Решу егэ исследование функций с помощью производной - Exhelper.top

Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Всего: 696 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  1.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  18.

На рисунке изображен график функции Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  =  f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, x₃, …, x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике., Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике.

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y  =  f(x) параллельна прямой y  =  6x или совпадает с ней.

На рисунке изображён график   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, …, x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

На рисунке изображён график   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены шесть точек: x₁, x₂, x₃, …, x₆. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  12 или совпадает с ней.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −x − 12 или совпадает с ней.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  −6.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.

Всего: 696 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Исследование функций с помощью производной

Задание
1

#2390

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку максимума функции (y = -x^2).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = -2x]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [-2x = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика:

Таким образом, (x = 0) – точка максимума функции (y).

Ответ: 0

Задание
2

#2391

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции (y = x^2 + 2x + 2) на отрезке ([-2; 2]).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 2x + 2]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [2x + 2 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = -1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-2; 2]):

4) Эскиз графика на отрезке ([-2; 2]):

Таким образом, (x = -1) – точка минимума функции (y) на ([-2; 2]).

Ответ: -1

Задание
3

#2392

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции (y = 3x^2 — 6x + pi) на отрезке ([-3; 3]).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 6x — 6]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [6x — 6 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-3; 3]):

4) Эскиз графика на отрезке ([-3; 3]):

Таким образом, (x = 1) – точка минимума функции (y) на ([-3; 3]).

Ответ: 1

Задание
4

#2691

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции (y = x^3 — 3x).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 3x^2 — 3]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [3x^2 — 3 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = pm 1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 1) – точка локального минимума функции (y).

Ответ: 1

Задание
5

#2710

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

(y = x^3 — 15x^2 + 48x + e).

1) (y’ = 3x^2 — 30x + 48 = 3(x^2 — 10x + 16)).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):

[3(x^2 — 10x + 16) = 0qquadLeftrightarrowqquad x^2 — 10x + 16 = 0,] откуда находим (x_1 = 2, x_2 = . Таким образом, [y’ = 3(x — 2)(x — 8).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 2) – точка локального максимума функции (y).

Ответ: 2

Задание
6

#869

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 8x^2 + 55x + 11).

1) (y’ = x^2 — 16x + 55).

(x^2 — 16x + 55 = 0), откуда находим корни (x_1 = 5, x_2 = 11). Таким образом, [y’ = (x-5)(x-11).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 5) – точка локального максимума функции (y).

Ответ: 5

Задание
7

#868

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 3x^2 + 8x + 2).

1) (y’ = x^2 — 6x + .

(x^2 — 6x + 8 = 0), откуда находим корни (x_1 = 2, x_2 = 4). Таким образом, [y’ = (x-2)(x-4).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 4) – точка локального минимума функции (y).

Ответ: 4

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

В задаче 11 предлагается исследовать функцию с помощью производной. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется в зависимости от рассматриваемой функции: некоторые решаются буквально устно, другие требуют серьезных размышлений.

Все задачи 11 делятся на два класса, каждому из них будет посвящен отдельный цикл уроков и тестов:

Найти точку максимума или минимума — значение переменной, при которой функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. Такие точки еще называются точками экстремума;
Найти наибольшее или наименьшее значение самой функции на отрезке. Если отрезок не указан, работаем на всей числовой прямой. Другое название таких значений — глобальные экстремумы.

Большинство задач 11 решаются через производную. Но есть такие, которые считаются «напролом», без всяких производных — достаточно внимательно читать условие. Это замечание настолько важно, что ему будет посвящен отдельный урок.

§ 1.: Разбор нестандартных задач 12 с логарифмами и тригонометрией из пробников ЕГЭ-2016.
Глава 1.: Общая схема решения
§ 1.: Общая схема решения задач B15
§ 2.: Задача B15 — исследование функции с помощью производной
§ 3.: Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
§ 4.: B15: Линейные функции и производная частного
§ 5.: Задача B15: что делать с квадратичной функцией
§ 6.: Задача B15: Когда без производной сложной функции не обойтись?
Глава 2.: Производная логарифма и экспоненты
§ 1.: Специфика работы с логарифмами в задаче B15
§ 2.: Показательные функции в задаче B15
§ 3.: Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
§ 4.: Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
§ 5.: Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
Глава 3.: Производная в тригонометрии и корнях
§ 1.: Тригонометрические функции
§ 2.: Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
§ 3.: Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
§ 4.: Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена
Глава 4.: Хитрости и нестандартные методы
§ 1.: Как решать задачи B15 без производных
§ 2.: Показательные функции в задаче B15: хитрости решения
§ 3.: Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
§ 4.: Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
§ 5.: Как считать логарифмы еще быстрее

Источник

Задача 1. Найдите точку максимума функции

Решение: + показать

Задача 2. Найдите точку минимума функции

Решение: + показать

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции $y=2+9x-frac{x^3}{3}$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 7. Найдите точку максимума функции $y=6+12x-2x^{frac{3}{2}}.$

Решение: + показать

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=-frac{2}{3}xsqrt x+3x+8$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 9. Найдите точку минимума функции $y=-frac{x^2+25}{x}$ .

Решение: + показать

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=frac{x^2+900}{x}$ на

Решение: + показать

Задача 11. Найдите точку максимума функции $y=frac{441}{x}+x+18.$

Решение: + показать

Задача 12. Найдите точку минимума функции $y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.$

Решение: + показать

Задача 13. Найдите точку максимума функции $y=(x+11)^2cdot e^{3-x}.$

Решение: + показать

Задача 14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{1}{12};frac{5}{12}].$

Решение: + показать

Задача 17. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{3}{4};frac{5}{4}].$

Решение: + показать

Задача 18. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-11e^x-1$ на отрезке .

Решение: + показать

Задача 19. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{2}].$

Решение: + показать

Задача 20. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[-frac{pi}{3};frac{pi}{3}].$

Решение: + показать

Задача 21. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[-frac{3pi}{2};0]$ .

Решение: + показать

Задача 22. Найдите наименьшее значение функции $y=4cosx+frac{15}{pi}x+9$ на отрезке $[-frac{2pi}{3};0].$

Решение: + показать

Задача 23. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{4}].$

Решение: + показать

Задача 24. Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку $(0;frac{pi}{2})$ .

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке достигается на конце отрезка , а именно, в точке .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:

1) $y(x_{min})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:

1) $y(x_{max})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

Вы можете пройти тест “Исследование функции при помощи производной”

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №11. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Профиль №11. Исследование функций без помощи производнойadmin2023-01-27T15:47:53+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №11. Исследование функций без помощи производной

Задача 1. Найдите точку максимума функции (y = sqrt {4 — 4x — {x^2}} )

Ответ

ОТВЕТ: — 2.

Решение

Функция (y = sqrt x ) является возрастающей при (x ge 0.) Графиком функции (fleft( x right) = 4 — 4x — {x^2}) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 4}}{{2 cdot left( { — 1} right)}} = — 2) является точкой максимума функции (fleft( x right).) Так как функция (y = sqrt {4 — 4x — {x^2}} ) определена в точке (x = — 2) (left( {,,yleft( { — 2} right) = sqrt {4 — 4 cdot left( { — 2} right) — {{left( { — 2} right)}^2}} = sqrt 8 ,,} right),) то (x = — 2) является её точкой максимума.

Ответ: – 2.

Задача 2. Найдите точку минимума функции (y = sqrt {{x^2} — 6x + 11} )

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Функция (y = sqrt x ) является возрастающей при (x ge 0.) Графиком функции (fleft( x right) = {x^2} — 6x + 11) является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 6}}{2} = 3) является точкой минимума функции (fleft( x right).) Так как функция (y = sqrt {{x^2} — 6x + 11} ) определена в точке (x = 3) (left( {,,yleft( 3 right) = sqrt {{3^2} — 6 cdot 3 + 11} = sqrt 2 ,,} right),) то (x = 3) является её точкой минимума.

Ответ: 3.

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции (y = sqrt {{x^2} — 6x + 13} )

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Функция (y = sqrt x ) является возрастающей при (x ge 0.) Графиком функции (fleft( x right) = {x^2} — 6x + 13) является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 6}}{2} = 3) является точкой минимума функции (fleft( x right)), а так же и точкой минимума функции (y = sqrt {{x^2} — 6x + 11} ). Следовательно, наименьшее значение исходной функции будет в точке (x = 3:) (yleft( 3 right) = sqrt {{3^2} — 6 cdot 3 + 13} = 2.)

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции (y = sqrt {5 — 4x — {x^2}} )

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Функция (y = sqrt x ) является возрастающей при (x ge 0.) Графиком функции (fleft( x right) = 5 — 4x — {x^2}) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 4}}{{2 cdot left( { — 1} right)}} = — 2) является точкой максимума функции (fleft( x right)), а так же и точкой максимума функции (y = sqrt {5 — 4x — {x^2}} ). Следовательно, наибольшее значение исходной функции будет в точке (x = — 2:) (yleft( { — 2} right) = sqrt {5 — 4 cdot left( { — 2} right) — {{left( { — 2} right)}^2}} = 3.)

Ответ: 3.

Задача 5. Найдите точку максимума функции (y = {log _2}left( {2 + 2x — {x^2}} right) — 2)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Логарифмическая функция (y = {log _2}x) является возрастающей при (x > 0.) Графиком функции (fleft( x right) = 2 + 2x — {x^2}) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{2}{{2 cdot left( { — 1} right)}} = 1) является точкой максимума функции (fleft( x right).) Так как функция (y = {log _2}left( {2 + 2x — {x^2}} right) — 2) определена в точке (x = 1) (left( {,,yleft( 1 right) = {{log }_2}left( {2 + 2 — 1} right) — 2 = — 2 + {{log }_2}3,,} right),) то (x = 1) является её точкой максимума.

