющего больше скорости догоняемого. Скорость сближения будет равна $ upsilon_{c}=upsilon_{1}-upsilon_{2}; $
отдаляться, если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого. Скорость удаления будет равна $ upsilon_{y}=upsilon_{2}-upsilon_{1}. $

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀км большее расстояние, чем догоняемый.
Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S:

S₁ – S₂ = m · S.

4. Движение мимо объекта:

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:

S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

5. Движение по воде:

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Скорость плота считается равной скорости течения.

Источник

На чтение 9 мин Просмотров 18.2к. Опубликовано 16 ноября, 2020

Задачи на движение начинают проходить в 5 классе и решают все оставшиеся учебные годы вплоть до 11 класса. В ЕГЭ по математике вы найдете задачи на движение в задании 11, в котором собраны все текстовые задачи. Рассмотрим как надо решать задачи на движение из ЕГЭ. Но сначала немного теории.

Содержание

Как решать задачи на движение
Примеры решения
Виды задач на движение
Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях
Движение друг за другом (вдогонку)
Задачи на движение по кругу
Задачи на движение мимо объекта
Задачи на движение по течению и против течения
Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3
Задача 4
Задача 5

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

Анализ данных.
Составление таблицы.
Составление уравнения.
Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

S = v · t.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Примеры решения

Пример:

Решение:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10	$frac{60}{x+10}$	60
Второй велосипедист	x	$frac{60}{x}$	60

$frac{60}{x+10}+3=frac{60}{x}$

$frac{60+3x+30}{x+10}=frac{60}{x}$

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При движении в противоположном направлении объекты удаляются:

v = v₁ + v₂.

Движение друг за другом (вдогонку)

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Таким образом:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

Задачи на движение по кругу

При движении по кругу объекты могут:

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S: S₁ – S₂ = m · S.

Задачи на движение мимо объекта

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:
S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

Задачи на движение по течению и против течения

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

112 ∙ $frac{4}{5}$ = v ∙ $frac{4}{5}$ = v ∙ $frac{4}{5}$ + 44 ⇔ 4 ∙ v = 112 ∙ 4 – 44 ∙ 5 ⇔ v = 57.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.

Ответ: 57 км/ч.

Задача 2.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна $vcdot (frac{1}{5}-frac{1}{30})=frac{1}{6}v$

Тогда если скорость велосипедиста – это 1 единица отношения, то скорость мотоциклиста – это 6 единиц отношения.

Так как они едут в одном направлении, их общая скорость 5 единиц отношения.

$frac{1}{20}$ ∙5 ед.отн. = 5

1 ед.отн. = 20

6 ед.отн. = 120

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 3

Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение: Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой ― 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

$frac{L}{1}=frac{L+3+96}{12}$ , отсюда , отсюда и .

Ответ: через 9 минут.

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данную задачу можно интерпретировать (представить её, как задачу на линейное движение): Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 80 км/ч. Через 40 минут он опережает второго на 14 км (т. к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в заданиях на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение так же производим по расстоянию.

За x принимаем искомую величину ― скорость второго. Время движения 40 минут (2/3 часа) для обоих. Заполним графу «расстояние»:

	v	t	S
1	80	2/3	$80 cdot frac{2}{3}$
2	x	2/3	$x cdot frac{2}{3}$

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 14 км.

80 ∙ $frac{2}{3}$ больше, чем x ∙ $frac{2}{3}$ больше, чем x ∙ $frac{2}{3}$ на 14.

80 ∙ $frac{2}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ + 14;

$frac{160}{3}$ – $frac{14 cdot 3}{3}$ – $frac{14 cdot 3}{3}$ = x ∙ $frac{2}{3}$ ;

160 – 42 = х ∙ 2;

х = 59.

Скорость второго автомобиля 59 (км/ч).

Ответ: 59 км/ч.

Задача 5

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна v + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Источник

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на движение»

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Карточка № 1 (консультант)

При решении задач на равномерное движение часто встречаются две ситуации.

Если начальное расстояние между объектами равно S , а скорости объектов V1 и V2, то:

Решение.

Решение:

<img loading="lazy" decoding="async" width="149" height="31" src="https://documents.infourok.ru/a727bd6d-909a-4b17-b24a-5261892607aa/0/image012.png" />

<img loading="lazy" decoding="async" width="378" height="16" src="https://documents.infourok.ru/a727bd6d-909a-4b17-b24a-5261892607aa/0/image013.png" />

<img loading="lazy" decoding="async" width="341" height="16" src="https://documents.infourok.ru/a727bd6d-909a-4b17-b24a-5261892607aa/0/image014.png" />

Х= −75 не подходит по условию задачи, где <img loading="lazy" decoding="async" width="40" height="19" src="https://documents.infourok.ru/a727bd6d-909a-4b17-b24a-5261892607aa/0/image015.png" />

Ответ: первоначальная скорость поезда равна 60 км/ч.

Карточка № 2 (консультант)

Решение.

Карточка № 3 (консультант)

Как решать задачи на движение

Примеры решения

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Движение друг за другом (вдогонку)

Задачи на движение по кругу

Задачи на движение мимо объекта

Задачи на движение по течению и против течения

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Новое и интересное на сайте:

При решении задач на равномерное движение часто
встречаются две ситуации.

Если начальное расстояние между объектами равно S , а
скорости объектов V1 и V2, то:

Х= −75 не подходит по условию задачи, где