Решу егэ площадь сектора - Exhelper.top

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 439 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 77?

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

Площадь закрашенного сектора, изображённого на клетчатой бумаге (см. рис.), равна 6. Найдите площадь круга.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 35.

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге изображен круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

На клетчатой бумаге изображен круг площадью 17. Найдите площадь заштрихованного сектора.

Всего: 439 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 433 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Площадь закрашенного сектора, изображённого на клетчатой бумаге (см. рис.), равна 6. Найдите площадь круга.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, а боковое ребро призмы равно 10.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 3.

На клетчатой бумаге изображен круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

На клетчатой бумаге изображен круг площадью 17. Найдите площадь заштрихованного сектора.

Всего: 433 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Поиск

Всего: 122 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Найдите площадь сектора круга радиуса 20, длина дуги которого равна 2.

Найдите площадь сектора круга радиуса 6, длина дуги которого равна 3.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 16. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 46. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 37. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 8. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Всего: 122 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

3 октября 2013

Сегодня мы научимся считать площади кругов и секторов именно в том виде, в котором они встречаются на настоящем ЕГЭ по математике. Основная проблема таких задач B5 — мы не знаем радиус. Большинство учеников просто теряются, когда обнаруживают, что окружность не проходит через узлы сетки, расположенные на горизонтальных и вертикальных диаметрах.

Однако решение есть: достаточно выбрать любую точку окружности, лежащую в узлах координатной сетки (такая точка обязательно найдется, иначе задача составлена некорректно), а затем с помощью теоремы Пифагора найти квадрат радиуса этой окружности.

Все расчеты мы будем выполнять на примере следующей задачи:

Задача. Найдите площадь S закрашенного сектора, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. В ответе укажите величину S/π.

В первую очередь нам потребуется формула площади круга:

S = πR²

где R — радиус нашего круга. Эту формулу надо знать наизусть. Без нее задачи B5 на площадь круга не решаются вообще.

Но есть и другая проблема. Давайте внимательно посмотрим на рисунок. Для вычисления площади круга (а затем — и сектора) нам надо знать радиус.

Ну и где же здесь радиус? Если мы проведем горизонтальную ось, то получим непонятное число на отрезке [2; 3]. Конечно, можно сказать, что это число ближе к x = 3, но чему именно равно это число, нам неизвестно. А следовательно, использовать эту примерную оценку для решения задачи мы не можем. Надо действовать как-то иначе.

Например, давайте пройдемся по нашей окружности и отметим на ней те точки, которые лежат в узлах координатной сетки. Таких точек будет 4 штуки:

Что дают нам эти точки? А дело в том, что мы можем точно указать, на сколько клеток эти точки отстоят от центра окружности. Например, рассмотрим точку A и центр окружности O:

Мы видим, что точка A отстоит от точки O на 2 клетки по горизонтали и на 2 клетки по вертикали. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2. Кроме того, гипотенуза нашего прямоугольного треугольника как раз и является радиусом круга, площадь сектора в котором нам и требуется найти.

По теореме Пифагора получаем:

R² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

Теперь мы знаем квадрат радиуса круга: R² = 8. Следовательно, зная радиус, мы можем найти площадь всего круга. Достаточно просто подставить найденный радиус в формулу площади. Получим:

S = πR² = π · 8 = 8π

Следующий шаг — мы должны понять, какую часть площади круга занимает закрашенный сектор. Для этого давайте схематично разделим исходный круг на 8 равных частей, как пиццу. На полученной разметке закрасим те кусочки, которые входят в состав искомого сектора. Получится вот такая картинка:

Получается, что закрашенных кусочков k = 3. При этом всего кусков было n = 8. Поскольку площади всех секторов, возникающих при «разрезании» исходного круга, одинаковы, можно найти площадь каждого из них, разделив общую площадь на 8. Затем надо умножить полученное число на 3, поскольку в искомом секторе содержится 3 таких одинаковых кусочка. Подставляем все в формулу:

Но это еще не все! В задаче B5 нас просят указать величину S/π. Подставляем и получаем:

3π/π = 3

Вот мы и нашли ответ. Площадь сектора, деленная на π, равна 3. Как видите, ничего сложного в этой задаче нет. Все, что от нас требуется — правильно выбирать точки на окружности (надо, чтобы они лежали в узлах координатной стеки), а затем подставлять полученные числа в теорему Пифагора.

Надеюсь, этот урок поможет тем ученикам, которым предстоит сдавать ЕГЭ по математике. Задачи на площадь секторов встречаются довольно редко, но к ним надо быть готовым, чтобы они не застали вас врасплох.