Ответ: 1.

Задача 6. Найдите точку минимума функции (y = {log _5}left( {{x^2} — 6x + 12} right) + 2)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Логарифмическая функция (y = {log _5}x) является возрастающей при (x > 0.) Графиком функции (fleft( x right) = {x^2} — 6x + 12) является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 6}}{2} = 3) является точкой минимума функции (fleft( x right).) Так как функция (y = {log _5}left( {{x^2} — 6x + 12} right) + 2) определена в точке (x = 3) (left( {,,yleft( 3 right) = {{log }_5}left( {9 — 18 + 12} right) + 2 = 2 + {{log }_5}3,,} right),) то (x = 3) является её точкой минимума.

Ответ: 3.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции (y = {log _3}left( {{x^2} — 6x + 10} right) + 2)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Логарифмическая функция (y = {log _3}x) является возрастающей при (x > 0.) Графиком функции (fleft( x right) = {x^2} — 6x + 10) является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 6}}{2} = 3) является точкой минимума функции (fleft( x right)), а так же и точкой минимума функции (y = {log _3}left( {{x^2} — 6x + 10} right) + 2). Следовательно, наименьшее значение исходной функции будет в точке (x = 3:) (yleft( 3 right) = {log _3}left( {9 — 18 + 10} right) + 2 = 2 + {log _3}1 = 2.)

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции (y = {log _5}left( {4 — 2x — {x^2}} right) + 3)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Логарифмическая функция (y = {log _5}x) является возрастающей при (x > 0.) Графиком функции (fleft( x right) = 4 — 2x — {x^2}) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 2}}{{2 cdot left( { — 1} right)}} = — 1) является точкой максимума функции (fleft( x right)), а так же и точкой максимума функции (y = {log _5}left( {4 — 2x — {x^2}} right) + 3). Следовательно, наибольшее значение исходной функции будет в точке (x = — 1:) (yleft( { — 1} right) = {log _5}left( {4 + 2 — 1} right) + 3 = 3 + {log _5}5 = 4.)

Ответ: 4.

Задача 9. Найдите точку максимума функции (y = {11^{6x — {x^2}}})

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Показательная функция (y = {11^x}) является возрастающей, так основание 11 больше 1. Графиком функции (fleft( x right) = 6x — {x^2}) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{6}{{2 cdot left( { — 1} right)}} = 3) является точкой максимума функции (fleft( x right),) а так же и точкой максимума исходной функция (y = {11^{6x — {x^2}}}.)

Ответ: 3.

Задача 10. Найдите точку минимума функции (y = {7^{{x^2} + 2x + 3}})

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Показательная функция (y = {7^x}) является возрастающей, так основание 7 больше 1. Графиком функции (fleft( x right) = {x^2} + 2x + 3) является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{2}{2} = — 1) является точкой минимума функции (fleft( x right),) а так же и точкой минимума исходной функция (y = {7^{{x^2} + 2x + 3}}.)

Ответ: – 1.

Задача 11. Найдите наименьшее значение функции (y = {2^{{x^2} + 2x + 5}})

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Решение

Показательная функция (y = {2^x}) является возрастающей, так основание 2 больше 1. Графиком функции (fleft( x right) = {x^2} + 2x + 5) является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{2}{2} = — 1) является точкой минимума функции (fleft( x right),) а так же и точкой минимума исходной функция (y = {7^{{x^2} + 2x + 5}}.) Следовательно, наименьшее значение исходной функции будет в точке (x = — 1:) (yleft( { — 1} right) = {2^{1 — 2 + 5}} = {2^4} = 16.)

Ответ: 16.

Задача 12. Найдите наибольшее значение функции (y = {3^{ — 7 — 6x — {x^2}}})

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Показательная функция (y = {3^x}) является возрастающей, так основание 3 больше 1. Графиком функции (fleft( x right) = — 7 — 6x — {x^2}) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина ({x_B} = — frac{b}{{2a}} = — frac{{ — 6}}{{2 cdot left( { — 1} right)}} = — 3) является точкой максимума функции (fleft( x right),) а так же и точкой максимума исходной функция (y = {3^{ — 7 — 6x — {x^2}}}.) Следовательно, наибольшее значение исходной функции будет в точке (x = — 3:) (yleft( { — 3} right) = {3^{ — 7 + 18 — 9}} = {3^2} = 9.)

Ответ: 9.

Источник

Исследование функций с помощью производной

* Замечание. Важно!

ЕГЭ Профиль №11. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Профиль №11. Исследование функций без помощи производной

Новое и интересное на сайте: