9. Преобразование числовых и буквенных выражений
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Числовые тригонометрические выражения
(blacktriangleright) Алгоритм применения формул приведения:
Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: [sin
longleftrightarrow cos] [mathrm{tg} longleftrightarrow mathrm{ctg}]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что (alpha) – острый)
(blacktriangleright) Если угол можно представить в виде ((pi npm
alpha)), где (n) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: (sin (pi npm alpha)=bigodot sin alpha), где на месте (bigodot) должен стоять знак синуса для угла ((pi npm alpha))
(blacktriangleright) Если угол можно представить в виде (left(dfrac{pi}2npm alpharight)), где (n) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: (sin left(dfrac{pi}2npm alpharight)=bigodot cos
alpha), где на месте (bigodot) должен стоять знак синуса для угла (left(dfrac{pi}2npm alpharight))
(blacktriangleright) Основные формулы:
[begin{array}{|ccc|}
hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1&& mathrm{tg} alpha cdot
mathrm{ctg}alpha
=1\ &&\
mathrm{tg} alpha=dfrac{sin alpha}{cos alpha}&&mathrm{ctg}
alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha}\&&\
cos {2alpha}=cos^2 alpha — sin^2 alpha&&cos
{2alpha}=1-2sin^2
alpha\&&\
cos {2alpha}=2cos^2alpha -1&&sin {2alpha}=2sin alpha cos
alpha\
hline
end{array}]
Задание
1
#573
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите значение выражения (2sin^2 30^circ + cos^2 30^circ).
Используя основное тригонометрическое тождество, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: [2sin^2 30^circ + cos^2 30^circ = sin^2 30^circ + (sin^2 30^circ + cos^2 30^circ) = sin^2 30^circ + 1.] Так как (sin 30^circ = 0,5), то значение исходного выражения равно (0,5^2 + 1 = 1,25).
Ответ: 1,25
Задание
2
#2958
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите значение выражения [dfrac{24}{sin^2127^circ+1+sin^2217^circ}]
Заметим, что (217^circ=90^circ+127^circ). Так как по формуле приведения (sin(90^circ+alpha)=cos alpha), то [sin
217^circ=sin (90^circ+127^circ)=cos 127^circ] Следовательно, выражение можно переписать в виде: [dfrac{24}{sin^2127^circ+cos^2127^circ+1}=dfrac{24}{1+1}=12,] так как по основному тригонометрическому тождеству (sin^2alpha+cos^2alpha=1) для любого угла (alpha).
Ответ: 12
Задание
3
#2626
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите значение выражения
[sqrt{48}-sqrt{192}sin^2dfrac{19pi}{12}]
(Задача от подписчиков.)
Заметим, что (192=48cdot 4), следовательно, (sqrt{192}=2sqrt{48}). Таким образом, выражение примет вид (по формуле косинуса двойного угла (cos2x=1-2sin^2x)):
[sqrt{48}left(1-2sin^2dfrac{19pi}{12}right)=
sqrt{48}cdot cosdfrac{19pi}6]
Т.к. (dfrac{19pi}6=dfrac{18pi+pi}6=3pi+dfrac{pi}6), то по формуле приведения:
[sqrt{48}cosleft(3pi+dfrac{pi}6right)=
sqrt{48}cdot left(-cosdfrac{pi}6right)=-sqrt{48}cdot
dfrac{sqrt3}2=-4sqrt3cdot dfrac{sqrt3}2=-6.]
Ответ: -6
Задание
4
#2434
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите значение выражения
[8left(sindfrac{pi}{12}cosdfrac{pi}{12}-1right)]
По формуле синуса двойного угла (sin2alpha=2sinalphacosalpha) имеем: (sinalphacosalpha=frac12sin2alpha). Следовательно,
[8left(dfrac12sin2cdotdfrac{pi}{12}-1right)=8left(dfrac12sindfrac{pi}6-1right)=
8left(dfrac12cdot dfrac12-1right)=-6.]
Ответ: -6
Задание
5
#2625
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите значение выражения
[dfrac{32}{sinleft(-dfrac{35pi}4right)cdot cos dfrac{25pi}4}]
(Задача от подписчиков.)
Т.к. синус — нечетная функция, то есть (sin (-alpha)=-sin
alpha), то (sinleft(-frac{35pi}4right)=-sin frac{35pi}4).
Заметим, что :
(dfrac{35pi}4=dfrac{36pi
-pi}4=9pi-dfrac{pi}4);
(dfrac{25pi}4=dfrac{24pi+pi}4=6pi+dfrac{pi}4).
Таким образом, по формулам приведения:
(sin
dfrac{35pi}4=sinleft(9pi-dfrac{pi}4right)=sindfrac{pi}4);
(cos
dfrac{25pi}4=cosleft(6pi+dfrac{pi}4right)=cosdfrac{pi}4).
Следовательно, выражение принимает вид:
[dfrac{32}{-sindfrac{pi}4cosdfrac{pi}4}=
-dfrac{32}{dfrac{sqrt2}2cdot dfrac{sqrt2}2}=-64.]
Ответ: -64
Задание
6
#581
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите значение выражения (dfrac{7sin{11^circ}}{cos{79^circ}}).
Используя формулу приведения (sin(90^circ pm alpha) = cos alpha), исходное выражение можно преобразовать следующим образом: [dfrac{7sin{11^circ}}{cos{79^circ}} = dfrac{7sin{(90^circ — 79^circ)}}{cos{79^circ}} = dfrac{7cos{79^circ}}{cos{79^circ}} = 7.]
Ответ: 7
Задание
7
#1841
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите значение выражения (dfrac{15}{sin{(-frac{20pi}{3})}
cdot cos{(-frac{43pi}{6})}}).
Используя формулы приведения, а также четность косинуса и нечетность синуса, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: [dfrac{15}{-sin{left(6pi + frac{2pi}{3}right)} cdot
cos{left(7pi + frac{pi}{6}right)}} =
dfrac{15}{-sin{left(frac{2pi}{3}right)} cdot
(-cos{left(frac{pi}{6}right)})} =
dfrac{15}{-frac{sqrt{3}}{2} cdot ({-frac{sqrt{3}}{2})}} = 20.]
Ответ: 20
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов
$1$ градус $={π}/{180}$ радиан
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $ 0$ | ${π}/{6}$ | ${π}/{4}$ | ${π}/{3}$ | ${π}/{2}$ | $π$ | |
| $sinα$ | $ 0$ | $ {1}/{2}$ | $ {√2}/{2}$ | $ {√3}/{2}$ | $ 1$ | $ 0$ | |
| $cosα$ | $ 1$ | $ {√3}/{2}$ | $ {√2}/{2}$ | $ {1}/{2}$ | $ 0$ | $ -1$ | |
| $tgα$ | $ 0$ | $ {√3}/{3}$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ | |
| $ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ {√3}/{3}$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
$сos(90° + α)=sinα$
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
- $tgα={sinα}/{cosα}$
- $ctgα={cosα}/{sinα}$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^2α}$
$cosα=±√{1-sin^2α}$
- $tgα·ctgα=1$
- $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
- $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
$sint=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Формулы двойного угла
- $sin2α=2sinα·cosα$
- $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
- $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$
Формулы суммы и разности
$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$
$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$
Формулы произведения
$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$
$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$
$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$
Формулы сложения
$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$
$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$
$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$
$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$
Вычислить $sin12cos18+cos12sin18$
Данное выражение является синусом суммы
$sin12cos18+cos12sin18= sin(12+18)=sin30=0.5$
Задача (Вписать в ответ число)
Вычислить $sin{5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}$
Решение:
Данное выражение является синусом суммы
$sin {5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}=sin({π}/{12}+{5π}/{12})=sin {6π}/{12}=sin {π}/{2}=1$
Ответ: $1$
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccos a+2πk; k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$
$x=±1,25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения
$k=0$
$x_1= -1,25$
$x_2=1,25$
$к=1$
$х_1=3-1,25=1,75$
$х_2=3+1,25=4,25$
Нам подходит $1,25$ – это и есть результат
Ответ: $1,25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
$2. t=(-1)^n arcsin a+πn; n∈Z$
$3.$ Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.
$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
ЕГЭ Профиль №6. Вычисление значений тригонометрических выражений
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №6. Вычисление значений тригонометрических выражений
| Задача 1. Найдите значение выражения (frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{sin {{358}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: 25. Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{sin {{358}^ circ }}} = frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{sin left( {2 cdot {{179}^ circ }} right)}} = frac{{50sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}}{{2sin {{179}^ circ } cdot cos {{179}^ circ }}} = 25.) Ответ: 25. |
| Задача 2. Найдите значение выражения (8sin frac{{5{\pi }}}{{12}} cdot cos frac{{5{\pi }}}{{12}})
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha ) (8sin frac{{5pi }}{{12}}cos frac{{5pi }}{{12}} = 4 cdot 2 cdot sin frac{{5pi }}{{12}}cos frac{{5pi }}{{12}} = 4 cdot sin left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = 4 cdot sin frac{{5pi }}{6} = 4 cdot frac{1}{2} = 2.) Ответ: 2. |
| Задача 3. Найдите значение выражения (frac{{24left( {{{sin }^2}{{17}^ circ } — {{cos }^2}{{17}^ circ }} right)}}{{cos {{34}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: — 24. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = {cos ^2}alpha — {sin ^2}alpha ) (frac{{24left( {{{sin }^2}{{17}^ circ } — {{cos }^2}{{17}^ circ }} right)}}{{cos {{34}^ circ }}} = frac{{ — 24left( {{{cos }^2}{{17}^ circ } — {{sin }^2}{{17}^ circ }} right)}}{{cos {{34}^ circ }}} = frac{{ — 24cos {{34}^ circ }}}{{cos {{34}^ circ }}} = — 24.) Ответ: — 24. |
| Задача 4. Найдите значение выражения (sqrt 3 {cos ^2}frac{{5{pi }}}{{12}} — sqrt 3 {sin ^2}frac{{5pi }}{{12}})
Ответ
ОТВЕТ: — 1,5. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = {cos ^2}alpha — {sin ^2}alpha ) (sqrt 3 {cos ^2}frac{{5pi }}{{12}} — sqrt 3 {sin ^2}frac{{5pi }}{{12}} = sqrt 3 left( {{{cos }^2}frac{{5pi }}{{12}} — {{sin }^2}frac{{5pi }}{{12}}} right) = sqrt 3 cos left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = ) ( = sqrt 3 cos frac{{5pi }}{6} = sqrt 3 cdot left( { — frac{{sqrt 3 }}{2}} right) = — 1,5.) Ответ: — 1,5. |
| Задача 5. Найдите значение выражения (sqrt {12} {cos ^2}frac{{5{pi }}}{{12}} — sqrt 3 )
Ответ
ОТВЕТ: — 1,5. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = 2{cos ^2}alpha — 1) (sqrt {12} {cos ^2}frac{{5pi }}{{12}} — sqrt 3 = sqrt 3 left( {2{{cos }^2}frac{{5pi }}{{12}} — 1} right) = sqrt 3 cdot cos left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = ) ( = sqrt 3 cos frac{{5pi }}{6} = sqrt 3 cdot left( { — frac{{sqrt 3 }}{2}} right) = — 1,5.) Ответ: — 1,5. |
| Задача 6. Найдите значение выражения (sqrt 3 — sqrt {12} {sin ^2}frac{{5{pi }}}{{12}})
Ответ
ОТВЕТ: — 1,5. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = 1 — 2{sin ^2}alpha ) (sqrt 3 — sqrt {12} {sin ^2}frac{{5pi }}{{12}} = sqrt 3 left( {1 — 2{{sin }^2}frac{{5pi }}{{12}}} right) = sqrt 3 cos left( {2 cdot frac{{5pi }}{{12}}} right) = ) ( = sqrt 3 cos frac{{5pi }}{6} = sqrt 3 cdot left( { — frac{{sqrt 3 }}{2}} right) = — 1,5.) Ответ: — 1,5. |
| Задача 7. Найдите ( — 47cos 2alpha ), если (cos alpha = — 0,4)
Ответ
ОТВЕТ: 31,96. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = 2{cos ^2}alpha — 1) ( — 47cos 2alpha = — 47 cdot left( {2{{cos }^2}alpha — 1} right) = — 47 cdot left( {2 cdot {{left( { — 0,4} right)}^2} — 1} right) = ) ( = — 47 cdot left( {0,32 — 1} right) = — 47 cdot left( { — 0,68} right) = 31,96.) Ответ: 31,96. |
| Задача 8. Найдите значение выражения (frac{{5cos {{29}^ circ }}}{{sin {{61}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
(frac{{5cos {{29}^ circ }}}{{sin {{61}^ circ }}} = frac{{5cos left( {{{90}^ circ } — {{61}^ circ }} right)}}{{sin {{61}^ circ }}} = frac{{5sin {{61}^ circ }}}{{sin {{61}^ circ }}} = 5.) При решении воспользовались формулой приведения: (cos left( {{{90}^ circ } — alpha } right) = sin alpha .) Ответ: 5. |
| Задача 9. Найдите значение выражения (36sqrt 3 {text{tg}}frac{{\pi }}{3}sin frac{{\pi }}{6})
Ответ
ОТВЕТ: 54. Решение
(36sqrt 3 ,,tgfrac{pi }{3} cdot sin frac{pi }{6} = 36sqrt 3 cdot sqrt 3 cdot frac{1}{2} = 18 cdot 3 = 54.) Ответ: 54. |
| Задача 10. Найдите значение выражения (4sqrt 2 cos frac{{\pi }}{4}cos frac{{7{\pi }}}{3})
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
(4sqrt 2 cos frac{pi }{4}cos frac{{7pi }}{3} = 4sqrt 2 cdot frac{{sqrt 2 }}{2}cos left( {frac{{7pi }}{3} — 2pi } right) = 4 cdot cos frac{pi }{3} = 4 cdot frac{1}{2} = 2.) При решении воспользовались периодичностью косинуса: (cos left( {alpha — 2pi } right) = cos alpha .) Ответ: 2. |
| Задача 11. Найдите значение выражения (frac{8}{{sin left( { — frac{{27{\pi }}}{4}} right)cos left( {frac{{31{\pi }}}{4}} right)}})
Ответ
ОТВЕТ: — 16. Решение
(sin left( { — frac{{27pi }}{4}} right) = sin left( { — frac{{27pi }}{4} + 8pi } right) = sin frac{{5pi }}{4} = — frac{{sqrt 2 }}{2}) (cos left( {frac{{31pi }}{4}} right) = cos left( {frac{{31pi }}{4} — 8pi } right) = cos left( { — frac{pi }{4}} right) = cos frac{pi }{4} = frac{{sqrt 2 }}{2}) (frac{8}{{sin left( { — frac{{27pi }}{4}} right) cdot cos left( {frac{{31pi }}{4}} right)}} = frac{8}{{ — frac{{sqrt 2 }}{2} cdot frac{{sqrt 2 }}{2}}} = — 16.) Ответ: — 16. |
| Задача 12. Найдите значение выражения (33sqrt 2 cos left( {{{495}^ circ }} right))
Ответ
ОТВЕТ: — 33. Решение
(33sqrt 2 cos left( {{{495}^ circ }} right) = 33sqrt 2 cos left( {{{495}^ circ } — {{360}^ circ }} right) = 33sqrt 2 cos {135^ circ } = 33sqrt 2 cdot left( { — frac{{sqrt 2 }}{2}} right) = — 33.) Ответ: — 33. |
| Задача 13. Найдите значение выражения (2sqrt 3 {text{tg}}left( { — {{300}^ circ }} right))
Ответ
ОТВЕТ: 6. Решение
(2sqrt 3 tgleft( { — {{300}^ circ }} right) = 2sqrt 3 tgleft( { — {{300}^ circ } + {{360}^ circ }} right) = 2sqrt 3 tg{60^ circ } = 2sqrt 3 cdot sqrt 3 = 6.) Ответ: 6. |
| Задача 14. Найдите значение выражения ( — 18sqrt 2 sin left( { — {{135}^ circ }} right))
Ответ
ОТВЕТ: 18. Решение
( — 18sqrt 2 sin left( { — {{135}^ circ }} right) = 18sqrt 2 sin {135^ circ } = 18sqrt 2 cdot frac{{sqrt 2 }}{2} = 18.) Ответ: 18. |
| Задача 15. Найдите значение выражения (24sqrt 2 cos left( { — frac{{\pi }}{3}} right)sin left( { — frac{{\pi }}{4}} right))
Ответ
ОТВЕТ: — 12. Решение
(24sqrt 2 cos left( { — frac{pi }{3}} right)sin left( { — frac{pi }{4}} right) = — 24sqrt 2 cos frac{pi }{3}sin frac{pi }{4} = — 24sqrt 2 cdot frac{1}{2} cdot frac{{sqrt 2 }}{2} = — 12.) Ответ: — 12. |
| Задача 16. Найдите значение выражения (frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin {{341}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: — 14. Решение
(frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin {{341}^ circ }}} = frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin left( {{{341}^ circ } — {{360}^ circ }} right)}} = frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{sin left( { — {{19}^ circ }} right)}} = frac{{14sin {{19}^ circ }}}{{ — sin {{19}^ circ }}} = — 14.) Ответ: — 14. |
| Задача 17. Найдите значение выражения (frac{{36cos {{93}^ circ }}}{{cos {{87}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: — 36. Решение
(frac{{36cos {{93}^ circ }}}{{cos {{87}^ circ }}} = frac{{ — 36cos left( {{{180}^ circ } — {{93}^ circ }} right)}}{{cos {{87}^ circ }}} = frac{{ — 36cos {{87}^ circ }}}{{cos {{87}^ circ }}} = — 36.) Ответ: — 36. |
| Задача 18. Найдите значение выражения (frac{{ — 37{text{tg6}}{{text{3}}^ circ }}}{{{text{tg11}}{{text{7}}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: 37. Решение
(frac{{ — 37tg{{63}^ circ }}}{{tg{{117}^ circ }}} = frac{{ — 37tg{{63}^ circ }}}{{ — tgleft( {{{180}^ circ } — {{117}^ circ }} right)}} = frac{{37tg{{63}^ circ }}}{{tg{{63}^ circ }}} = 37.) Ответ: 37. |
| Задача 19. Найдите значение выражения (frac{{14sin {{409}^ circ }}}{{sin {{49}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: 14. Решение
(frac{{14sin {{409}^ circ }}}{{sin {{49}^ circ }}} = frac{{14sin left( {{{409}^ circ } — {{360}^ circ }} right)}}{{sin {{49}^ circ }}} = frac{{14sin {{49}^ circ }}}{{sin {{49}^ circ }}} = 14.) Ответ: 14. |
| Задача 20. Найдите значение выражения (5{text{tg1}}{{text{7}}^ circ } cdot {text{tg10}}{{text{7}}^ circ })
Ответ
ОТВЕТ: — 5. Решение
(5,tg{17^ circ } cdot tg{107^ circ } = 5,tg{17^ circ } cdot tgleft( {{{90}^ circ } + {{17}^ circ }} right) = — 5,tg{17^ circ } cdot ctg{17^ circ } = — 5.) При решении воспользовались формулой приведения: (tgleft( {{{90}^ circ } + alpha } right) = — tgalpha ) и формулой: (tgalpha cdot ctgalpha = 1.) Ответ: — 5. |
| Задача 21. Найдите значение выражения ( — 6{text{tg3}}{{text{1}}^ circ } cdot {text{tg5}}{{text{9}}^ circ })
Ответ
ОТВЕТ: — 6. Решение
( — 6,,tg{31^ circ } cdot tg{59^ circ } = — ,6,tg{31^ circ } cdot tgleft( {{{90}^ circ } — {{59}^ circ }} right) = — ,6,tg{31^ circ } cdot ctg{31^ circ } = — 6.) При решении воспользовались формулой приведения: (tgleft( {{{90}^ circ } — alpha } right) = ctgalpha .) Ответ: — 6. |
| Задача 22. Найдите значение выражения (frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{sin }^2}{{221}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: — 12. Решение
(frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{sin }^2}{{221}^ circ }}} = frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{sin }^2}left( {{{90}^ circ } + {{131}^ circ }} right)}} = frac{{ — 12}}{{{{sin }^2}{{131}^ circ } + {{cos }^2}{{131}^ circ }}} = — frac{{12}}{1} = — 12.) Ответ: — 12. |
| Задача 23. Найдите значение выражения (frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{cos }^2}{{206}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: 27. Решение
(frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{cos }^2}{{206}^ circ }}} = frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{cos }^2}left( {{{90}^ circ } + {{116}^ circ }} right)}} = frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{left( { — sin {{116}^ circ }} right)}^2}}} = ) ( = frac{{27}}{{{{cos }^2}{{116}^ circ } + {{sin }^2}{{116}^ circ }}} = frac{{27}}{1} = 27.) Ответ: 27. |
| Задача 24. Найдите значение выражения (frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}{{196}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: — 5. Решение
(frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}{{196}^ circ }}} = frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}left( {{{180}^ circ } + {{16}^ circ }} right)}} = frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{left( { — cos {{16}^ circ }} right)}^2}}} = ) ( = frac{{ — 5}}{{{{sin }^2}{{16}^ circ } + {{cos }^2}{{16}^ circ }}} = frac{{ — 5}}{1} = — 5.) Ответ: — 5. |
| Задача 25. Найдите значение выражения (frac{{ — 14sin {{84}^ circ }}}{{sin {{42}^ circ } cdot sin {{48}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: — 28. Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{ — 14sin {{84}^ circ }}}{{sin {{42}^ circ } cdot sin {{48}^ circ }}} = frac{{ — 14sin left( {2 cdot {{42}^ circ }} right)}}{{sin {{42}^ circ }sin {{48}^ circ }}} = frac{{ — 14 cdot 2 cdot sin {{42}^ circ } cdot cos {{42}^ circ }}}{{sin {{42}^ circ } cdot cos left( {{{90}^ circ } — {{48}^ circ }} right)}} = frac{{ — 28cos {{42}^ circ }}}{{cos {{42}^ circ }}} = — 28.) При решении воспользовались формулой приведения: (cos left( {{{90}^ circ } — alpha } right) = sin alpha .) Ответ: — 28. |
| Задача 26. Найдите значение выражения (frac{{5sin {{74}^ circ }}}{{cos {{37}^ circ } cdot cos {{53}^ circ }}})
Ответ
ОТВЕТ: 10. Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{5sin {{74}^ circ }}}{{cos {{37}^ circ } cdot cos {{53}^ circ }}} = frac{{5 cdot sin left( {2 cdot {{37}^ circ }} right)}}{{cos {{37}^ circ }cos {{53}^ circ }}} = frac{{5 cdot 2 cdot sin {{37}^ circ }cos {{37}^ circ }}}{{cos {{37}^ circ } cdot sin left( {{{90}^ circ } — {{53}^ circ }} right)}} = frac{{10sin {{37}^ circ }}}{{sin {{37}^ circ }}} = 10.) При решении воспользовались формулой приведения: (sin left( {{{90}^ circ } — alpha } right) = cos alpha .) Ответ: 10. |
| Задача 27. Найдите значение выражения (20sin {135^ circ } cdot cos {45^ circ })
Ответ
ОТВЕТ: 10. Решение
(20sin {135^ circ } cdot cos {45^ circ } = 20frac{{sqrt 2 }}{2} cdot frac{{sqrt 2 }}{2} = 10.) Ответ: 10. |
| Задача 28. Найдите ({text{tg}}alpha ), если (cos alpha = frac{1}{{sqrt {10} }}) и (a in left( {frac{{3{\pi }}}{2};;2{\pi }} right))
Ответ
ОТВЕТ: — 3. Решение
1 Вариант Воспользуемся формулой: (1 + t{g^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}). Тогда: (1 + t{g^2}alpha = frac{1}{{{{left( {frac{1}{{sqrt {10} }}} right)}^2}}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1 + t{g^2}alpha = 10,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t{g^2}alpha = 9) Следовательно, (tgalpha = 3) или (tgalpha = — 3). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его тангенс отрицательный. Поэтому (tgalpha = — 3.) 2 Вариант Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) ({sin ^2}alpha + {left( {frac{1}{{sqrt {10} }}} right)^2} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{sin ^2}alpha = 1 — frac{1}{{10}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,{sin ^2}alpha = frac{9}{{10}}) Следовательно, (sin alpha = frac{3}{{sqrt {10} }}) или (sin alpha = — frac{3}{{sqrt {10} }}). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому (sin alpha = — frac{3}{{sqrt {10} }}). Воспользуемся тем, что: (tgalpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{ — frac{3}{{sqrt {10} }}}}{{frac{1}{{sqrt {10} }}}} = — 3.) Ответ: — 3. |
| Задача 29. Найдите ({text{tg}}alpha ), если (sin alpha = — frac{5}{{sqrt {26} }}) и (alpha in left( {{\pi };;frac{{3{\pi }}}{2}} right))
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
1 Вариант Воспользуемся формулой: (1 + ct{g^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}) Тогда: (1 + ct{g^2}alpha = frac{1}{{{{left( { — frac{5}{{sqrt {26} }}} right)}^2}}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,1 + ct{g^2}alpha = frac{{26}}{{25}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,ct{g^2}alpha = frac{1}{{25}}) Следовательно, (ctgalpha = frac{1}{5}) или (ctgalpha = — frac{1}{5}). Так как (alpha ,, in ,,left( {pi ;frac{{3pi }}{2}} right)), то есть лежит в третьей четверти, то его котангенс положительный. Поэтому (ctgalpha = frac{1}{5}.) Так как (tgalpha cdot ctgalpha = 1), то (tgalpha = frac{1}{{ctgalpha }} = frac{1}{{frac{1}{5}}} = 5.) 2 Вариант Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.) ({left( { — frac{5}{{sqrt {26} }}} right)^2} + {cos ^2}alpha = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{cos ^2}alpha = 1 — frac{{25}}{{26}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{cos ^2}alpha = frac{1}{{26}}.) Следовательно, (cos alpha = frac{1}{{sqrt {26} }}) или (cos alpha = — frac{1}{{sqrt {26} }}). Так как (alpha ,, in ,,left( {pi ;frac{{3pi }}{2}} right)), то есть лежит в третьей четверти, то косинус отрицательный. Поэтому (cos alpha = — frac{1}{{sqrt {26} }}). Воспользуемся тем, что: (tgalpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{ — frac{5}{{sqrt {26} }}}}{{ — frac{1}{{sqrt {26} }}}} = 5.) Ответ: 5. |
| Задача 30. Найдите (3cos alpha ), если (sin alpha = — frac{{2sqrt 2 }}{3}) и (alpha in left( {frac{{3{\pi }}}{2};;2{\pi }} right))
Ответ
ОТВЕТ: 1. Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.) ({left( { — frac{{2sqrt 2 }}{3}} right)^2} + {cos ^2}alpha = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{cos ^2}alpha = 1 — frac{8}{9},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{cos ^2}alpha = frac{1}{9}) Следовательно, (cos alpha = frac{1}{3}) или (cos alpha = — frac{1}{3}). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его косинус положительный. Поэтому (cos alpha = frac{1}{3}.) Тогда: (3cos alpha = 3 cdot frac{1}{3} = 1.) Ответ: 1. |
| Задача 31. Найдите (7sin alpha ), если (cos alpha = frac{{3sqrt 5 }}{7}) и (alpha in left( {1,5{\pi };;2{\pi }} right))
Ответ
ОТВЕТ: — 2. Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.) ({sin ^2}alpha + {left( {frac{{3sqrt 5 }}{7}} right)^2} = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{sin ^2}alpha = 1 — frac{{45}}{{49}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{sin ^2}alpha = frac{4}{{49}}) Следовательно: (sin alpha = frac{2}{7}) или (sin alpha = — frac{2}{7}). Так как (alpha ,, in ,,left( {1,5pi ;2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому (sin alpha = — frac{2}{7}.) Тогда: (7sin alpha = 7 cdot left( { — frac{2}{7}} right) = — 2.) Ответ: — 2. |
| Задача 32. Найдите (24cos 2alpha ), если (sin alpha = — 0,2)
Ответ
ОТВЕТ: 22,08. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = 1 — 2{sin ^2}alpha ) (24cos 2alpha = 24 cdot left( {1 — 2{{sin }^2}alpha } right) = 24 cdot left( {1 — 2 cdot {{left( { — 0,2} right)}^2}} right) = 24 cdot left( {1 — 0,08} right) = 24 cdot 0,92 = 22,08) Ответ: 22,08. |
| Задача 33. Найдите (frac{{10sin 6alpha }}{{3cos 3alpha }}), если (sin 3alpha = 0,6)
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: (sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha ) (frac{{10sin 6alpha }}{{3cos 3alpha }} = frac{{10 cdot sin left( {2 cdot 3alpha } right)}}{{3cos 3alpha }} = frac{{10 cdot 2 cdot sin 3alpha cdot cos 3alpha }}{{3cos 3alpha }} = frac{{20 cdot sin 3alpha }}{3} = frac{{20 cdot 0,6}}{3} = 4.) Ответ: 4. |
| Задача 34. Найдите значение выражения (frac{{3cos left( {{\pi } — beta } right) + sin left( {frac{{\pi }}{2} + beta } right)}}{{cos left( {beta + 3{\pi }} right)}})
Ответ
ОТВЕТ: 2. Решение
(frac{{3cos left( {pi — beta } right) + sin left( {frac{pi }{2} + beta } right)}}{{cos left( {beta + 3pi } right)}} = frac{{ — 3cos beta + cos beta }}{{ — cos beta }} = frac{{ — 2cos beta }}{{ — cos beta }} = 2.) Ответ: 2. |
| Задача 35. Найдите значение выражения (frac{{2sin left( {alpha — 7{\pi }} right) + cos left( {frac{{3{\pi }}}{2} + alpha } right)}}{{sin left( {a + {\pi }} right)}})
Ответ
ОТВЕТ: 1. Решение
(frac{{2sin left( {alpha — 7pi } right) + cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{sin left( {alpha + pi } right)}} = frac{{ — 2sin alpha + sin alpha }}{{ — sin alpha }} = frac{{ — sin alpha }}{{ — sin alpha }} = 1.) Ответ: 1. |
| Задача 36. Найдите значение выражения (5{text{tg}}left( {5{\pi } — gamma } right) — {text{tg}}left( { — gamma } right)), если ({text{tg}}gamma {text{ = 7}})
Ответ
ОТВЕТ: — 28. Решение
(5,tgleft( {5pi — gamma } right) — tgleft( { — gamma } right) = — 5,tggamma + tggamma = — 4,tggamma = — 4 cdot 7 = — 28.) Ответ: — 28. |
| Задача 37. Найдите (sin left( {frac{{7{\pi }}}{2} — alpha } right)), если (sin alpha = 0,8) и (a in left( {frac{{\pi }}{2};;{\pi }} right))
Ответ
ОТВЕТ: 0,6. Решение
(sin left( {frac{{7pi }}{2} — alpha } right) = — cos alpha ) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) ({0,8^2} + {cos ^2}alpha = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{cos ^2}alpha = 1 — 0,64,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{cos ^2}alpha = 0,36) Следовательно, (cos alpha = 0,6) или (cos alpha = — 0,6). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{pi }{2};pi } right)), то есть лежит во второй четверти, то его косинус отрицательный. Поэтому: (sin left( {frac{{7pi }}{2} — alpha } right) = — cos alpha = — left( { — 0,6} right) = 0,6.) Ответ: 0,6. |
| Задача 38. Найдите (26cos left( {frac{{3{\pi }}}{2} + alpha } right)), если (cos alpha = frac{{12}}{{13}}) и (alpha in left( {frac{{3{\pi }}}{2};;2{\pi}} right))
Ответ
ОТВЕТ: — 10. Решение
(26cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) = 26sin alpha ) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) ({sin ^2}alpha + {left( {frac{{12}}{{13}}} right)^2} = 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{sin ^2}alpha = 1 — frac{{144}}{{169}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{sin ^2}alpha = frac{{25}}{{169}}) Следовательно, (sin alpha = frac{5}{{13}}) или (sin alpha = — frac{5}{{13}}). Так как (alpha ,, in ,,left( {frac{{3pi }}{2};2pi } right)), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому: (26cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) = 26sin alpha = 26 cdot left( { — frac{5}{{13}}} right) = — 10.) Ответ: — 10. |
| Задача 39. Найдите ({text{tg}}left( {alpha + frac{{5{\pi }}}{2}} right)), если ({text{tg}}alpha {text{ = 0}}{text{,4}})
Ответ
ОТВЕТ: — 2,5. Решение
(tgleft( {alpha + frac{{5pi }}{2}} right) = — ctgalpha ) Воспользуемся тем, что: (tgalpha cdot ctgalpha = 1.) Тогда: (ctgalpha = frac{1}{{tgalpha }} = frac{1}{{0,4}} = 2,5.) Поэтому: (tgleft( {alpha + frac{{5pi }}{2}} right) = — ctgalpha = — 2,5.) Ответ: — 2,5. |
| Задача 40. Найдите ({text{t}}{{text{g}}^2}alpha ), если (4{sin ^2}alpha + 9{cos ^2}alpha = 6)
Ответ
ОТВЕТ: 1,5. Решение
Выполним следующее преобразование: (6 = 6 cdot 1 = 6left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right) = 6{sin ^2}alpha + 6{cos ^2}alpha ) Тогда: (4{sin ^2}alpha + 9{cos ^2}alpha = 6,,,,, Leftrightarrow ,,,,,4{sin ^2}alpha + 9{cos ^2}alpha = 6{sin ^2}alpha + 6{cos ^2}alpha ,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,2{sin ^2}alpha = 3{cos ^2}alpha ,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }}, = frac{3}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,t{g^2}alpha = 1,5.) Ответ: 1,5. |
| Задача 41. Найдите (frac{{3cos alpha — 4sin alpha }}{{2sin alpha — 5cos alpha }}), если ({text{tg}}alpha {text{ = 3}})
Ответ
ОТВЕТ: — 9. Решение
1 Вариант Разделим числитель и знаменатель дроби на (cos alpha ). Тогда: (frac{{3cos alpha — 4sin alpha }}{{2sin alpha — 5cos alpha }} = frac{{frac{{3cos alpha }}{{cos alpha }} — frac{{4sin alpha }}{{cos alpha }}}}{{frac{{2sin alpha }}{{cos alpha }} — frac{{5cos alpha }}{{cos alpha }}}} = frac{{3 — 4,,tgalpha }}{{2,,tgalpha — 5}} = frac{{3 — 4 cdot 3}}{{2 cdot 3 — 5}} = frac{{ — 9}}{1} = — 9.) 2 Вариант Так как (tgalpha = 3), то (frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = 3) и (sin alpha = 3cos alpha ). Тогда: (frac{{3cos alpha — 4sin alpha }}{{2sin alpha — 5cos alpha }} = frac{{3cos alpha — 4 cdot 3cos alpha }}{{2 cdot 3cos alpha — 5cos alpha }} = frac{{3cos alpha — 12cos alpha }}{{6cos alpha — 5cos alpha }} = frac{{ — 9cos alpha }}{{cos alpha }} = — 9.) Ответ: — 9. |
| Задача 42. Найдите (frac{{10cos alpha + 4sin alpha + 15}}{{2sin alpha + 5cos alpha + 3}}), если ({text{tg}}alpha {text{ = }} — {text{2}}{text{,5}})
Ответ
ОТВЕТ: 5. Решение
1 Вариант Разделим числитель и знаменатель дроби на (cos alpha ). Тогда: (frac{{10cos alpha + 4sin alpha + 15}}{{2sin alpha + 5cos alpha + 3}} = frac{{frac{{10cos alpha }}{{cos alpha }} + frac{{4sin alpha }}{{cos alpha }} + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{frac{{2sin alpha }}{{cos alpha }} + frac{{5cos alpha }}{{cos alpha }} + frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{10 + 4,,tgalpha + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{2,,tgalpha + 5 + frac{3}{{cos alpha }}}} = ) ( = frac{{10 + 4 cdot left( { — 2,5} right) + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{2 cdot left( { — 2,5} right) + 5 + frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{10 — 10 + frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{ — 5 + 5 + frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{frac{{15}}{{cos alpha }}}}{{frac{3}{{cos alpha }}}} = frac{{15}}{{cos alpha }} cdot frac{{cos alpha }}{3} = 5.) 