Смотрите также:

Задача B5: площадь закрашенного сектора
Площадь круга
Как сдать ЕГЭ по математике
Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях
Задача B4: строительные бригады

Источник

Площадь круга равна произведению числа displaystyle pi на квадрат радиуса:
$displaystyle S=pi R^{2}.$
Задача 1. Найдите площадь круга, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 1). В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .

Рис.1

Решение.
Площадь круга равна произведению числа displaystyle pi на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра проведём радиус . В треугольнике OAB сторона — гипотенуза, катеты равны 1 и 2 (см. рис. 2).

Рис.2

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора. $displaystyle OA=sqrt{1^{2}+2^{2}}=sqrt{5}.$
Площадь круга $displaystyle S=pi (sqrt{5})^{2}=5pi .; frac{S}{pi }=frac{5pi }{pi }=5.$
Ответ: 5.
Задача 2. На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см. рис. 3). Площадь внутреннего круга равна 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Рис.3

Решение.
Радиус внутреннего круга — 3 клетки, его площадь равна $displaystyle pi R^{2}=3$ . Радиус внешнего круга — 6 клеток, то есть , поэтому его площадь равна $displaystyle pi (2R^{2})=3cdot 4=12.$ Площадь заштрихованной фигуры равна разности 12 — 3 = 9.
Ответ: 9.
Площадь сектора с углом displaystyle alpha градусов равна $displaystyle frac{pi R^{2}alpha }{360^{circ}}.$
Задача 3. Найдите площадь сектора с углом 18 градусов и радиусом 4. В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .
Решение.
Посчитаем площадь сектора по формуле $displaystyle S=frac{pi R^{2}alpha }{360}=frac{pi cdot 4^{2}cdot 18}{360}=0,8pi cdot frac{S}{pi }=0,8.$
Ответ: 0,8.
Задача 4. Найдите площадь заштрихованного сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 4). В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .

Рис.4

Решение.
На рисунке 4A) площадь круга с радиусом = 2 равна $displaystyle pi R^{2}=pi cdot 2^{2}=4pi .$
На рисунке 4В) площадь сектора составляет $displaystyle frac{1}{4}$ от площади круга (если круг разделить на 4 равные части, то одна из них как раз и будет равна заданному сектору), то есть
$displaystyle frac{pi R^{2}}{4}=frac{pi cdot 2^{2}}{4}=pi.$
Можно было решать задачу по-другому. Площадь сектора равна площади круга, делённой на 4.
displaystyle S:4=4pi :4=pi.
Ответ: 1.
Задача 5. Найдите площадь заштрихованных секторов на рисунках C и D, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 5).

Рис.5

В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .
Решение. Посчитаем, какая часть круга закрашена. Проведя дополнительные линии (см. рис. 6), видим, что сектор на рисунке 6C) составляет — часть круга, а сектор на рисунке 6D) составляет
$displaystyle frac{5}{8}$ частей круга (круг разделён на 8 равных частей, и закрашено 5 таких частей).
Находим площади секторов на рисунках 6C) и 6D).

Рис.6

1-й способ.
Поделим площадь круга на 8, получим площадь сектора на рисунке 6C), потом умножим эту площадь на 5, получим площадь сектора на рисунке 6D).
$displaystyle S_{C}=4pi :8=0,5pi ;; frac{S}{pi }=0,5;; S_{D}=4pi :8cdot 5=2,5pi ;frac{S}{pi }=2,5.$
Ответ: 0,5 и 2,5.
2-й способ. Найдём площадь $displaystyle frac{1}{8}$ круга.
$displaystyle S_{C}=frac{1}{8}cdot 4pi =0,5pi ;; frac{S}{pi }=0,5;; S_{D}=frac{5}{8}cdot 4pi =2,5pi ;; frac{S}{pi }=2,5.$
Ответ: 0,5 и 2,5.

Источник

Перейти к содержанию

На чтение 1 мин Просмотров 2 Опубликовано 6 марта, 2023

Площади частей круга_x000b_ в ЕГЭ по математике _x000b_ Решение и ответы на задачи на официальном сайте источника онлайн.

Площадь круга, площадь кругового сектора, площадь кольца, задания открытого банка задач.

Варианты ответов и решение задачи — МАТЕРИАЛЫ ТУТ: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/11/11/ploshchadi-chastey-kruga-v-ege-po-matematike

Ответы и решение задачи онлайн

Оставляйте комментарии на сайте, обсуждайте их решения и ответы, предлагайте альтернативные варианты ответов.

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{circ}.$ Тогда $angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.$

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $frac{sqrt{5}}{2}.$

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

${sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $frac{sqrt{5}}{2}.$

$frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $frac{1}{8}$ круга, то есть $frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $frac{3}{8}$ . Получим:

$frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2 , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Ответы и решение задачи онлайн

Новое и интересное на сайте: