Решение текстовых задач при подготовке к егэ

Текстовые задачи на ЕГЭ по Математике

Те самые задачи про теплоход, который плывет по течению. Про две трубы, наполняющие бассейн. Про пункт А, из которого в пункт Б выехали грузовик, легковой автомобиль, велосипедист и трактор.

В них нет ничего сложного. Только простые алгоритмы и здравый смысл!

Часто старшеклассники приходят на наше бесплатное тестирование на курсах ЕГЭ вместе с родителями. И родители, давно закончившие школу, решают такие задачи в уме и стараются подсказать детям : -)

Первое, что нужно сделать в текстовой задаче,– внимательно прочитать условие. Понять, что там происходит. И на основе рассказа про теплоход или про две трубы (то есть условия задачи) построить математическую модель. То есть обозначить какие-либо величины за переменные, составить уравнение и решить его.

Вот самые простые текстовые задачи, которые решаются вообще без уравнений.

И немного более сложные, которые встречаются в вариантах Профильного ЕГЭ под номером 9.

Задача 9 Профильного ЕГЭ по математике

Проценты

Задачи на движение

Задачи на работу

Задачи на движение по окружности

Задачи на нахождение средней скорости

Задачи на сплавы, смеси и растворы

Знаешь ли ты, что во многих случаях решение уравнения можно упростить? Не вычислять корень из пятизначного дискриминанта. Сделать удачную замену переменной. Или вообще подобрать целый положительный корень!

Читай о секретах решения текстовых задач:

Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения.

К текстовым задачам также относятся две особенно «любимые» школьниками темы – прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессии

Негосударственное общеобразовательное учреждение                                                          «Школа-интернат № 9 среднего (полного) общего образования открытого акционерного общества «Российские железные дороги»

ИЗ ОПЫТА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ  ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ

Степанова О.А. учитель математики

                                                             школы-интерната №9 ОАО «РЖД»

Г. Кинель, август 2015 года

Текстовые задачи – традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако, в школьном курсе математики, ему придается большое значение.

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения.

 Статистические данные  говорят о том, что   задания, содержащие текстовую задачу, решают чуть около 30% выпускников. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач. Они  не умеют за   часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

  Мой педагогический стаж в роли учителя математики 35 лет, что даёт мне право   поделиться некоторым опытом своей работы.

  В курсе математики 5 – 9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач.

   Арифметический способ уже применяется в 5 – 6 классах, хотя простейшие задачи уже решались этим методом в 1 – 4 классах. Именно в этих классах  отрабатывая технику вычислений на отвлечённых примерах, не забывайте периодически насыщать их житейским содержанием.

   Например, на уроке мы нарабатываем навык умножения десятичных дробей и решили пример 44,5*1,2. Получили ответ 53,4. Обращаюсь  к ребятам: «Придумайте задачку, для решения которой нам бы потребовалось выполнить действие умножения этих чисел».  На первых порах придётся помочь с ответом. Когда же это обращение к творчеству детей будет уже для них привычно, много времени от урока это не займёт, и вы услышите:

-длина прямоугольника 44,5 м, ширина 1,2 м; найти его площадь;
— мотоциклист двигался со скоростью 44,5 км/ч; найти расстояние, которое он преодолеет за 1,2часа;

— цена печенья 44,5 рубля за килограмм; Тёма купил ко дню рождения 1,2 кг этого печенья; найти стоимость покупки.

Выполнили какое-либо вычисление — предлагаю решить соответствующую устную одношаговую текстовую задачу, а затем уделяю пару минут коллективному сочинительству задач разнообразного содержания. Конечно, расшевелить фантазию ребят    сразу не удастся, но   нам не привыкать проявлять терпение и настойчивость. И  постепенно   становится видно, насколько лучше дети воспринимают текстовые задачи, воспроизводят решение типовых задач. Даже не самые сильные ученики потом смелее возьмутся за решение более сложных заданий.

Хочется  еще сказать: если   вы наметили решить задачу, то, прочитав её, не спешите анализировать условие, обсуждать алгоритм её решения до тех пор, пока:

— не дадите детям пару минут тишины на чтение текста «про себя»;
—   не поднимете нескольких учеников, попросив их пересказать текст задачи.

Не жалко хорошей оценки для ученика, чётко передавшего своими словами ситуацию задачи. И только после этого приступайте к коллективному поиску ответа на поставленный в задаче вопрос.

При таком подходе к решению задач многие ученики уже не так боязливо реагируют на них.

Кроме того в этих классах хорошо срабатывает приём ролевых игр при разборе и решении задач. Например, стоимость проездного билета на поезде рассчитывает кассир вокзала; грузоподъемность вагона – составитель поездов и т.д.

 Конечно,  учащиеся испытывают серьезные трудности при решении задач.

 Первая трудность состоит   в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.

 Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.

 Вторая трудность — составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

 Третья трудность — это решение полученных   уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом. 

Чтобы ученик мог ориентироваться лучше в этих ситуациях, можно проводить следующую работу: урок, на котором вы успеете решить обстоятельно и качественно не менее шести(!) задач.

Например, на сегодня им было задано на дом решить два уравнения:

К началу урока на столах у детей лежит список задач:

№1. Турист на мопеде проехал 30 км по ровному участку шоссе, затем 17 км по склону, причём по склону со скоростью на 2км/ч большей, чем по ровному участку. На весь путь было потрачено 3 часа. Найти скорость движения туриста по ровному участку шоссе.

№2. Катер прошёл 30 км по озеру, затем 17 км по реке, вытекающей из этого озера. Скорость течения реки 2 км/ч. На весь путь катер затратил 3 часа. Найти собственную скорость катера.

№3. Велосипедист выехал из деревни в 8.00, чтобы к 11.00 прибыть на место. Проехав 30 км, он рассчитал, что опоздает. Тогда он решил на последних 17 км увеличить скорость на 2 км/ч. В пункт назначения он прибыл вовремя.

Найти первоначальную скорость велосипедиста.

№4. Ко дню рождения Наташа купила на 30 рублей конфет «Рябинка» и на 17 рублей конфет «Космос». Один килограмм «Космоса» дороже одного килограмма «Рябинки» на 2 рубля. Масса всех купленных Наташей конфет составила 3 кг. Найти цену одного килограмма конфет «Рябинка».

№5. Требовалось обработать на станке 47 деталей за 3 часа. Сначала 30 деталей обработал ученик мастера, а затем остальные детали — сам мастер. Мастеру удаётся обработать в час на 2 детали больше, чем его ученику. Сколько деталей в час обрабатывал ученик?

№6. Сначала 30 страниц текста набрал на компьютере первый оператор, а затем его сменил второй и набрал оставшиеся 17 страниц текста. Второй оператор печатает на 2 страницы в час больше, чем первый оператор, а вся работа была выполнена за 3 часа. Какова производительность труда первого оператора?

На столах у детей ещё и таблицы, которые будут заполняться по мере коллективного обсуждения условий каждой задачи и составления соответствующего уравнения. И каково удивление ребят, когда они обнаруживают одно и то же уравнение во всех задачах.

Не менее эффективно для развития математического мышления хотя бы иногда ставить перед детьми проблему поиска различных способов решения одной и той же задачи.

         Важно осознавать, что при алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков:

1. Краткая запись условия задачи.
2. Изображение условия задачи с помощью рисунка.
3. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.
4. Выполнение арифметических действий над величинами (числами).
5. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз.
6. Нахождение разностного сравнения величин (чисел).
7. Нахождение кратного сравнения величин (чисел).
8. Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.
9. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа).
10. Нахождение дроби от величины (числа).
11. Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.
12. Нахождение процентов данной величины (данного числа).
13. Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.
14. Нахождение процентного отношения двух величин (чисел).
15. Составление пропорций.
16. Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин (чисел).
17. Понятие производительности труда.
18. Определение производительности труда при совместной работе.
19. Определение части работы, выполненной в течение некоторого промежутка времени.
20. Определение скорости движения.
21. Определение пути, пройденного телом.
22. Определение времени движения тела.
23. Понятие о собственной скорости (скорости в стоячей воде) движения тела по воде.
24. Нахождение пути, пройденного двумя телами при встречном движении.
25. Нахождение скорости движения тела по течению и против течения реки.
26. Нахождение времени прохождения телом единицы пути при заданной скорости движения.
27. Нахождение скорости сближения тел, движущихся в одном направлении, и скорости удаления.
28. Нахождение скорости сближения или скорости удаления тел, движущихся в противоположных направлениях или при встречном движении.
29. Нахождение части пути, пройденного телом за определённое время, когда известно время прохождения всего пути.
30. Нахождение количества вещества, содержащегося в растворе, смеси, сплаве.
31. Нахождение концентрации, процентного содержания.
32. Нахождение стоимости товара, акции.
33. Нахождение цены товара, акции.
34. Нахождение прибыли.
35. Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.
36. Нахождение себестоимости продукции.
37. Расчёт начислений банка на вклады.
38. Проверка решения задачи по условию.
39. Введение неизвестного.
40. Введение двух неизвестных.
41. Введение трёх и более неизвестных.
42. Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.
43. Выполнение действий умножения и деления неизвестных.
44. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.
45. Решение линейных уравнений.
46. Решение линейных неравенств.
47. Решение квадратных уравнений и неравенств.
48. Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств.
49. Решение систем уравнений и систем неравенств.
50. Составление одного уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
51. Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
52. Выбор значений неизвестных по условию задачи.
53. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.
54. Решение уравнений с параметром.
55. Исследовательская работа.

Поэтому любая ошибка на любом этапе решения задачи приводит к большим проблемам у учащихся.

Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи.

Решение задачи основывается на тех связях, которые существуют между данными и искомыми величинами. На выделение этих связей и направлен анализ условия задачи. Чтобы помочь учащимся самостоятельно осуществлять анализ условия, можно предложить им специальные памятки. На этапе анализа условия задачи:

1. разбиваем условие задачи на части;
2. выясняем, какие величины характеризуют описываемый в условии процесс;
3. выясняем, какие величины известны, а какие требуется найти;
4. устанавливаем связи между величинами.

Ошибка 2. Пропуск этапа поиска решения.

Пропуск этого этапа ведет к недопониманию учащимися сущности эвристической деятельности, и как результат, к возникновению трудностей при самостоятельном решении задач.  На этапе поиска решения выясняем, что можно найти по данным задачи, и поможет ли это дальнейшему решению.  Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск ведем по следующим этапам:

1. определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них;
2. составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию;
3. определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них;
4. определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.

Ошибка 3. Пропуск этапа исследования решения.

Зачем нужен этот этап? На этапе исследования выясняем, соответствует ли полученный ответ условию задачи (правдоподобность результата); есть ли другие способы решения; что полезного можно извлечь на будущее из решенной задачи.                                                                                                                        

Ошибка 4. Смешение этапов анализа и поиска решения.

Цель этапа анализа условия – выявить все имеющиеся связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения – выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя.                                                                          Ошибка 5. На этапе анализа условия фиксируются не все связи между величинами.                                                                                                                         Надо стараться зафиксировать как можно больше таких связей. Почему это важно? Упустив какую-нибудь связь, мы можем потерять:

1. условие для составления уравнения;
2. возможность одну величину выразить через другие;
3. предусмотреть несколько способов решения^[1].

Ошибка 6. Поиск решения задачи алгебраическим методом начинается с выбора переменной.

Представьте себя на месте ученика в классе. Рассмотрим ситуацию, когда не были проведены этапы анализа и поиска решения, к доске вызван ученик, который знает, как решить задачу, и он начинает: «За х обозначим…» И что же наш ученик, который затрудняется в самостоятельном решении? Мы из решения сделали тайну непостижимую. «Как он угадал, что обозначить за х?» И когда он будет пробовать дома решать задачу, у него сразу закрадывается сомнение: «А вдруг я не угадаю?»

И насколько спокойнее и увереннее чувствует себя наш ученик, если у него есть карточка по проведению анализа и поиска решения задач; он смог составить по условию задачи таблицу; найти несколько условий для составления уравнений; записать схему уравнения для выбранного условия. Ученик знает, что за х можно обозначить любую из неизвестных величин, и, если не получится уравнение по одной схеме, то можно попробовать составить его по другой схеме.

Ошибка 7. Постановка частных, подсказывающих вопросов учащимся.

Очень много зависит от умения ставить (задавать) вопросы учащимся. Вопросы не должны нести в себе подсказку, а подталкивать учащихся к размышлению. Вместо вопросов: «Во сколько туров проходила олимпиада?», «Как распределились посевные площади?», «Какое время находились туристы в пути?», «Какие машины находятся в автопарке?» лучше задавать общие вопросы: «Что происходит по условию задачи?», «Какие объекты участвуют в задаче?», «Какие части можно выделить в задаче?». Вместо вопроса «Можно ли найти такую-то величину?» лучше задать вопрос: «Что можно найти по данным задачи?», поскольку он может вывести на несколько вариантов решения.

Задавая вопросы, учитель не должен вести учащихся к своему решению; нужно рассмотреть все пути решения, выслушать и обсудить все варианты.    

Универсальные таблицы для составления системы уравнений.

На первый взгляд, задач бесконечное множество, и невозможно запомнить формулы для их решения.  Но стоит присмотреться, чтобы увидеть, например, что скорость измеряется в метрах в секунду или километрах в час; цена — в рублях за единицу товара (шт., кг и т. д.); производительность — в объеме работы за единицу времени и т. д.  Значит, скорость вычисляется делением расстояния на время, цена — делением стоимости всего товара на количество, производительность — делением всего объема работы на время и т. д.  То есть получается, что все задачи — однотипные,  если, конечно, понимать, о чем идет речь в задаче. Получаем вот такие таблицы.

Важно соблюдать порядок заполнения таблиц:  в первом столбике должна быть «скорость»  (она же – цена, производительность, плотность); во втором — «время» (оно же — количество);  в третьем — «путь» (он же — стоимость, работа, масса).

Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе. Поэтому с 9-го класса   рекомендую вводить элективный курс «Текстовые задачи».  Хотя при творческом подходе учителя к его проведению, исключив пока ещё не изученные на уроках темы, можно ввести этот курс и раньше. Подобный подход возможен, так как каждая тема, за исключением первой, является вполне самостоятельной и не связана с другими. За счёт высвободившихся часов можно увеличить количество практических занятий по другим темам. Но в 11 классе при подготовке к ЕГЭ желательно еще раз проработать этот курс на задачах из банка заданий.

Представленный элективный курс содержит 8 тем и рассчитан на 24 часа.

Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной по данному разделу математики.  При её раскрытии акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Кроме того, следует также обратить внимание учащихся на важность умелого письменного оформления.

Следующие четыре темы — «Задачи на движение», «Задачи на смеси, сплавы, растворы», «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии» — закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках.

Последние три темы — «Задачи с экономическим содержанием», «Задачи на числа», «Разные задачи» — выходят за рамки школьной программы и значительно совершенствуют навыки учащихся в решении текстовых задач.

Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы.

Итак, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека — способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач — это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным.

Литература.  

1)Александр и Наталья Крутицких     www.matematikalegko.ru   01.01.2015 Подготовка к ЕГЭ по математике

2) Тренажеры по подготовке к ЕГЭ

3) Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

 4) Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 5-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 80 с.

5)  Обучение решению задач как средство развития учащихся: из опыта работы. Методическое пособие для учителя. – Киров, ИИУ. – 1999. – С.3-1

6)  А. Тоом  Как я учу решать текстовые задачи. — Еженедельная учебно-методическая газета <Математика>, №46, 47, 2004г.

7) Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач // Математика в школе. – 2000. — №4. — С.28.

Петухова Л.И. О решении текстовых задач по математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. С. 34.

9) Бохонова К.В. Несколько советов молодым учителям математики

// Математика в школе. — http://festival.1september.ru/articles/413415/

МОУ Катуаровская средняя общеобразовательная школа

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

Решение текстовых задач

Учитель математики высшей категории

Шушпанова

Елена Викторовна

Содержание:

Введение 3

1. Задачи на движение 4-7

2. Задачи на производительность 8-10

3. Задачи на проценты, концентрацию, смеси и сплавы 11-15

4. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии 16-18

5. Разные задачи 19-20

Заключение 21

Список литературы 22

Введение.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) призван заменить собой два экзамена выпускной за среднюю школу и вступительный в ВУЗы. В связи с этим в рамках ЕГЭ осуществляется проверка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, усвоение которого проверяется на выпускном экзамене за среднюю школу, а также материалом некоторых тем курсов алгебры основной школы и геометрии основной и средней школы, которые традиционно контролируются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Одной из таких тем является тема «текстовые задачи».

Анализ результатов проведения ЕГЭ говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод о том, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи, является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Уроки повторения по решению текстовых задач направлены на то, чтобы учащиеся расширили и углубили свои знания по математике, качественно подготовились к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в ВУЗы. Они помогут школьникам систематизировать полученные на уроках ранее знания по решению текстовых задач.

Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части школьников. Во многом это связано с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами.

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. Рассмотрим типовые задачи и их решения.

Предлагаемые задачи можно разбить на следующие типы задач:

— задачи на «движение»;

— задачи на «производительность»;

— задачи на «проценты, концентрацию части и доли»;

— задачи на «арифметическую и геометрическую прогрессии»;

— другие виды задач (меньше-больше, торгово-денежные отношения, зависимость между компонентами арифметических действий и т.д.).

Задачи на движение.

При решении задач на движение принимают следующие допущения:

— движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;

— изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

— скорость считается числом положительным;

— если тело движется по течению реки, то его скорость V слагается из скорости в стоячей воде V1 и скорости течения реки V2, V=V1+V2, если против течения реки, то скорость равна V=V1-V2;

— если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;

— если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше.

Основные соотношения.

• V= — скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути S и обратно пропорциональна времени t;

• t=–время, за которое 2 объекта, движущиеся навстречу друг другу со скоростью V1 и V2, преодолевают начальное расстояние So;

• t= — время, за которое 2 объекта, движущиеся в одном направлении со скоростью соответственно V1 и V2 (V1V2) преодолевают начальное расстояние между ними, равное S_o и 1 объект догонит 2;

• Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку)

Задача 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А, где они встретятся.

Решение: время до встречи находится по формуле t=и равно 4 часа. Расстояние от города А до места встречи равно S=4*55=220 км.

Задача 2. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость 1 на 0,5 км/ч больше скорости 2. Найти время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

Решение: время в часах, за которое расстояние станет между ними 200 м, т.е. 0,2 км считается по формуле t==0,4 (ч). Значит через 24 минуты расстояние между ними будет 200 м.

Задача 3. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу 1 туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле 2 турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем 2 турист догонит 1?

Решение: 1 турист вышел в путь на 4 ч раньше 2

А I→ 1,5ч В 1 ч Д

II→ 1,5 I,II

В точке В он сделал остановку на 1,5 ч. 2 турист догнал 1 в точке Д. Чтобы проехать расстояние АД, 1 турист затратил больше времени, чем 2, на 2,5 ч. (4-1,5=2,5 ч)

Пусть х- расстояние от А до Д (в км). Тогда t₁=ч — время 1 туриста на АД;

t₁=ч-время 2 туриста на АД.

t₁-t₂=2,5 ч. Составим и решим уравнение

=2,5

х=56

Ответ: 56 км.

Движение по воде.

• В задачах на движение по воде необходимо помнить формулы:

V_{по теч} = V_соб+V_теч

V_{против теч} = V_соб-V_теч

V_соб =

• Скорость плота считается равной скорости реки.

Задача 1. В 9ч баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в котором часу баржа прибыла в В. Расстояние от А до В 60 км.

Решение:

Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч . Тогда время , затраченное на движение по течению реки, составляет ч, а против течения ч. Всего было затрачено -9-2=(ч).

Составим уравнение и решим его:

, х₁=15; х₂= — 0,6-не удовлетворяет условию.

Время, затраченное на движение против течения реки, (ч). Значит, баржа прибыла в пункт В в 14 часов.

Движение по замкнутой трассе.

Движение по замкнутой трассе (допустим по стадиону) похоже на движение вдогонку если 2 бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями собственно V₁ и V₂ (V₁V₂), то 1 бегун приближается ко 2 со скоростью V₁-V₂ и в момент, когда 1 бегун догоняет 2 бегуна, то 1 бегун как раз проходит на один круг больше второго и поэтому время считается так:

Задача. Из одной точки круговой трассы, длина которой 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость 1 автомобиля 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает 2 автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость 2 автомобиля.

Решение:

Примем скорость 2 автомобиля за х км/ч и учтем, что 40 мин = ч, тогда , значит 160-2х=48, тогда х=56

Ответ: 56 км/ч

Задачи на определение средней скорости

Если S-путь, пройденный телом, а t-время, за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:

Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение: пусть весь путь 3S, тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время , вторую треть последнюю треть- за время . Значит, время потраченное на весь путь находится так: и поэтому, средняя скорость вычисляется так (км/ч)

Ответ: 16 км/ч

Задачи на движение протяженных тел.

В задачах на движение протяженных тел требуется определить длину одного из них наиболее типичные ситуации: определение длины поезда, проезжающего мимо:

• придорожного столба

• идущего параллельно путем пешехода

• лесополосы определенной длины

• другого двигающего поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние, равное его длине. Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение: V=60 км/ч=1000 м/мин, t=30 сек=мин. Найдем длину поезда как пройденное расстояние S=V*t=1000*=500 (м)

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 800 м, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: V=90 км/ч=1500 м/мин, t=1 мин. Найдем длину поезда как пройденное расстояние S=V*t=1500*1=1500 плюс длина лесополосы 800 м и получим длину поезда 2300 м.

Задачи на производительность

Задачи на совместную работу

Задачи на выполнение определенного объема работы по своему решению очень схожи с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет роль скорости. В тех случаях, когда объем работы не задан, его принимают за 1.

При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работы, используют следующие соотношения:

• A=V*t, где А- количество работы, t-время выполнения работы, V-производительность труда, т.е количество работы, выполняемой в единицу времени.

• Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за t₁, а вторым за t₂, то производительность труда при их совместной работе V_совм=; t_совм=

Задача 1. Первый рабочий может выполнить некоторую работу за a часов, а второй за b часов. Определите время, за которое оба рабочих выполнят работу вместе.

Решение: вся работа 1, тогда производительность 1 рабочего , производительность 2 рабочего , а совместная производительность равна , значит, всю работу совместно два рабочих выполнят за время

Задача 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит работу первый, если он за 2 дня работы выполнит такую же часть работы, какую второй рабочий за 3 дня.

Решение:

Пусть х — производительность 1 рабочего, у- производительность 2. Вся работа 1. Двое рабочих выполнят всю работу за 12 дней, значит (х+у)*12=1. За 2 дня работы 1 выполняет такую же работу, как и 2 за 3 дня, значит 2х=3у. Составим систему

;

у=

, значит, 1 рабочий выполнит работу за 20 дней.

Ответ: 20 дней.

Задача 3. Две бригады совместно должны убрать поле за 4 дня. Если первая бригада проработает 1 день, а вторая 4 дня, то будет выполнена половина работы. За сколько дней может убрать все поле каждая бригада?

Решение:

Обозначим через t₁-число дней, за которое может убрать поле 1 бригада, а через t₂-время работы 2 бригады. Тогда за 1 день 1 бригада может убрать часть поля, а 2- часть поля. Так как 2 бригады совместно убирают поле за 4 дня, то . Используя второе условие задачи, получим Составим систему

 

Ответ: время работы 1 бригады 6 дней, 2 бригады-12 дней.

Задачи на бассейны и трубы.

Задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Математическая модель задачи сохраняется, только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объем работы будет представлять наполнение бассейна водой.

Задача 1. Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая труба наполняет бассейн за 5 часов. Найдите время наполнения бассейна одной второй трубой.

Решение: заполняем таблицу

Найдем , значит, время наполнения бассейна одной второй трубой 20 часов.

Задача 2. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта.

Решение:

Пусть объем бассейна 1, тогда время его заполнения до ремонта 1 насосом- х часов, а вторым — y часов. Значит, — производительность первого насоса до ремонта, а — производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, составим уравнение: , т.е

1,2*— производительность 1 насоса после ремонта, а 1,6*— производительность 2 насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, составим уравнение: , т.е

Составим систему:

Умножим первое уравнение на 0,9 и вычтем из него второе, получим:

у=24

х=12; 1,2*

По формуле t=найдем (ч)

Ответ: 10 часов.

Задачи на проценты, концентрацию, смеси, сплавы.

Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у школьников, в частности, у выпускников. Причина такой ситуации заключается в том, что тема «Проценты» изучается в 5 классе, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах.

С 2004 года изменился характер текстовых задач в КИМах ЕГЭ. Стали включаться задачи, сюжеты которых близки к реальным ситуациям (экономическим, финансовым, деловым, игровым и пр). Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей, уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.

Задачи на проценты

При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты-проценты, начисляемые на процентные деньги.

• Для того, чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100

Пример: 1) 24%=24:100=0,24; 2) 700%=700:100=7

• Для того, чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%

Пример: 1) 0,57=0,57*100%=57%; 2) 2,9=2,9*100%=290%

Основные типы задач на проценты

1. Нахождение p% от числа b.

Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством 100%*a=p%*b или или

1. Нахождение числа а по данному проценту р%

Если р% какого-нибудь числа а равно b, то эти числа связаны равенством

1. Нахождение процентного отношения чисел a и b.

Число a составляет от числа b

1. Увеличения на p%

Если число a увеличено на р%, то оно увеличено в раз, то получится число

1. Уменьшение на q%

Если уменьшено на q%, , то оно уменьшено в раз, то получится число

1. Начисление простых процентов при многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где a-исходная сумма, S-наращенная сумма, р% — процентная ставка, n- число периодов начисления.

2. Начисление сложных процентов

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами:

ⁿ, где а — исходная сумма, S-наращенная сумма, р%- процентная ставка, n — число периодов начисления.

Задача 1. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е начисленная сумма присоединяется к вкладу на данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение:

В конце 1 года сумма составит 55000 рублей. Теперь начисляем 10% от этой суммы и получаем сумму в конце 2 года 60500 руб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 руб.

Задача 2. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

Решение:

Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8 кг, а после увеличения веса на 30%-0,8х*1,3кг и т.д, в итоге Женя весил 0,8х*1,3*0,8*1,1 или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел.

Задача 3. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение:

Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100-99=1 (%). Это 20*0,01=0,2 (кг). Т.е те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02=10 (кг)

Ответ: 10 кг.

Задача 4. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько % составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Решение:

Число мальчиков составляет 80% от числа девочек (100%). Определим, сколько % составляет 100% от 80%

Задача 5. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем еще на 120 руб., и, наконец еще на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Решение:

Пусть х рублей — первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной рублей, затем стала равной

1,155х+126=1,3125х

0,1575х=126

х=800

Ответ: первоначальная цена товара 800 руб.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Очень важно разобраться в самом тексте задачи. Необходимо научиться расчленять такую задачу на ряд простейших.

В таких задачах используются понятия «концентрация», «процентное содержание», «влажность».

Если смесь (сплав, раствор) имеет массу m, и состоит из трех веществ массой m₁ ,m₂, m₃, то величины , , называются концентрациями соответствующих веществ. Величины *100, *100, *100 называются процентным содержанием этих веществ. Тогда , т.е концентрации двух веществ определяют концентрацию третьего вещества.

При составлении уравнений обычно прослеживается содержание какого-либо одного вещества из тех, которые смешиваются (сплавляются).

Задача 1. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый , массой 300 г, содержит 20% олова. Второй , массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько % олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение:

До сплавления в этих кусках было г олова. После 200+300=500 (г) будет содержать %=28(%).

Ответ: 28%

Задача 2. Сколько нужно взять 5%-го и 25%-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10%-го раствора кислоты?

Решение:

Пусть надо взять( х)л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято 0,1*4=0,4 или 0,05х+0,025(4-х)

Составим уравнение

0,05х+0,25(4-х)=0,4

х=3

Надо взять 3л. первого раствора и 4-3=1 (л)-второго.

Задача 3. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10% — м и получили 600 г 15% — го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:

Пусть 30%-го раствора взято (х)г, а 10%-го-(у )г, тогда х+у=600. Т.к. первый раствор 30%-ный, то в (х) г этого раствора содержится (0,3х)г кислоты. В (у) г 10%-го раствора содержится (0,1 у)г кислоты.

В полученной смеси содержится 600*0,15=90 (г) кислоты, значит 0,3х+0,1у=90

Составим систему:

Ответ: 150 г; 450 г

Задача 4. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение:

Пусть (х)г- масса 50%-й кислоты

(у)г- масса 70%-й кислоты

(0,5х) г- масса чистой кислоты в смеси

Составим уравнение:

0,5х+0,7у=0,65(х+у) :

Ответ: 1:3

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Числовая последовательность а₁, а₂, …….., а_n, называется арифметической прогрессией, если каждый из последующих членов, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, где d- разность прогрессии, а₁-первый член, n- число членов, а_n-n-й член, а_n=a₁+d(n-1)-формула n-го члена — формула суммы n первых членов.

Числовая последовательность b₁, b₂, b₃,…..,b_n у которой , называется геометрической прогрессией, если каждый из последующих членов этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему члену, уменьшенному на одно и то же число , где q- знаменатель прогрессии, b₁-первый член, n-число членов, b_n-n-й член.

b_n=b₁*q^n-1-формула n-го члена.

— формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Если , геометрическая прогрессия называется убывающей.

формула суммы членов бесконечной геометрической прогрессии

Задача 1. Найдите первый член геометрической прогрессии, если ее третий член равен -10, а его квадрат в сумме с седьмым членом дает утроенный пятый член

Решение:

Пусть b₁-первый член, q-знаменатель.

Д=9+40=49

,

b₁=-2

b₂=5 не подходит

Ответ: -2

Задача 2. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна -3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.

Решение:

Пусть а₁-1 член, d-разность, b₁-1член геометрической прогрессии, q-знаменатель. По условию задачи имеем:

2d=4+b₁(1-q²)

b₁(q²-1)²=0

a₁=-3-b₁

2d=4

q²=1 Ответ d=2

Задача 3. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 м. Каждый день увеличивают длину на одно и то же число метров. В первый день проложили 3 м. Определить сколько метров тоннеля проложили в последний день, если вся работа выполнена за 10 дней?

Решение:

Пусть а_n-количество метров тоннеля, проложенных рабочими в n-й день. Имеем арифметическую прогрессию где а₁=3, а₁+а₂+…….+а₁₀=500

Найдем а_10.

S_n=

Ответ: 97 м.

Задача 4. Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобились 4 различные почтовые марки на общую сумму 2р 80к. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.

Решение:

1. Пусть х руб. — стоимость самой дешевой марки.

2. (2,5х) руб. – стоимость самой дорогой марки.

3. Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т.е.:

х=0,4

4. Из формулы n-го члена:

2,5х=х+3d

1=0,4+3d

d=0,2

;

Ответ: 0,4; 0,6; 0,8; 1

Разные задачи.

Задача 1. Бригада рыбаков намеревалась выловить в определенный срок 1800 ц рыбы. Треть этого срока был шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно недовыполнялось на 20 ц. Однако в остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за 1 день до срока. Сколько центнеров рыбы намеревалась вылавливать бригада рыбаков ежедневно?

Решение:

1. х (дн) — планируемый срок лова рыбы

2. у (ц) – планировалось вылавливать в день

3. ху=1800

4. Так как планируемого срока был шторм, то за это время бригада выловила

(у-20)* х (ц)

5. В оставшееся время бригада выловила (у+20)* х (ц)

6. (у-20)*

7. Составим систему уравнений:

Отсюда у=100

Ответ: 100 ц.

Задача 2. Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410р, причем второй получил того, что получил первый, и еще 60 р, и третий получил денег второго и еще 30 р. Какую премию получил каждый?

Решение:

1. Пусть 1 изобретатель получил х (руб.)

2. Тогда 2-й получилруб., третий получил руб.

3. Из условия задачи имеем:

, откуда х=900; *900+60=360;

Ответ: 900 р; 360 р; 150 р.

Задача 3. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

Решение:

1. Пусть х — цифра десятков

у – цифра единиц

10х+у – искомое двузначное число

2. По условию задачи имеем:

(х= — 2- не подх., так как х- цифра)

Ответ: 32.

Задача 4. Числители трех дробей пропорциональны числам 1,2,5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1,3,7. Среднее арифметическое этих дробей равно . Найти дроби.

Решение:

1. Числители дробей: х; 2х; 5х

2. Знаменатели дробей: у; 3у; 7у

3. Дроби:

4. ;

дробь; — 2 дробь; — 3 дробь

Ответ:

Заключение.

Представленный выше материал предназначен для итогового повторения темы «Текстовые задачи» с целью подготовки к Единому государственному экзамену.

Здесь были рассмотрены основные теоретические вопросы для быстрого повторения, примеры задач, аналогичных экзаменационным, с комментариями к ним. Большей частью это подготавливающие и обучающие задания, нежели контролирующие. Этот материал поможет старшеклассникам систематизировать свои знания по данной теме, подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике и поступить в ВУЗ.

Список литературы:

1. Андреянов П.А и др. Математика. Текстовые задачи и производная на вступительном экзамене. в ВУЗ без репетитора.- М.- ТОО «Община», 1992.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1981.

3. Корешкова Т.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. ЕГЭ-2011. Математика. Тренировочные задания.- М.: Эксмо, 2010.

4. Кочагин В.В. ЕГЭ – 2008. Математика. Сборник заданий / Кочагин В.В., Кочагина М.Н. – М.: Эксмо, 2008.

5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М «Просвещение» 1990.

6. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.М. Математика. Методы решения задач для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 1995.

7. Соловейчик И.В. Математика. – М.: Первое сентября, 2004.

8. Студенецкая В.Н., Гребнева З.С. Решение задач и выполнение заданий по математике с комментариями и ответами для подготовки к Единому государственному экзамену. – Волгоград: Учитель, 2005.

9. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк.- М: «Просвещение», 1989.

10. Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7 – 11 классы: Учебное пособие по математике. – М.: «ТИД «Русское слово — РС», 2003.

9

Статья «Решение текстовых
задач при подготовке к ЕГЭ»

Автор: Гавриш Виктория Анатольевна

Организация: ГОУ ЛНР «Брянковский УВК №5»

Населенный пункт: ЛНР, г. Брянка

Цель статьи: Условия и средства повышения эффективности обучения учащихся решению текстовых задач при подготовке к ЕГЭ.

Актуальность статьи: Тема данной статьи наиболее актуальна, так как она затрагивает современную проблему, знакомую выпускникам, а именно – решение задач текстового характера при подготовке к единому государственному экзамену. С помощью текстовой задачи ученик формирует важные умения, имеющие связь с глубоким анализом текста, определением главного в условии, составлением алгоритма решения, проверкой полученного результата. В процессе решения задачи формируются навыки и умения переводить ее условие на математический язык, то есть складывать математическую модель.

Математика как наука проникает во все области человеческой жизни и деятельности, что повлекло за собой позитивный рост научно-технического прогресса. Поэтому стало необходимым срочно усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения. Данный предмет был в числе первых предметов, включенных в итоговую аттестацию в форме Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ), где особое место отводится текстовым задачам. На протяжении всего времени обучения в школе математические задачи постоянно помогают детям осознавать математические термины и их понятия, а также выяснять взаимосвязь с окружающей средой, что даёт возможность применять полученные теоретические знания и умения в жизни.

Текстовые задачи подразделяются на несколько типов задач, которые для наглядности приводятся в таблице 1.

Вариант ЕГЭ по математике (профильный уровень) состоит из 19 заданий. В 1 части 12 заданий, которые направлены на проверку базовых знаний и умений. [5]. Часть 2 состоит из 7 заданий высокого уровня сложности, который проверяет уровень профильной подготовки по математике. Этот уровень необходим для применения математики в творческой и профессиональной деятельности.[5].

Задание 1.Задание представляет собой простую арифметическую текстовую задачу, которая моделирует реальную ситуацию. Для решения задачи достаточно уметь выполнять арифметические действия числами, делать прикидку и оценку. Статистика выполнения задания показывает, что арифметические текстовые задания вызывают трудности даже при решении простейших вариантов. Особое внимание следует уделить устному счет, а также арифметическим вычислениям. Часть ошибочных ответов обусловлена невнимательностью и неумением выполнять арифметические действия без калькулятора [4].

Задание 11. Построение и исследование простейших математических моделей: моделирование реальной ситуации на языке алгебры, составление уравнения или неравенства по условию задачи; исследование построенной модели с использованием аппарата алгебры.

Наибольшие трудности в составлении уравнения по условию задачи и его решении; понимании того, что процент – этот одна сотая часть величины; неумении записывать время, данное в часах и минутах, в виде обыкновенной дроби; неумении решать дробно-рациональные уравнения, неумении оптимизировать вычислительные сложности при решении уравнения, деля обе части уравнения на общий множитель его коэффициентов или избавляться от дробей.

Высокий процент тех, кто не приступал к решению данного задания. Задание 17. Задание на использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни: анализ реальных числовых данных и информации статистического характера; осуществление практических расчетов по формулам, использование оценки и прикидки при практических расчетах. Обычно с экономическим содержанием.

Относительно новая для ЕГЭ по математике задача вызвала значительные затруднения, с ней справился примерно каждый десятый выпускник и примерно такое же количество получило хотя бы один балл за эту задачу. Трудности связаны с неумением анализировать и интерпретировать условие, слабыми вычислительным навыками, плохо усвоенной темой «проценты» [2, 3, 4].

Подробно изучив анализ можно прийти к выводу, что способность решать текстовые задачи является основополагающей в процессе подготовки к экзамену. [1].

При решении разных задач практического характера были выделены основные этапы, представленные в таблице 2

Таблица 2

Важной составляющей при решении математических задач является поиск способа ее решения и заключается в следующих пунктах:

1) проведение более детального анализа текста задачи: выделение данных и искомых, установление связей между данными и искомыми;

2) выяснение полноты постановки задачи;

3) осуществление поиска решения, составление плана решения задачи;

4) перевод словесного текста задачи на математический язык;

5) привлечение теоретических знаний для решения задачи.

Во время решения текстовых задач полезно пользоваться следующими советами:

1. Первое прочтение задачи является ознакомительным. Надо попытаться получить информацию и представить её в другом виде – это может быть как рисунок, так и таблица, а так же просто краткая запись условия задачи. Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.
2. Второе прочтение преследует за собой выбор неизвестных, при этом не берем во внимание числа и «мелочи». Самое главное, чтобы неизвестные соответствовали условию задачи, при составлении соответствующей “математической модели” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств).
3. Во время третьего прочтения задачи следует ее условие разделить на логические части. Необходимо следить за тем, что обозначает, каждая фраза текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый «знак» полученной записи.

Рассмотрим несколько типов задач встречаемых в ЕГЭ.

Часто встречаемый тип задач в ЕГЭ – задачи на движение. Рассмотрим более подробно. Задачи на движение подразделяются на несколько видов:
1.Движение тел по течению и против течения реки. 2.Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу.

3.Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. При решении задач на движение следует знать формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Уметь построить графики движения в прямоугольной системе координат и прочитать графики движения, применить их для решения текстовых задач. Обратить внимание на особенности выбора переменных. Большое значение имеет правильное составление таблицы данных задачи на движение.

При решении данных задач придерживаться следующих допущений и правил:

1) Если не имеется определенных оговорок, то движение будет равномерным.

2) Скорость всегда величина положительная.

3) Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения

считать мгновенными.

4) Данные необходимо незамедлительно перевести в одни и те же единицы измерения.

Рассмотрим пример решения задачи на движение.

Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Полный текст статьи см. в приложении.
 

Приложения:

1. file0.docx.. 218,7 КБ

Опубликовано: 26.10.2020

Задачи на проценты, концентрации, смеси и
сплавы встречаются не только в математике, но и в
химии, где рассматриваются различные соединения.
Они вызывают затруднения у школьников, в
частности, у выпускников. Причина такой ситуации,
на мой взгляд, заключается в том, что тема
“Проценты” изучается в классах, когда
собственно математики еще нет, изучается
непродолжительно и, наконец, к задачам на
проценты не возвращаются в старших классах.
Неумение решать текстовые задачи показывает
недостаточное знание математики.

С 2004 года изменился характер текстовых задач в
КИМах ЕГЭ. Стали включаться задачи, сюжеты
которых близки к реальным ситуациям
(экономическим, финансовым, деловым, игровым, и
пр.) Решение этих задач основывается на
использовании различных математических моделей:
уравнений, неравенств, их систем с привлечением
процентов, арифметической и геометрической
прогрессий, производной и др. В прошлом году в
таких задачах были представлены различные типы
сюжетов: “на сплавы и смеси”, “на
концентрацию”, “на покупки”, “на проценты”.

При решении задач на проценты необходимо уметь
находить процент от числа, число по его проценту,
процентное отношение. Основная трудность лежит
при решении задач на сложные проценты –
проценты, начисляемые на процентные деньги.

Задача 1. (демонстр. вариант 2005 г.) Торговая
база закупила у изготовителя партию альбомов и
поставила ее магазину по оптовой цене, которая на
30% больше цены изготовителя. Магазин установил
розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При
распродаже в конце сезона магазин снизил
розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей
больше заплатил покупатель по сравнению с ценой
изготовителя, если на распродаже он приобрел
альбом за 70,2 рб?

Решение. Пусть а – цена изготовителя.
Тогда оптовая цена 1 альбома 1,3а, т.к. она
больше цены изготовителя на 30%. Находим розничную
цену альбома: она на 20% выше оптовой. Тогда в
магазине 1 альбом стоит 1,56а р. При распродаже
цена снизилась на 10%. т.е. на 0,156а р. Получаем
цену альбома после снижения 1,404а р., а это
составляет 70,2 рубля. Решая уравнение 1,404а=70,2,
находим, что цена изготовителя равна 50 рб.
Покупатель заплатил на 20,2 рб больше по сравнению
с ценой изготовителя.

Ответ. на 20,2 рубля.

Задача 2. (демонстр. вариант 2006 г.) По
пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых.
По истечении каждого года эти проценты
капитализируется, т.е. начисленная сумма
присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был
открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и
с которого не снимали деньги в течении 3 лет.
Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение. В конце первого года сумма
составляет 55000 рб. Теперь начисляем 10 % от этой
суммы и получаем сумму в конце второго года 60500
рб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110%
от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении
всего срока доход составляет 16550 рублей.

Ответ. 16550 рб.

Задача 3. Женя за весну похудел на 20%, потом
поправился за лето на 30%, за осень опять похудел
на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за
этот год его вес прежним?

Решение. Если Женя весил х кг, то после
уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8х кг, а
после увеличения веса на 30% — 0,8х*1,3 кг и т.д., в
итоге Женя весил 0,8х*1,3*0,8*1,1, или 0,9152х кг, что
меньше х кг. Значит, Женя похудел.

Ответ. Нет.

Задача 4. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды.
Когда он немного усох, содержание воды в нем
уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение. Масса “сухого вещества” арбуза
составляла 100-99=1 (%) . Это 20*0,01=0,2 (кг). Т.е. те же самые
0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем
эту новую массу: 0,2:0,02=10 (кг)

Ответ. 10 кг.

Задача 5. Производительность труда повысили
на 25%. На сколько процентов уменьшится время
выполнения задания?

Решение. Пусть раньше производили х деталей
за смену, а стали производить х+0,25х=1025х=5/4х
деталей за смену. С новой производительностью
труда можно произвести прежнее число деталей за
4/5 смены, т.е. время выполнения задания уменьшится
на 1/5, или на 20% .

Ответ. На 20%.

Для решения задач на смеси и сплавы, на
концентрации нужно уметь рассуждать и решать
задачи на дроби и проценты, на составление
уравнений и их систем. Эти задачи решаются
арифметически, применением линейного уравнения
и их систем.

Рассмотрим задачи, решаемые арифметическим
способом.

Задача 6. Даны два куска с различным
содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20%
олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова.
Сколько процентов олова будет содержать сплав,
полученный из этих кусков?

Решение. До сплавления в двух кусках было
300*20/100+200*40/100=140 г олова. После сплавления кусок
массой 200+300=500 г будет содержать 140*100/500 (%) = 28(%)
олова.

Ответ. 28%.

Задача 7. В 2 л водного раствора, содержащего 60%
кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите
процентное содержание кислоты в новом растворе.

Решение. Ответ можно получить по формуле р=

В данной задаче объем раствора увеличился в 3
раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому
процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3
раза: 60:3=20(%)

Ответ. 20%

Теперь рассмотрим задачи, которые решаются
применением уравнения.

Задача 8. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го
раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го
раствора кислоты?

Решение. Пусть надо взять х л первого
раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет
взято или 0,1*4=0,4, или 0,

05х+0,25*(4-х) л. Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4.

Это уравнение имеет единственный корень х=3.
Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и
4-3=1 л второго.

Ответ. 3 л первого и 1 л второго.

Задача 9. Имеется два сплава золота и серебра:
в одном массы этих металлов находятся в
отношении 2 : 3, в другом — в отношении 3 : 7. Сколько
кг нужно взять от каждого сплава, в котором
золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?

Решение Пусть нужно взять х кг первого и (8-х)
кг второго сплава. Выразим через х массу золота в
новом сплаве:

2/5 х + 3/10 х (8-х) = 0,1х +2,4 кг. Выразим через х массу
серебра в новом сплаве: 3/5 х+7(8-х)/10=5,6-0,1х кг.
Пользуясь тем, что массы золота и серебра в новом
сплаве находятся в отношении 5 : 11, составим
уравнение:

Ответ.От первого сплава надо взять 1 кг, а от
второго 7 кг.

Рассмотрим задачу, которая решается с помощью
систем линейных уравнений.

Задача 10. Имеется 2 раствора поваренной соли
разной концентрации. Если слить вместе 100г
первого раствора и 200г второго раствора, то
получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г
первого раствора и 200 г второго, то получится
42%-ный раствор. Найти концентрацию второго
раствора.

Решение. Пусть процентное содержание соли в
первом и втором растворах p% и q% соответственно,
тогда по условиям задачи можно составить два
уравнения:

100 p/100 + 200 q/100=50*(100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42*(300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим
p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго
раствора равна 60%

Ответ. 60%

Знания всех способов решения помогают
устранить пробелы данной темы. Учителя
математики знают, что выпускники должны
необходимо справиться с заданиями второй части
ЕГЭ, куда включаются текстовые задачи. По
сравнению с 2004 г. наблюдается положительная
динамика (2004г-20.3%, прошлогодний результат – 28,9%).
Отрадно отметить, что улучшается уровень знаний,
умение решать текстовые задачи.