Решение треугольников егэ презентация - Exhelper.top

Слайд 1

«Геометрия – витамин мозга» И. Ф. Шарыгин Треугольники

Слайд 2

Задача 2748. В треугольнике АВС АВ = ВС = АС = 2 . Найдите высоту СН. А С В Н Дано: ∆АВС, АВ = ВС = АС = 2 , СН — высота. Найдите: СН. — О какой геометрической фигуре идет речь в задаче? — Чтонам о нем известно? — Что надо найти? — Какие треугольники образует высота со сторонами данного треугольника? — Как называется сторона СН треугольника АСН? — Какую теорему применяем для нахождения катета прямоугольного треугольника? — Что надо знать, чтобы найти катет прямоугольного треугольника? — Что мы знаем о высоте, проведенной к стороне равностороннего треугольника? — В качестве чего, биссектрисы или медианы, нас интересует высота СН? — Что мы знаем о медиане треугольника? — Сможем ли мы найти отрезок АН? Решение: Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, т. к. СН – высота по условию. Так как ∆АСВ по условию равносторонний, то СН – медиана. Значит, АН = . По теореме Пифагора , СН = 3. Ответ: 3.

Слайд 3

Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека. Джорж Бернард Шоу ДьердьПойа Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Источник

1. Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ

2. Содержание

1. Справочная информация.
2. Задания диагностических работ по типу ЕГЭ:
— В 4;
— В4; для самостоятельного решения
— В 6;
— В 6; для самостоятельного решения
— В 11;
— В 11; для самостоятельного решения
— С 2;
— С 2; для самостоятельного решения

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

треугольники
четырехугольники
правильные
многоугольники
окружность
векторы

5.

Справочные сведения
Треугольники
Прямоугольный треугольник
Решение прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора: с 2 а 2 b 2
А
b c
sin
М
a
В
С
a
b
h
c
a
;
c
b
cos ;
c
tg
a
,
b
где а – катет, противолежащий α; b — катет, прилежащий к α.
Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
h 2 ca cb ;
b 2 cb c
а 2 са с;
са , сb — проекции катетов на гипотенузу.
Площадь прямоугольного треугольника:
b
а
R
r
R
1
c
2
r
a b c
2
S
ab
2

6.

Справочные сведения
Треугольники
Равнобедренный треугольник
h
Медиана, биссектриса и высота,
проведённые к основанию, совпадают.
Высоты, проведённые к боковым сторонам,
равны;
медианы, проведённые к боковым сторонам,
равны;
биссектрисы углов при основании равны.

7. Справочные сведения Треугольники

Произвольный треугольник
Площадь треугольника:
с
b
S
h
1
a b sin ;
2
S
S = p ∙ r;
abc
;
4R
S p ( p a) ( p b) ( p c) ,
S
1
a h
2
где р – полупериметр
a
0
Сумма углов в треугольнике: А В С 180
a
b
c
Теорема синусов:
А
b
c
C
sin A
a
B
R
r
sin B
sin C
2
2
2
Теорема косинусов: с a b 2ab sin
R
abc
4S
r
2S
p

8.

Справочные сведения
Треугольники
А
С
В
Подобие треугольников
в подобных треугольниках
AB BC AC
DE EF DF
D
F
В
А
О
l
a
x
(соответствующие стороны лежат против равных углов)
E
c
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении
А1 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1 = 2 : 1)
С
b
y
АА1
1
2 АС 2 2 АВ 2 ВС 2
2
Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам (а : b = x : y).
2ab cos
2
Длина биссектрисы l ab xy
lc
a b

9.

Справочные сведения
Четырехугольники
Параллелограмм
Свойства
ABCD – параллелограмм
С AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD,
В
A C , B D
О
A B B C C D A D 1800 ,
φ
α
A
AO = OC, BO = OD,
D
2 ( AB2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
Признаки
AB CD, BC AD ABCD – параллелограмм;
AO = OC, BO = OD ABCD – параллелограмм;
AB = CD, BC = AD ABCD – параллелограмм;
AB = CD, AB CD ABCD – параллелограмм;
BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм
Площадь:
1
S aha ;
2
S ab sin ;
S
1
d 1 d 2 sin
2

10.

Справочные сведения
Четырехугольники
Прямоугольник
В
С
О
A
D
Свойства
ABCD – прямоугольник
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD;
А С В D 900 ;
AO = BO = CO = DO
(О – центр описанной окружности, ОА = R).
Признаки
ABCD – параллелограмм, АС = BD ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм, А 90 0
Площадь
S ab
S
ABCD – прямоугольник.
1 2
d sin
2

11.

Справочные сведения
Четырехугольники
Ромб
В
А
О
h
α
С
Свойства
ABCD – ромб
AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
0
A C , B D ; A B B C C D A D 180 ,
АС ВD , АО = ОС, ВО = ОD;
ВАО DAO, ABO CBO , BCO DCO, ADO CDO
a
D
Признаки
AB = CD, BC = AD ABCD – ромб
ABCD – параллелограмм, АС BD ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм, ВАО DAO ABCD – ромб
Площадь
S aha ,
S a 2 sin ,
S
d1 d 2
.
2

12.

Справочные сведения
Четырехугольники
Квадрат
Свойства
С ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
А С В D 900 ; АС ВD , AO = BO = CO = DO;
В
а
О
ВАО АВО СВО ВСО DCO CDO ADO DAO 450
d
A
D
Признаки
ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат;
0
ABCD – ромб, А 90 ABCD – квадрат.
Площадь
2
S a
2
d
S
2

13.

Справочные сведения
Четырехугольники
Произвольная трапеция
B
C
O
φ
A
D
Треугольники AOD и СОВ подобны.
Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны)
1
S d1d 2 sin
Площадь трапеции:
2
a
m
h
Площадь трапеции:
b
c
Средняя линия трапеции:
S
m
a b
2
a b
h m h
2
Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная.
В описанной около окружности трапеции:
высота равна диаметру: h = 2 r;
b
сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d;
r
d
полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m;
a
(боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).

14.

Справочные сведения
Четырехугольники
Равнобедренная трапеция
В
С
A
Углы при оснований равны: А D, B C
D
B
C
O
A
D
B
C
h
m
A
H
Диагонали равны: АС = ВD;
отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO;
углы, образованные основанием и диагоналями, равны:
CAD ADB, DBC ACB
Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание
на отрезки, равные a b и a b
(если ВН – высота, то DH = m, где m –
2
2
средняя линия).
D
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота,
проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае
площадь трапеции можно найти по формуле: S h 2 m 2

15.

Справочные сведения
Правильные многоугольники
Сумма углов многоугольника
В выпуклом многоугольнике сумма углов равна 1800 (т 2),
где n – число сторон (вершин) многоугольника.
Свойства правильного многоугольника
Все стороны равны, все углы равны,
О – центр вписанной и описанной окружностей,
R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла,
r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном
перпендикуляре к стороне.
О
R
r
A
B
1 3600 : n,
1
2
3
Центральный угол:
0
Внутренний угол: 2 180 (n 2) ,
n
Внешний угол равен центральному углу: 3 3600 : n.
a2 3
S3
4

16.

Справочные сведения
Правильные многоугольники
Примеры равнобедренных треугольников,
боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два
радиуса или равные диагонали:
d
a
R
R
R
r
r
R
a
Примеры прямоугольных треугольников
(вписанный угол опирается на диаметр)
d

17.

Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен
этой хорде.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
.
.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен
касательной.
.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного
касательными, проведёнными из одной точки.
.
.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен
90
0

18.

Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги,
на которую он опирается.
m
m
n
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
n
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.

19.

Справочные сведения
Окружность
Окружность, вписанная в треугольник
Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её
касания со стороной, перпендикулярен этой стороне.
Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до
точек касания равны между собой.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе
угла, образованного двумя сторонами.

20.

Справочные сведения
Окружность
Окружность, описанная около треугольника
Центр описанной окружности лежит на серединном
перпендикуляре к любой из сторон треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в
окружность, то его гипотенуза является диаметром
окружности.
Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза
меньше центрального угла, опирающегося на ту же
дугу, и равен любому другому вписанному углу,
опирающемуся на ту же дугу.

21.

Справочные сведения
Векторы
Сложение и вычитание векторов
В
В
A
CA
С
D
Правило треугольника: АВ ВС АС;
Правило параллелограмма: AB AD AC
D
Сумма нескольких векторов:
A
А
В
В
О
А
А
AD a b c
Вычитание векторов: ОА ВА ОВ
О
Скалярное произведение векторов:
a b a b cos ab ;
а
b
В координатах: a x1; y1 , b x2 ; y2 a b x1 x2 y1 y2

22. Треугольники

Диагностическая работа ЕГЭ (19. 11.2015)
1. В треугольнике АВС С 90, 0
АВ= 30, АС 3 19 . Найдите sin А.
А
2. В треугольнике АВС С 90
,0
20
АВ =29,cos B
. Найдите АС.
А
ВС АВ 2 АС 2 30 2 (3 19 ) 2 27
30
3 19
С
В sin A
20
29
BC 20
BC BC
cos B
AB 29
cos B
29
29
cos B
20
29
С
АС 29 2 20 2 9 49 21.
В
С
3. В треугольнике АВС АС=ВС,
3
tgA
АВ = 8,
. Найдите высоту СН.
4
3
4
CH 3
CH
CH
CH
tgA
AH 0,5 AB
4
tgA
tgA
В
4. В равнобедренном треугольнике АВС
с основанием АС боковая сторона АВ =
10, а высота, проведённая к основанию,
равна 2 21 . Найдите косинус угла А.
8 Н
3
4
В
10
А
АН АВ 2 ВН 2 102 (2 21) 2 4
cos A
2 21
?
А
BC 27
0,9
AB 30
Н
С
АH 4
0,4
AB 10

23. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая
8
сторона АВ = 17, cos A
. Найдите высоту, проведённую к
17
основанию.
15
0
6. В треугольнике АВС С 90 , АВ= 14, АС = 7 3 .
Найдите sin А.
0,5
7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая
сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна 19 .
Найдите косинус угла А.
0,9
8. В треугольнике АВС
Найдите АВ.
С 900 , sin A
8
, AC 2 17 .
9
18

24. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см
изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение:S
1
a ha
2
1.
S
1
6 5 15
2
S
1
9 4 18
2
S
1
3 8 12
2
S
1
4 6 12
2
2.
3.
4.

25. Треу0гольники Диагностическая работа ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером
1х1 см изображён треугольник. Найдите его
площадь.
5.
Решение
S S1 S2
S2
1
6 6 18
2
1
S2 2 ( 5 1) 1 6
2
S1
S1
S 18 6 12
S S1 S2
6.
1
6 4 12
2
1
S2 6 2 6
2
S1
S1
S2
S 12 6 6
7.
S2
S1
S S1 S2
S1
1
6 6 18
2
1
S 2 2 ( 5 1) 1 6
2
S 18 6 12

26. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ

Найдите площадь треугольника, изображённого на
рисунке.
8.
1
a ha
2
У
S
5
2
6
У
1
S 5 3 7,5
2
2
0
1
4 3 6
2
Х
0
10.
S
5
2
9.
Решение:
Х
1
6
У
4
S
1
0
1
3
9
Х
1
6 3 9
2

27. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

Найти площадь треугольника
Ответы
11.
7,5
12.
12
13.
У
3
15
0
2
1
3
7
Х

28. Треугольники

1. Площадь параллелограмма АВСD равна 16, диагональ АС равна 2, ACD 45 0.
Найдите сторону ВС.
Решение:
1. SACD = 0,5∙SABCD = 0,5∙16 = 8
1
2
2
2
СD
8
CD
8
:
8 2.
В
С
0
2
2
2
SACD = 0,5∙AC∙CD∙sin 45
45
2
0
8 2
А
D
2. По свойству параллелограмма: ВC = AD
AD 2 AC 2 DC 2 2 AC DC cos C
По теореме косинусов:
AD 2 2 2 (8 2 ) 2 2 2 8 2 cos 45 0
AD 2 4 128 32
AD 2 100
AD 10
AD 10
-10 не удовлетворяет смыслу задачи.
Ответ: 10.

29. Треугольники Задачи 11 (ЕГЭ 2015) для самостоятельного решения

1. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника
АВС. Найдите площадь треугольника АОС, если известно, что ВС = 6,
АСВ 150 , САВ 300.
(Ответ: 18)
2. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1,
вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол.
Найдите периметр квадрата.
(Ответ: 2)
3. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,8, а
радиус вписанной окружности равен 6. Найдите периметр данного
треугольника.
(Ответ: 64)
4. В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АС медиана ВМ и
высота СН пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АВС,
если известно, что СК = 1, а косинус угла при вершине В равен 0,8.
(Ответ:2,7)

30. Диагностическая работа ЕГЭ

С -2.1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1C1D1, у которого AB = 6,
BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АCD1 и А1В1С1.
D1
С1
А1
В1
Решение:
1) Вместо плоскости А1В1С1 возьмём параллельную ей
плоскость АВС.
4
D
С
Е
А
6
В
6
2) Пусть Е – середина АС.
D1 E AC, DE AC DED1
3) Из прямоугольного треугольника D1DE находим:
Ответ: 2 2
.
3
— линейный угол искомого угла.
tg DED1
DD1
4
2 2
.
DE 3 2
3

31. Тренировочный вариант

С – 2.2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
плоскостью А1ВС и прямой ВС1, если АА1 = 8, АВ = 6, ВС = 15.
D1
Н
А1
24
5
С1
D
В1
8
А
С
17
2) Из точки С1 проведём перпендикуляр С1Н к СD1.
ВН – проекция ВС1 на плоскость А1ВС.
Значит, нужно найти угол С1ВН.
3) В прямоугольном Δ D1C1C находим:
15
6
Решение:
1) Сечение плоскостью А1ВС есть прямоугольник A1BCD1.
НС1
В
4) В прямоугольном Δ ВC1C находим:
D1C1 C1C
6 8
48 24
.
D1C
64 36 10 5
ВС1 ВС 2 СС1
5) В прямоугольном Δ ВНC1 находим:
Ответ: arcsin
24
.
85
sin B
2
225 64 17.
C1 H 24
24
: 17 .
BC1
5
85

32. Диагностическая работа ЕГЭ

С – 2.3 В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние
от точки С до прямой АD1.
С1
D1
А1
А
Решение:
1) Построим отрезки СD1 и АС.
2
H
2
2) Искомое расстояние равно длине
D
С
2
перпендикуляра СН, проведённого к прямой АD1.
В
Этот перпендикуляр является медианой
равностороннего треугольника АСD1 со стороной
В1
АС АВ 2 ВС 2 1 1 2.
3)
2
2
1
3
6
2
2
2
СН АС АН 2
0,5 6.
2
2
2
2
Ответ:
0,5 6.

33. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

С – 2.4 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
плоскостью АА1С и прямой ВА1 , если АА1 = 3, АВ = 4, ВС = 4.
Ответ:
arcsin
2 2
.
5
С – 2.5 В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до
прямой ВD1.
Ответ:
6
.
3
С – 2.6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC =
6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1.
Ответ:
3 2
2

34. 35. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 42 2 3 4 cos 600
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
АС 2 13
4
АС 13
А
?13
13
С
13
1
2

36.

А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
AC 3
sin B
0,6
AB 5
5
3
С
CB 4
cos B
0,8
AB 5
4
В

37. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 42 2 3 4 cos 600
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
АС 2 13
4
АС 13
А
?13
13
С
13
1
2

38.

А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
AC 3
sin B
0,6
AB 5
5
3
С
CB 4
cos B
0,8
AB 5
4
В

39. Теорема Пифагора

А
С 2 а 2 b2
В
С
А
АВ АС 2 ВС 2 9 16 5.
?
3
С
В
4
А
9
СВ АВ2 АС 2 81 36 45 3 5.
6
С
?
В

40.

AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
А
В
С
А
AC 3
sin B
0,6
AB 5
5
3
С
CB 4
cos B
0,8
AB 5
4
В

Источник

Слайд 1Треугольник.
9 задач с решением для подготовки к ЕГЭ.
.
Автор проекта учитель

математики MOУ СОШ №96
Сосна Ольга Александровна.

Треугольник.
9 задач с решением для подготовки к ЕГЭ. . Автор проекта учитель математики MOУ СОШ

Слайд 2Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли.

Решить задачу – это значит пережить приключение.

В. Произволов

Слайд 3Аннотация к работе.

Цель моей работы — помочь

учащимся подготовиться к итоговой аттестации. Для успешного выполнения экзаменационных заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый практический опыт .
Работа может быть полезна учащимся не только 9 класса, но и 8 и 10 классов, которые в будущем будут сдавать ЕГЭ.
Кроме того презентация послужит хорошим подспорьем для учителей математики при проведении уроков по темам , связанным с треугольником.
Текст на слайдах появляется по щелчку мышки, есть время подумать над задачей , проанализировать условие, потом сравнить свое решение с предложенным.
Презентация содержит историческую справку о треугольниках и краткий справочный материал.

Слайд 4Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Задача №6
Задача №7
Задача №8
Задача №9

Содержание

Исторические сведения

Справочный материал

Слайд 5Задача №1
Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м..

Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла.

Дано:

ABC — треугольник

AB = 12 м.

BC = 16 м.

AC = 20 м.

Найти:

Слайд 6Решение задачи №1:
A
B
C
D
12
16
20
X
2.AD = X
20 — X
3.DC = 20 —

Слайд 7Решение задачи №1:

A
B
D
4.Рассмотрим треугольник ABD и ВDC
C
B

Слайд 8144 – 20X = 0
7,5 – X = 0
X

= 7,2

BD = 9,6

Решение задачи №1:

Слайд 9Задача №2
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета

на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Дано:

MCN – вписанный треугольник

MC = 15

Найти:

DN = 16 (проекция CN)

Слайд 10Решение задачи №2:

M
C
N
D
15
16
d
d = MN = MD + DN
MD = x
x
d

= x + DN

CD = 15 — x
CD = 16 x

Слайд 11Решение задачи №2:
D = 256 + 900 = 1156
d =

Слайд 12Задача №3
Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на

отрезки СМ=10 и МВ = 14, АВ=21. Найдите радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности.

Дано:
CM=10, MB=14,
AB=21
Найти : R

Слайд 13Решение задачи №3:
M
14
10
21
1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части,

пропорциональные прилежащим сторонам.

AC= 15

p= 30

Слайд 14Задача №4:
Дано:
∆ ABC,
H
BH= 12, BH ⊥ AC,

Найти: r
Найдите радиус окружности,

вписанной в остроугольный треугольник ABC, если

высота BH равна 12 и известно , что

О – центр , вписанной окружности

Слайд 15
Решение задачи №4:
4. HC² = BC² — BH² = 225 –

144 = 81
HC = 9

5. AH² = AB² — BH² = 25
AH = 5

6. AC = AH + HC = 14

Ответ : r = 4

Слайд 16Задача №5
Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом

при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Дано:
Δ АВС, АС- основание,
∠ВАС=75°, О – центр описанной
окружности,
S ΔBОC=16.
Найти: R.

Слайд 17Решение задачи №5

В
А
С
О
D
1.Треугольник по условию равнобедренный,
проведем высоту BD, она является

и медианой,
Поэтому точка О принадлежит BD.

2. ОВ=ОС =R, SΔBOC= 1/2ВО*ОС*sin∠BOC

3.Треугольник вписан в окружность с центром
О, значит ∠ВОС это соответствующий
центральный угол вписанного угла А и
равен 150°

4. 16= 1/2 R*R*sin150°, sin150°=sin30°=1/2
R=8

Ответ: 8

Слайд 18Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус

описанной окружности равен 5 м.
Найдите больший катет треугольника

Задача №6

Дано:
Δ АВС, ∠С=90°
r=2 м, R=5м, О1- центр
вписанной окружности,

Найти: больший катет

Слайд 19
Решение задачи №6
О – центр описанной окружности; так как треугольник АСВ
прямоугольный,

то его гипотенуза является диаметром
окружности, угол АСB =90° и является вписанным
AB = 2R = 5 ∙ 2 = 10 м.

3. Отрезки BK и BN равны как отрезки касательных,
проведенных из одной точки,
аналогично CN = CM;
AM = AK; обозначим BK = BN = x; тогда CB = 2 + x;
AK = AM = 10 – x; AC = 12 – x.

4. По т. Пифагора AB² = CB² + AC²; 10² = (2 + x)² + (12 –x)²

2x² — 20x + 48 = 0, x² — 10x = 24 = 0,
x₁ = 6, x₂ = 4;
AC = 12- 6 = 6; CB = 2 + 6 = 8м.

Ответ: 8м.

Слайд 20Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него

окружности — 6 м.
Найдите диаметр описанной окружности.

Дано:

ABC – треугольник
P=72
∠C=90⁰
r = 6 м
Найти: d описанной окружности.

Задача №7

Слайд 21Решение задачи №7:
∆АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚,
Значит

диаметр описанной окружности совпадает с
гипотенузой т.е. d=AB

3. Обозначим отрезки BN = BK = x (OK ⊥ AB)
OK=r , ВN=ВК как отрезки касательных AM = MK = y
P ∆АВС = AC + AB + CB, но
АС = 6+у, АВ = x + у СВ = 6+х
P ∆АВС = 6+у+х+у+6+х = 12+2х+2у = 72 (по условию)
х + у = (72-12) : 2 , х + у = 30 , АВ=30

Ответ : 30

Слайд 22Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины

основания – 24 м.
Найдите площадь треугольника.

Дано:

ABC – треугольник
AB=BC
AC=3 см
AD ⊥ BC
AD=24 см
Найти: S ABC

Задача № 8

Слайд 23Решение задачи №8:
S ∆АВС = ½ AD ∙ BC
Найдём

ВС, обозначим АВ = ВС = х, тогда DB = x — DC

DB = x -18

Слайд 24Задача № 9
В равнобедренный треугольник АВС вписана
окружность. Параллельно его основанию

АС
проведена касательная к окружности, пересекающая
боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус
окружности , если DE = 8, AC = 18.

Дано:

АВС- равнобедренный,
О- центр вписанной окружности
DE⎮⎮AC, DE=8 AC=18

Найти : r

Слайд 25О

В
D
N
E
M
A
C
Решение задачи № 9
1.Четырехугольник ADEC — описанный,
все его стороны касаются

окружности с центром О. Стороны такого четырехугольника
обладают свойством DE + AC = AD + EC.

2. По условию отрезок DE параллелен АС, а
так как треугольник равнобедренный , то
AD = CE, значит DE + AC = 2AD.
Отсюда AD= 13.

3. Проведем ВМ –высоту треугольника,
она является и биссектрисой, значит центр
вписанной окружности О лежит на ВМ

4. Из вершины D и Е проведем
перпендикуляры.

6. Из треугольника ADK :
DK = 12 , DK=MN =2r ,
r = 6 .

5. KL=DE , AK =LC и AK+LC= 18-8=10
AK = 5.

Ответ : 6.

Слайд 26Исторические сведения.
Треугольник — самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из

первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

Фалес Пифагор
640/624 до н. э. прим. 570 до н. э.

Евклид II век до н. э.

Слайд 27Справочный материал
Проекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы) , соединяющий

основание перпендикуляра , опущенного из прямого угла
и конец катета, общий с гипотенузой.

Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его
вписанной окружностью

. Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его
описанной окружностью.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют
отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и
делящий угол при данной вершине пополам.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные
к основанию, совпадают.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной
точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

Источник

1

Итоговое повторение. Подготовка к ЕГЭ. Тема: Повторение «Решение треугольников» Геометрия 11 класс

2

Теорема синусов Синусы углов треугольника пропорциональны противоположным сторонам а в с С В А

3

Теорема косинусов Для треугольника АВС справедливо равенство в а А с В С

4

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольника по стороне и прил. к ней углам Решение треугольника по трем сторонам.

5

Задача 1 Задача 2

6

В ходе ведения разведки РД1 установил непроходимые участки местности. Для определения расстояния между пунктами А и В, разделенными непроходимым участком местности, построен треугольник АВС. Определить расстояние между пунктами А и В, если АС=2,8 км, ВС=3,9 км, угол С= В А С

8

75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расстоянии 75 км от станции под углом 30 градусов к поверхности Земли. Между станцией и вулканом 48 км. Определите глубину эпицентра землетрясения h. h 48 км

10

Задача 1 Задача 2 Задача 3

11

В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которыми 15 морских миль обнаружено Корабль «Адмирал Чабаненко»- L. Определите расстояние от корабля до каждого маяка, если определены углы LKM и LMK 30 и 45 градусов.

12

K L M

13

С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены углы А= и В=, обозначающие голову и хвост колонны войск противника длиной 800 м, движущейся по прямолинейному участку маршрута. Определить угол D и высоту на которой летит вертолет AD. A B D

15

Для определения расстояния от наблюдательного пункта А до центра опорного пункта подразделения противника В построен треугольник АВС. Длина АС=432 км, угол А=, угол С=. Определить расстояние от Наблюдательного пункта до центра опорного пункта подразделения противника

17

Задача 1 Задача 2

18

Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. Стороны треугольника равны соответственно 3,8 км, 1,7 км, 2,9 км. Наибольшая сторона треугольника является передним краем обороны. Определить углы между подразделениями. С ВА 1,7 км 3,8 км 2,9 км

20

Три истребителя летят клином. Между ведущим А и ведомым В 200 метров. Между ведущим А и ведомым С 350 метров. Между двумя ведомыми 300 метров. Найти углы. B C A

21

A BC

22

Продолжите фразу: «Сегодня на уроке я узнал…» «Сегодня на уроке я научился…» «Сегодня на уроке я познакомился…» «Сегодня на уроке я повторил…» «Сегодня на уроке я закрепил…»

23

Вывод к уроку «Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового возможно. Где есть желание, найдется путь!» Пойа Д.

Источник

Подписи к слайдам:

Решение заданий № 3 из сборника
ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты/ под редакцией И.В. Ященко

Автор презентации:
Фоменко В.Н.
учитель математики
МБОУ СОШ № 5
х. Савоськин

ЕГЭ – 2017

Вариант 1, стр. 12

Решение. Теорема. Площадь треугольника равна
половине произведения его основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена
высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота
(синяя линия); h – высота треугольника
(красная линия).
S = ½*5*6=15
Ответ: 15.

Задание 3.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

Вариант 2, стр. 17

Решение.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*2*6=6
Ответ: 6.

Задание 3.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

Вариант 3, стр. 22

Решение.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*3*6=9
Ответ: 9.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

Вариант 4, стр. 27

Решение.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*4*6=12
Ответ: 12.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Вариант 5, стр. 27

Решение.
Теорема. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=½d1d2,
где d1 и d2 – длины диагоналей.
S = ½*4*6=12
Ответ: 12.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб.
Найдите его площадь.

Вариант 6, стр. 37

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб.
Найдите его площадь.

Решение. Теорема. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=½d1d2,
где d1 и d2 – длины диагоналей.
S = ½*4*12=24
Ответ: 24.

Вариант 7, стр. 42

Решение. Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Площадь трапеции будем искать по формуле S=½(a+с)h,
где a и с – длины оснований, h – высота трапеции.
S = ½*(3+8)*3=16,5
Ответ: 16,5.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображёна трапеция.
Найдите её площадь.

Вариант 8, стр. 47

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб.
Найдите его площадь.

Решение. Теорема. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=½d1d2,
где d1 и d2 – длины диагоналей.
S = ½*2*10=10
Ответ: 10.

Вариант 9, стр. 52

Решение.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Площадь трапеции будем искать по формуле S=½(a+с)h,
где a и с – длины оснований, h – высота трапеции.
S = ½*(2+5)*4=14
Ответ: 14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображёна трапеция.
Найдите её площадь.

Вариант 10, стр. 56

Решение.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*3*4=6
Ответ: 6.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

Вариант 11, стр. 62

Решение.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена
высота (синяя линия);
h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*2*3=3
Ответ: 3.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

Вариант 12,стр. 67. Задание 3.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.
Площадь трапеции будем искать как произведение полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – основания трапеции; h – высота трапеции.
Ниже на рисунке синими линиями показаны основания,
а красной линией – высота.

S=½(6+2)*3=12
Ответ. 12.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-4=6,
второе основание b=4-2=2 и высота h=6-3=3.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Вариант 13, стр. 72.
Задание 3.

Решение.
Площадь трапеции будем искать как произведение полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – основания трапеции; h – высота трапеции.
Ниже на рисунке синими линиями показаны основания,
а красной линией – высота.

S=½(9+5)*7=49
Ответ. 49.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-1=9,
второе основание b=7-2=5 и высота h=8-1=7.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 1), (10; 1), (7; 8), (2; 8).

Вариант 14, стр. 77.
Задание 3.

Решение.
Площадь трапеции будем искать как произведение полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – основания трапеции; h – высота трапеции.
Ниже на рисунке синими линиями показаны основания,
а красной линией – высота.

S=½(4+2)*3=9
Ответ. 9.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-6=4,
второе основание b=4-2=2 и высота h=6-3=3.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Вариант 15, стр. 82.
Задание 3.

Решение.
Площадь трапеции будем искать как произведение полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – длины оснований трапеции; h – высота трапеции.

S=½(6+2)*5=20
Ответ. 20.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-4=6,
второе основание b=3-1=2 и высота h=6-1=5.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Вариант 16, стр. 86.
Задание 3.

Решение.
Определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Найдите тангенс угла АОВ.

Ответ. 4.

Вариант 17, стр. 91.
Задание 3.

Решение.
Площадь треугольника найдем как
произведение половины его высоты
на основание.
Из рисунка видно, что высота равна 5,
а основание 6, следовательно, его площадь S=½h*a=½*5*6=15
Ответ: 15.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Вариант 18, стр. 96.
Задание 3.

Решение.
Вычислим площадь фигуры путем вычитания из площади прямоугольника площадей четырех треугольников, изображенных на рисунке ниже.

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площади малых треугольников вычислим по формуле
где — a и b — длины сторон треугольника; α — угол между
этими сторонами.
Сторона a=5. Сторона b равна сумме трех диагоналей квадратов по 1х1 см,
т.е. равна 3√2.

Угол между сторонами, очевидно, равен 45 градусов и .
Таким образом, площади малых треугольников равны

Площади больших треугольников найдем по формуле

2*(S1+S2) =2*7,5+2*18=15+36=51, прямоугольник — квадрат со стороной
9 см, площадь квадрата S=a2=92=81, следовательно площадь искомой фигуры равна 81 — 51 = 30.
Ответ. 30.

Вариант 19, стр. 101.
Задание 3.

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см X 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1 см

Решение.
1 способ. Здесь можно рассуждать так. Площадь изображенного параллелограмма
равна площади эквивалентного прямоугольника, если углы у данного параллелограмма
выпрямить. Соответственно, получаем значение площади S=3*5=15.
Ответ: 15.
2 способ. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
S=a*h. Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание.
S=3*5=15
Ответ. 15.

Вариант 20, стр. 106.
Задание 3.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (10;6), (4;8).

Решение.
Площадь треугольника будем искать по формуле
где a — длина основания; h — высота треугольника.
Из рисунка видно, что a =10 — 1 = 9, h = 8 — 6 = 2 , и площадь равна
Ответ: 9.

Вариант 21, стр. 111.
Задание 3.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь треугольника будем искать по формуле
где a — длина основания; h — высота треугольника.
Из рисунка видно, что a = 6, h = 6, и площадь равна
Ответ: 18.

Вариант 22, стр. 116.
Задание 3.

Решение.
Площадь круга можно найти по формуле S=πr2.
Из рисунка видно, что радиус большого круга, rб=4, больше радиуса малого (не закрашенного) круга, rм=1, в 4 раза, следовательно, площадь большого круга будет больше площади малого круга в

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 46.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Таким образом, площадь большого круга равна 46*16=736,
а площадь заштрихованной фигуры 736 — 46 = 690.
Ответ: 690.

Вариант 23, стр. 121.
Задание 3.

Решение.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. На рисунке ниже противолежащий катет (красная линия) равен 4 клетки, а прилежащий катет (синяя линия) – 5 клеток.

Найдите тангенс угла АОВ.

Ответ. 0,8.

Вариант 24, стр. 125.
Задание 3.

Решение.
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Отрезки EF, FD и DE — средние линии треугольника АВС.
По теореме о средней линии:

Ответ. 4.

Периметр треугольника ABC равен 8. Найдите периметр треугольника FDE, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

PFDE=EF+FD+DE=½AB+½CB+½AC=½(AB+CB+AC)=½PABC=8÷2=4

Вариант 25, стр. 130.
Задание 3.

Решение.
Свойство площадей:
если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
Трапеции состоит из двух прямоугольных
треугольников с катетами (4 см и 3 см) и
(2 см и 4 см) и квадрата со стороной 4 см.
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
.

Ответ. 26.

S=S1+S2+S3=6+4+16=26.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рисунок).
Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Вариант 26, стр. 135.
Задание 3.

Решение.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (4;7), (9;9).

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Из рисунка видно, что высота h = 9 — 7 = 2 единицам, основание a = 4 — 1 = 3 единицам.
Площадь равна
Ответ: 3.

Вариант 27, стр. 140

Решение.
Свойство площадей: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Трапеции состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами (2 см и 3 см) и (2 см и 2 см) и прямоугольника, смежные стороны которого равны 2 см и 4 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Задание 3.

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=S1+S2+S3=3+2+8=13.

Ответ. 13.

Вариант 32, стр. 163
Задание 3.

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см X 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Ответ: 24.

Вариант 34, стр. 173
Задание 3.

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Ответ: 25.

Вариант 36, стр. 183
Задание 3.

На клетчатой бумаге с размером клеток 1 см х 1 см изображён четырёхугольник ABCD. Найдите диагональ BD.

Решение.
Диагональ BD найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника,
показанного на рисунке ниже.

Катеты равны 3 и 4 см соответственно, следовательно, диагональ BD равна
Ответ: 5.

Интернет — ресурсы:

http://pedsovet.su
self-edu.ru

Источник

Слайд 1Задачи планиметрии
Профильный уровень

Учитель математики
МАОУ «Обдорская гимназия»
г. Салехард

ЯНАО
Е.И. Гусак

Слайд 2Треугольники в ЕГЭ по математике ЗАДАЧА № 16

Слайд 3Ключевая задача

Доказать, что если медиана, проведенная к гипотенузе,

равна ее половине, то треугольник прямоугольный.

Слайд 4
Доказать, что если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна

ее половине, то треугольник прямоугольный.

Доказательство.

Следовательно, △АВС – прямоугольный.

Слайд 8Ключевая задача
Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами

АВ = 18, ВС = 15, АС = 12.

Слайд 9Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами АВ

= 18, ВС = 15, АС = 12.

С В
К

Слайд 14Ключевая задача
Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла,

если гипотенуза равна 12.

Слайд 15
Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла, если

гипотенуза равна 12.

Решение.
По свойству медианы:
медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

Следовательно, медиана равна 6.
Ответ: 6.

вспомним

Слайд 16Ключевая задача
Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и

равны 3 и 6.

Слайд 17
Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и равны

3 и 6.

Слайд 18Задача профильного уровня
Окружность с центром в точке О касается

боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС

и основания ВС в точке N. Точка М – середина ВС.
a)Доказать, что AN = ОМ.
б)Найти ОМ, если АВ = 13, ВС = 24.

Слайд 19
Окружность с центром в точке О касается боковой стороны

АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС и основания

ВС в точке N. Точка М – середина ВС.
a)Доказать, что AN = ОМ.
б)Найти ОМ, если АВ = 13, ВС = 24.

Слайд 20Окружность с центром в точке О касается боковой стороны

АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС и основания

ВС в точке N. Точка М – середина ВС.
a)Доказать, что AN = ОМ.
б)Найти ОМ, если АВ = 13, ВС = 24

Слайд 23Ключевая задача
На отрезке АС, равном 10, взяты точки М

и К так , что АК = 8, СМ =

6. Найти МК.

Слайд 24На отрезке АС, равном 10, взяты точки М и

К так , что АК = 8, СМ = 6.

Найти МК.

Слайд 25Ключевая задача
На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты

точки М и К соответственно. Найти площадь △ВМК, если площадь

△АВС равна 24.

Слайд 26

На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты точки

М и К соответственно. Найти площадь △ВМК, если площадь △АВС

равна 24.

Слайд 30Ключевая задача
В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ =

2, ВС = 3, АС = 3. Найти АМ, МС.

Слайд 31
В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ = 2,

ВС = 3, АС = 3. Найти АМ, МС.

Слайд 32Ключевая задача
В треугольнике АВС прямая МК пересекает стороны АС

и ВС так, что СК = 6, КВ = 3,

СМ = 4, МА = 2.
Докажите, что прямая МК параллельна АВ.

Слайд 33
В треугольнике АВС прямая МК пересекает стороны АС и

ВС так, что СК = 6, КВ = 3, СМ

= 4, МА= 2. Докажите, что прямая МК параллельна АВ.

Слайд 39Спасибо за внимание!
Удачи на ЕГЭ.

Слайд 40Вспомним!!!
Теорема, обратная теореме Фалеса.
Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают

на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные)

между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

прямоугольном △ АВС из вершины прямого угла С проведем к

гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.
2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC ⇒ ∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в △АВС ∠B=90º- α.
4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.
∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B ⇒ BOC — равнобедренный с основанием BC. Отсюда BO=CO.

Источник

Слайд 2

Задача 2748.
В треугольнике АВС АВ = ВС = АС = 2 .

Найдите высоту СН.

А
С
В
Н

Дано:
∆АВС,
АВ = ВС = АС = 2 ,
СН — высота.
Найдите: СН.
— О какой геометрической фигуре идет речь в задаче?
— Чтонам о нем известно?
— Что надо найти?
— Какие треугольники образует высота со сторонами данного треугольника?
— Как называется сторона СН треугольника АСН?
— Какую теорему применяем для нахождения катета прямоугольного треугольника?
— Что надо знать, чтобы найти катет прямоугольного треугольника?
— Что мы знаем о высоте, проведенной к стороне равностороннего треугольника?
— В качестве чего, биссектрисы или медианы, нас интересует высота СН?
— Что мы знаем о медиане треугольника?
— Сможем ли мы найти отрезок АН?
Решение:
Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, т. к. СН – высота по условию. Так как ∆АСВ по условию равносторонний, то СН – медиана. Значит, АН = .
По теореме Пифагора , СН = 3.

Ответ: 3.

Источник

1. Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ

2. Содержание

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

5.

6.

7. Справочные сведения Треугольники

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. Треугольники

23. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

24. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ

25. Треу0гольники Диагностическая работа ЕГЭ

26. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ

27. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

28. Треугольники

29. Треугольники Задачи 11 (ЕГЭ 2015) для самостоятельного решения

30. Диагностическая работа ЕГЭ

31. Тренировочный вариант

32. Диагностическая работа ЕГЭ

33. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

34.

35. Теорема косинусов

36.

37. Теорема косинусов

38.

39. Теорема Пифагора

40.

Слайд 1Треугольник. 9 задач с решением для подготовки к ЕГЭ..Автор проекта учитель

Слайд 2Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли.

Слайд 3Аннотация к работе. Цель моей работы — помочь

Слайд 4Задача №1Задача №2Задача №3 Задача №4Задача №5Задача №6Задача №7Задача №8Задача №9 Содержание

Слайд 5Задача №1 Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м..

Слайд 6Решение задачи №1:ABCD121620X2.AD = X 20 — X3.DC = 20 —

Слайд 7Решение задачи №1: ABD4.Рассмотрим треугольник ABD и ВDCCB

Слайд 8144 – 20X = 0 7,5 – X = 0 X

Слайд 9Задача №2 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета

Слайд 10Решение задачи №2: MCND1516dd = MN = MD + DNMD = xxd

Слайд 11Решение задачи №2:D = 256 + 900 = 1156 d =

Слайд 12Задача №3 Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на

Слайд 13Решение задачи №3:M1410211.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части,

Слайд 14Задача №4:Дано:∆ ABC,H BH= 12, BH ⊥ AC, Найти: rНайдите радиус окружности,

Слайд 15Решение задачи №4:4. HC² = BC² — BH² = 225 –

Слайд 16Задача №5 Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом

Слайд 17Решение задачи №5 ВАСОD1.Треугольник по условию равнобедренный, проведем высоту BD, она является

Слайд 18Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус

Слайд 19Решение задачи №6О – центр описанной окружности; так как треугольник АСВпрямоугольный,

Слайд 20Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него

Слайд 21Решение задачи №7:∆АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚, Значит

Слайд 22Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины

Слайд 23Решение задачи №8:S ∆АВС = ½ AD ∙ BC Найдём

Слайд 24Задача № 9В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию

Слайд 25О ВDNEMACРешение задачи № 91.Четырехугольник ADEC — описанный, все его стороны касаются

Слайд 26Исторические сведения. Треугольник — самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из

Слайд 27Справочный материалПроекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы) , соединяющий

Подписи к слайдам:

Слайд 1Задачи планиметрииПрофильный уровень Учитель математики МАОУ «Обдорская гимназия» г. Салехард

ЯНАО Е.И. Гусак

Слайд 2Треугольники в ЕГЭ по математике ЗАДАЧА № 16

Слайд 3Ключевая задача Доказать, что если медиана, проведенная к гипотенузе,

равна ее половине, то треугольник прямоугольный.

Слайд 4 Доказать, что если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна

ее половине, то треугольник прямоугольный. Доказательство. Следовательно, △АВС – прямоугольный.

Слайд 8Ключевая задачаВычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами

АВ = 18, ВС = 15, АС = 12.

Слайд 9Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами АВ

= 18, ВС = 15, АС = 12.

Слайд 14Ключевая задачаНайти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла,

Слайд 1Треугольник.
9 задач с решением для подготовки к ЕГЭ.
.
Автор проекта учитель

Слайд 3Аннотация к работе.

Цель моей работы — помочь

Слайд 4Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Задача №6
Задача №7
Задача №8
Задача №9

Содержание

Слайд 5Задача №1
Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м..

Слайд 6Решение задачи №1:
A
B
C
D
12
16
20
X
2.AD = X
20 — X
3.DC = 20 —

Слайд 7Решение задачи №1:

A
B
D
4.Рассмотрим треугольник ABD и ВDC
C
B

Слайд 8144 – 20X = 0
7,5 – X = 0
X

Слайд 9Задача №2
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета

Слайд 10Решение задачи №2:

M
C
N
D
15
16
d
d = MN = MD + DN
MD = x
x
d

Слайд 11Решение задачи №2:
D = 256 + 900 = 1156
d =

Слайд 12Задача №3
Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на

Слайд 13Решение задачи №3:
M
14
10
21
1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части,

Слайд 14Задача №4:
Дано:
∆ ABC,
H
BH= 12, BH ⊥ AC,

Найти: r
Найдите радиус окружности,

Слайд 15
Решение задачи №4:
4. HC² = BC² — BH² = 225 –

Слайд 16Задача №5
Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом

Слайд 17Решение задачи №5

В
А
С
О
D
1.Треугольник по условию равнобедренный,
проведем высоту BD, она является

Слайд 19
Решение задачи №6
О – центр описанной окружности; так как треугольник АСВ
прямоугольный,

Слайд 21Решение задачи №7:
∆АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚,
Значит

Слайд 23Решение задачи №8:
S ∆АВС = ½ AD ∙ BC
Найдём

Слайд 24Задача № 9
В равнобедренный треугольник АВС вписана
окружность. Параллельно его основанию

Слайд 25О

В
D
N
E
M
A
C
Решение задачи № 9
1.Четырехугольник ADEC — описанный,
все его стороны касаются

Слайд 26Исторические сведения.
Треугольник — самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из

Слайд 27Справочный материал
Проекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы) , соединяющий

Слайд 1Задачи планиметрии
Профильный уровень

Учитель математики
МАОУ «Обдорская гимназия»
г. Салехард

ЯНАО
Е.И. Гусак

Слайд 3Ключевая задача

Доказать, что если медиана, проведенная к гипотенузе,

Слайд 4
Доказать, что если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна

ее половине, то треугольник прямоугольный.

Доказательство.

Следовательно, △АВС – прямоугольный.

Слайд 8Ключевая задача
Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами

Слайд 14Ключевая задача
Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла,

Слайд 15
Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла, если

Слайд 16Ключевая задача
Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и

Слайд 17
Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и равны

Слайд 18Задача профильного уровня
Окружность с центром в точке О касается

Слайд 19
Окружность с центром в точке О касается боковой стороны

Слайд 23Ключевая задача
На отрезке АС, равном 10, взяты точки М

Слайд 25Ключевая задача
На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты

Слайд 26

На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты точки

Слайд 30Ключевая задача
В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ =

Слайд 31
В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ = 2,

Слайд 32Ключевая задача
В треугольнике АВС прямая МК пересекает стороны АС

Слайд 33
В треугольнике АВС прямая МК пересекает стороны АС и

Слайд 39Спасибо за внимание!
Удачи на ЕГЭ.

Слайд 40Вспомним!!!
Теорема, обратная теореме Фалеса.
Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают

Слайд 41Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы
1) В