2 Вариант Так как (tgalpha = — 2,5), то (frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = — 2,5) и (sin alpha = — 2,5cos alpha ). Тогда: (frac{{10cos alpha + 4sin alpha + 15}}{{2sin alpha + 5cos alpha + 3}} = frac{{10cos alpha + 4 cdot left( { — 2,5cos alpha } right) + 15}}{{2 cdot left( { — 2,5cos alpha } right) + 5cos alpha + 3}} = frac{{10cos alpha — 10cos alpha + 15}}{{ — 5cos alpha + 5cos alpha + 3}} = frac{{15}}{3} = 5.) Ответ: 5. |
| Задача 43. Найдите ({text{tg}}alpha ), если (frac{{6sin alpha — 2cos alpha }}{{4sin alpha — 4cos alpha }} = — 1)
Ответ
ОТВЕТ: 0,6. Решение
Разделим числитель и знаменатель левой части на (cos alpha ): (frac{{frac{{6sin alpha }}{{cos alpha }} — frac{{2cos alpha }}{{cos alpha }}}}{{frac{{4sin alpha }}{{cos alpha }} — frac{{4cos alpha }}{{cos alpha }}}} = — 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{6,,tgalpha — 2}}{{4,,tgalpha — 4}} = frac{{ — 1}}{1},,,,, Leftrightarrow ,,,,,6,,tgalpha — 2 = — 4,tgalpha + 4,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,10,,tgalpha = 6,,,,, Leftrightarrow ,,,,,tgalpha = 0,6.) Ответ: 0,6. |
| Задача 44. Найдите ({text{tg}}alpha ), если (frac{{3sin alpha — 5cos alpha + 2}}{{sin alpha + 3cos alpha + 6}} = frac{1}{3})
Ответ
ОТВЕТ: 2,25. Решение
Воспользуемся свойством пропорции: (frac{{3sin alpha — 5cos alpha + 2}}{{sin alpha + 3cos alpha + 6}} = frac{1}{3},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,3left( {3sin alpha — 5cos alpha + 2} right) = sin alpha + 3cos alpha + 6,,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,,9sin alpha — 15cos alpha + 6 = sin alpha + 3cos alpha + 6,,,,, Leftrightarrow ,,,,,8sin alpha = 18cos alpha ,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{{18}}{8},,,,, Leftrightarrow ,,,,,tgalpha = 2,25.) Ответ: 2,25. |
| Задача 45. Найдите значение выражения (7cos left( {{\pi } + beta } right) — 2sin left( {frac{{\pi }}{2} + beta } right)), если (cos beta = — frac{1}{3})
Ответ
ОТВЕТ: 3. Решение
(7cos left( {pi + beta } right) — 2sin left( {frac{pi }{2} + beta } right) = — 7cos beta — 2cos beta = — 9cos beta = — 9 cdot left( { — frac{1}{3}} right) = 3.) Ответ: 3. |
| Задача 46. Найдите значение выражения (5sin left( {alpha — 7{\pi }} right) — 11cos left( {frac{{3{\pi }}}{2} + alpha } right)), если (sin alpha = — 0,25)
Ответ
ОТВЕТ: 4. Решение
(5sin left( {alpha — 7pi } right) — 11cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) = — 5sin alpha — 11sin alpha = — 16sin alpha = — 16 cdot left( { — 0,25} right) = 4.) Ответ: 4. |
| Задача 47. Найдите (3cos 2alpha ), если (cos alpha = frac{1}{2})
Ответ
ОТВЕТ: — 1,5. Решение
Воспользуемся формулой косинус двойного угла: (cos 2alpha = 2{cos ^2}alpha — 1) (3cos 2alpha = 3left( {2{{cos }^2}alpha — 1} right) = 3 cdot left( {2 cdot {{left( {frac{1}{2}} right)}^2} — 1} right) = 3 cdot left( {2 cdot frac{1}{4} — 1} right) = 3 cdot left( { — frac{1}{2}} right) = — 1,5.) Ответ: — 1,5. |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Практико-ориентированная работа «Методика обучения решению заданий с параметром»
…
Методика решения заданий типа «Робот в лабиринте»
Задания этого типа сводятся к тому, чтобы определить те точки (назовем их «особые») в лабиринте, к которым робот вернется пройдя четыре раза по прямой (пока выполняется условие цикла). При этом …
Методика решения заданий ЕГЭ по информатике высокого уровня сложности (В15)
Разбор заданий В15. Системы логических уравнений….
Методика урока одной задачи при подготовке к решению заданий с параметрами в ГИА и ЕГЭ
В статье предлагается использование «методики урока одной задачи» при организации итогового повторения темы «Решение уравнений с модулем и параметром». Автор проводит подобные занятия с 7 класса, данн…
Методика решения заданий С1 по химии
Подготовка к ЕГЭ по химии. Решение окислительно-восстановительных уравнений…
Урок «Использование тригонометрических преобразований при решении заданий ЕГЭ»
Урок можно использовать при подготовке к ЕГЭ….
Методика решения задач по геометрии высокого уровня сложности (ЕГЭ профильный уровень. Задание 16)
Данный материал для учителей математики и учеников 10-11 классов. Преназначен для подготовки к ЕГЭ по математике….