Решу егэ математика 518960

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

2012-07-26

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Область допустимых значений (ОДЗ)»

Открытый банк заданий по теме область допустимых значений (ОДЗ). Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac{3pi }2;,3pi right].

Показать решение

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0,  tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0,  cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac{3pi }2;, 3pi right].

x_1=fracpi 4+2pi =frac{9pi }4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac{7pi }3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac{5pi }3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac{5pi }3,  frac{7pi }3,  frac{9pi }4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1178

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt {tgx}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac{3pi }2right] ;

Показать решение

Решение

а) ОДЗ: begin{cases} tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end{cases}

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin{array}{l} 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. end{array}right.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t,  t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

cos 4x=frac12,

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi {12}+frac{pi n}2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1-я и 3-я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi {12}+pi n, n in mathbb Z; x=frac{5pi }{12}+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac{3pi }2right].

x=fracpi {12}, x=frac{5pi }{12}; x=pi ; x=frac{13pi }{12}; x=frac{17pi }{12}.

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi {12}+pi n, n in mathbb Z; frac{5pi }{12}+pi m, m in mathbb Z.

б) pi; fracpi {12}; frac{5pi }{12}; frac{13pi }{12}; frac{17pi }{12}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1177

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac{7pi }2;,frac{9pi }2right].

Показать решение

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_{1,2}=frac{1pmsqrt 9}4=frac{1pm3}4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac{2pi }3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12.Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac{11pi }3,  x_2=4pi ,  x_3 =frac{13pi }3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac{11pi }3,  4pi ,  frac{13pi }3.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1176

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac{11+5ctgleft( dfrac{3pi }2-xright) }{1+tgx}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac{3pi }2right).

Показать решение

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac{3pi }2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x, что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac{11+5tgx}{1+tgx}.

Заметим, что frac{11+5tgx}{1+tgx}= frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac{6}{1+tgx}. Отсюда cos x =frac{dfrac65}{1+tgx}, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac{3sqrt 2}5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac{3sqrt 2}5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac{3sqrt 2}5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5 и b=fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

frac{sqrt 2}{2}<frac{3sqrt 2}2<1.

Действительно, frac{sqrt 2}{2}=frac{5sqrt 2}{10}<frac{6sqrt2}{10}=frac{3sqrt2}{5}.

Заметим также, что left( frac{3sqrt 2}5right) ^2=frac{18}{25}<1^2=1, значит frac{3sqrt 2}5<1.

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

arccos 1<arccos frac{3sqrt 2}5<arccos frac{sqrt 2}2,

0<arccosfrac{3sqrt2}{5}<frac{pi}{4}.

Отсюда fracpi 4+0<fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 4+fracpi 4,

0<fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 2,

0<a<fracpi 2.

Аналогично, -fracpi 4<arccosfrac{3sqrt2}{5}<0,

0=fracpi 4-fracpi 4<fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5< fracpi 4<fracpi 2,

0<b<fracpi 2.

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac{3sqrt 2}5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac{3sqrt 2}5Bigg). При этом -2pi <a-2pi <-frac{3pi }2,

-2pi <b-2pi <-frac{3pi }2. Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac{3pi }2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac{7pi }2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac{3sqrt2}5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac{7pi}4pm arccosfrac{3sqrt2}5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1175

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Показать решение

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x =-sin 2x,

cos x+2 sin x cos x=0,

cos x(1+2 sin x)=0,

cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

1+2 sin x=0,

sin x=-frac12,

x=(-1)^{k+1}cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^{k+1}cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1174

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение frac{sin x-1}{1+cos 2x}=frac{sin x-1}{1+cos (pi +x)}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac{3pi }{2}; -frac{pi }2 right].

Показать решение

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1{1+cos 2x}=frac 1{1+cos (pi +x)}, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x, получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac{3pi }2 leqslant frac{pi }3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac{3pi }2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi {2,}

3) -frac{3pi }2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z. 

Решение:

1) -frac{3pi }2 leqslant frac{pi }3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant  frac13+2m leqslant  -frac12 -frac{11}6 leqslant  2m leqslant  -frac56 , -frac{11}{12} leqslant m leqslant -frac5{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac{11}{12};-frac5{12}right].

2) -frac {3pi} 2 leqslant -frac{pi }3+2pi n leqslant -frac{pi }{2}, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1{6}, -frac7{12} leqslant n leqslant -frac1{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7{12} ; -frac1{12} right].

3) -frac{3pi }2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac{pi }2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

б) -pi .

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1173

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение: sin ^2x+sin ^2fracpi 6=cos ^22x+cos ^2fracpi 3.

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left[ frac{7pi }2;,frac{9pi }2right).

Показать решение

Решение

а) Так как sin fracpi 6=cos fracpi 3, то sin ^2fracpi 6=cos ^2fracpi 3, значит, заданное уравнение равносильно уравнению sin ^2 x=cos ^2 2x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению sin ^2- cos ^2 2x=0.

Но sin ^ 2x-cos ^2 2x= (sin x-cos 2x)cdot (sin x+cos 2x) и

cos 2x=1-2 sin ^2 x, поэтому уравнение примет вид

(sin x-(1-2 sin ^2 x)),cdot (sin x+(1-2 sin ^2 x))=0,

(2 sin ^2 x+sin x-1),cdot (2 sin ^2 x-sin x-1)=0.

Тогда либо 2 sin ^2 x+sin x-1=0, либо 2 sin ^2 x-sin x-1=0.

Решим первое уравнение как квадратное относительно sin x,

(sin x)_{1,2}=frac{-1 pm sqrt 9}4=frac{-1 pm 3}4. Поэтому либо sin x=-1, либо sin x=frac12. Если sin x=-1, то x=frac{3pi }2+ 2kpi , k in mathbb Z. Если sin x=frac12, то либо x=fracpi 6 +2spi , s in mathbb Z, либо x=frac{5pi }6+2tpi , t in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо sin x=1, либо sin x=-frac12. Тогда x =fracpi 2+2mpi , m in mathbb Z, либо x=frac{-pi }6 +2npi , n in mathbb Z, либо x=frac{-5pi }6+2ppi , p in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=fracpi 2+mpi,minmathbb Z; x=pmfracpi 6+spi,s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac{7pi }2, x_2 =frac{23pi }6, x_3 =frac{25pi }6.

Ответ

а) fracpi 2+ mpi , m in mathbb Z; pm fracpi 6 +spi , s in mathbb Z;

б) frac{7pi }2;,,frac{23pi }6;,,frac{25pi }6.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1170

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2cos xleft( cos x+cos frac{5pi }4right) + cos x+cos frac{3pi }4=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ pi ;,frac{5pi }2right).

Показать решение

Решение

а) Так как cos frac{5pi }4= cos left( pi +fracpi 4right) = -cos fracpi 4= -frac{sqrt 2}2 и cos frac{3pi }4= cos left( pi -fracpi 4right) = -cos fracpi 4= -frac{sqrt 2}2, то уравнение примет вид: 2cos xleft( cos x-frac{sqrt 2}2right) +cos x-frac{sqrt 2}2=0.Отсюда (2cos x+1)left( cos x-frac{sqrt 2}2right) =0.

Тогда cos x=-frac12; x=pmfrac{2pi }3+2pi n или cos x=frac{sqrt 2}2;, x=pmfracpi 4+2pi n, где n in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку left[ pi ;,frac{5pi }2right), найдём с помощью числовой окружности: frac{4pi }3;,, frac{7pi }4;,, frac{9pi }4.

Ответ

а) pmfrac{2pi }3+2pi n;,, pmfracpi 4=2pi n, n in mathbb Z.

б) frac{4pi }3;, frac{7pi }4;, frac{9pi }4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1167

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2log_2^2left(frac{sin x}{2}right)- 7log_2left(frac{sin x}{2}right)-15=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[fracpi2; 3piright].

Показать решение

Решение

а) После замены t=log_2left( frac{sin x}{2}right) исходное уравнение примет вид 2t^2-7t-15=0. Корни этого уравнения t=frac{-3}{2}, t=5. Возвращаясь к переменной x, получим:

left[!!begin{array}{l} log_2left( frac{sin x}{2}right) =5, \ log_2left( frac{sin x}{2}right) =frac{-3}{2}; end{array}right. left[!!begin{array}{l} frac{sin x}{2} =2^5, \ frac{sin x}{2} =frac{1}{2sqrt 2}. end{array}right.

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:

x=(-1)^nfracpi 4+pi n, n in mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x =fracpi 4+2pi n, n in mathbb Z или x=frac{3pi }{4}+2pi k, k in mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства fracpi 2leqslant fracpi 4+2pi nleqslant 3pi и fracpi 2leqslant frac{3pi }{4}+2pi kleqslant 3pi.

Получим: frac18leqslant nleqslant frac{11}{8} и -frac18leqslant kleqslant frac98, откуда следует, что n=1, k=0, k=1.

При n=1enspace x=fracpi 4+2picdot 1=frac{9pi}4.

При k=0enspace x=frac{3pi }{4}.

При k=1enspace x=frac{3pi }{4}+2picdot 1=frac{11pi }{4}.

Итак, frac{3pi }{4}, frac{9pi }{4}, frac{11pi }{4} — корни уравнения, принадлежащие промежутку left[ fracpi 2; 3pi right].

Ответ

а) (-1)^nfracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

б) frac{3pi }{4}, frac{9pi }{4}, frac{11pi }{4}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №979

Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2cos^2 x-5 sinleft ( x+frac{3pi}{2} right )+2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left [frac{pi}{2}; frac{3pi}{2} right ].

Показать решение

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения

cos left ( x+frac{pi}{2}right )=-sin x:

2cos^2 x+5cos x+2=0.

Обозначим cos x=t, -1 leq t leq 1, получим 2t^2+5t+2=0.

t_{1}=frac{-5-3}{2 cdot 2}=-2 — не удовлетворяет условию -1 leq t leq 1.

t_{2}=frac{-5+3}{2 cdot 2}=-frac{1}{2}.

Вернёмся к исходной переменной:

cos x=-frac{1}{2},

x=pm left ( pi — frac{pi}{3}right )+2pi n, n in mathbb Z,

x=pm frac{2pi}{3}+2pi n, n in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку left [frac{pi}{2}; frac{3pi}{2} right ], найдём с помощью единичной окружности.

Получаем числа frac{2pi}{3};frac{4pi}{3}.

Ответ

а) pm frac{2pi}{3}+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac{2pi}{3}, frac{4pi}{3}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

• Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
• Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

---

Перейдем к практике.

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем:

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется?

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .

А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна . Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: .

---

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

---

3. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: .

---

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

4.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

Ответ: 4.

---

5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: .

Ответ: 100.

---

6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

---

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в раза уменьшится высота.
Ответ: .

---

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен .

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка
Вторая кружка

Считаем объем второй кружки. Он равен . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

---

Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен , проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен .

---

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в раз, поскольку .
Ответ: .

---

Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите .

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом градусов, а — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на , записываем ответ: .

Продолжение:   другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

---

Единый налоговый счёт – это новый порядок учёта начислений и платежей по налогам и страховым взносам с 2023 года. Всё, что нужно знать об ЕНС в вопросах и ответах, в этой статье.

В 2023 году всем налогоплательщикам открыт ЕНС — единый налоговый счет.

Это новый способ учета начисленных и уплаченных налогов и взносов. ЕНС пополняется с помощью Единого налогового платежа (ЕНП) до срока уплаты налогов. Поступившая сумма распределяется между обязательствами налогоплательщика.
Отказаться от нового порядка и использования ЕНС нельзя — он обязательный.

Кого касается новый порядок?

С 1 января 2023 года новые правила касаются организаций, индивидуальных предпринимателей и физических лиц. Единый налоговый счет теперь есть у всех, а применение нового порядка уплаты и учета налогов — обязательное. Исключение — только для самозанятых, они могут уплачивать налог как раньше или перейти на Единый налоговый платеж.

Общие реквизиты для всех регионов

Все платежи, которые администрируют налоговые органы, теперь отражаются на отдельном казначейском счете в Управлении Федерального казначейства по Тульской области. Вне зависимости от региона постановки на учет или нахождения объекта налогообложения.

При этом по всем вопросам по поводу налогов нужно обращаться, как и раньше — по месту учёта.

Единый налоговый счет открывается автоматически, налогоплательщику делать для этого ничего не нужно. К 1 января ЕНС для всех уже открыты, а остатки по ним сформированы с учетом задолженностей и переплат налогоплательщика по налогам, сборам, страховым взносам, пени, штрафам, процентам.

Федеральный закон от 14.07.2022 № 263-ФЗ.

Где узнать о состоянии ЕНС?

Проверить состояние ЕНС можно в личном кабинете — его функционал доработан с учетом нового порядка.

Также информация о состоянии ЕНС доступна в учетной бухгалтерской системе налогоплательщика.

При необходимости можно заказать в налоговой справку о наличии сальдо ЕНС. Справка предоставляется в течение 5 рабочих дней. Заказать ее можно по ТКС через операторов ЭДО, через ЛК или обратившись в налоговую лично.

В чем преимущества ЕНС?

До 2023 года для заполнения платежек приходилось учитывать 1375 изменяющихся КБК и 60 сроков отчетности в месяц. Переплату можно было вернуть только за 3 последних года, а отмена ограничений на операции по счету занимала до 5 рабочих дней.

Введение ЕНС упрощает расчеты с бюджетом и взаимодействие с налоговыми органами.

Простое оформление платежей

• один платеж в месяц
• общие реквизиты для всех налогов и регионов

Один срок для отчетности

• 25 число месяца — срок подачи отчетности по всем налогам
• 28 число месяца — единый срок уплаты налогов

Быстрый возврат переплаты

• единое сальдо расчетов с бюджетом
• отсутствие срока давности для осуществления возврата
• направление поручения на возврат не позднее дня, следующего за днем получения заявления от налогоплательщика

Разблокировка счета за 1 день

• исключение наличия задолженности и переплаты одновременно
• пеня начисляется на отрицательное сальдо ЕНС
• блокировка счета в банке — только при общем отрицательном балансе ЕНС

Пока новый порядок может казаться непривычным, но постепенно его преимущества станут все более очевидными для каждого налогоплательщика.

Какие налоги нужно платить на ЕНС?

ЕНС — этот форма учета платежей, а не режим налогообложения.

Раньше каждый налог приходилось перечислять на отдельный КБК. С 2023 года деньги зачисляются Единым налоговым платежом один раз в месяц. А налоговый орган распределяет их по обязательствам на основании деклараций и уведомлений.

Система налогообложения не меняется. Организации и индивидуальные предприниматели продолжают начислять и платить налоги с применением обычных условий и ставок.

На ЕНП

Единым платежом будут уплачиваться налоги, порядок уплаты которых установлен НК РФ.

В том числе:

• НДС;
• налог на прибыль;
• страховые взносы;
• налог на УСН и ПСН;
• ЕСХН;
• НДФЛ;
• акцизы;
• имущественные налоги.

На ЕНП или конкретный КБК

• налог на профессиональный доход;
• сборы за пользование объектами животного мира;
• сборы за пользование объектами водных биологических ресурсов;
• утилизационный сбор;
• страховые взносы за периоды до 01.01.2017 года.

На конкретный КБК

• НДФЛ с выплат иностранцам с патентом;
• различные виды пошлин, в том числе по которой суд не выдал исполнительный документ (ст. 11 НК РФ);
• административные штрафы.

Каждый месяц, квартал или год налогоплательщик начисляет налоги с учетом своей системы налогообложения. Но перечисляет их не разными платежками по отдельным КБК, а один раз в месяц Единым налоговым платежом по общим для всех реквизитам.

Больше информации с картинками и видеороликами вы найдёте на сайте налоговой. Переходите по этой ссылке, смотрите и читайте.