Решу егэ показательные простейшие уравнения

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть)., ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 353    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 353    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

ЕГЭ Профиль №13. Показательные уравненияadmin2018-09-29T19:55:18+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 Rightarrow 5^<-x>=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 Rightarrow 3^<8x>=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac<7><3>)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Показательные уравнения

Материал для проведения самостоятельной работы. Задание №5 профильного уровня ЕГЭ по математике.

Ответы

Заметка 824

Даты и термины по истории

Политика

Конспект с основными терминами по обществознанию.

ВЦИОМ: четверть российских старшеклассников хотят уехать из страны

Почти четверть российских старшеклассников хотели бы уехать из России на постоянное место жительства в другую страну. Об этом сообщил генеральный директор Всероссийского центра изучения общественного мнения Валерий Федоров.

Соц.сети — ВК, Tg.

Если нашли ошибку в тексте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

• Свойства степени и корня
• Решение линейных и квадратных уравнений
• Разложение на множители

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения ( 3x+5=2{x} -1) является число ( x=-6).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно ( 5) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

( {{5}^{3}}=5cdot 5cdot 5=125).

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

( 2cdot 2cdot 2={{2}^{3}}=8).

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я ( x) раз умножаю само на себя число ( 2) и получаю в результате ( 16).

Спрашивается, сколько раз я умножил ( 2) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

( begin{align} & 2=2 \ & 2cdot 2=4 \ & 2cdot 2cdot 2=8 \ & 2cdot 2cdot 2cdot 2=16 \ end{align} )

Тогда ты можешь сделать вывод, что ( 2) само на себя я умножал ( displaystyle 4) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: ( displaystyle {{2}^{4}}=16).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем ( displaystyle 1024), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать ( displaystyle 2) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

( displaystyle {{2}^{x}}=1024),

где ( displaystyle x) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь ( displaystyle 2) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что ( displaystyle 1024={{2}^{10}}), тогда моя задачка запишется в виде:

( displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

( x=10).

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

Вот тебе еще один пример:

( {{1000}^{x}}=100).

Но что же делать?

Ведь ( 100) нельзя записать в виде степени (разумной) числа ( 1000).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Какого?

Верно: ( 100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}).

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть ( displaystyle 1000000) рублей, а тебе хочется превратить его в ( displaystyle 1500000) рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под ( displaystyle 12%) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:

Пусть ( Sn) – начальная сумма, ( Sk) – конечная сумма, ( i) – процентная ставка за период, ( x) – количество периодов.

Тогда:

А почему ( i) делится на ( 100)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

Таким образом, для получения ( 1.5) млн. нам потребуется сделать вклад на ( 41) месяц (не очень быстро, не правда ли?)

Пример 1. Метод простой замены

( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Решение:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

( {{4}^{x}}={{2}^{2x}}={{({{2}^{x}})}^{2}})

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

( {{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Если же дополнительно представить ( {{2}^{x+1}}) как ( 2cdot {{2}^{x}}), то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, ( t={{2}^{x}}). Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

( {{t}^{2}}+2t-3=0)

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: ( {{t}_{1}}=-3,~{{t}_{2}}=1).

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной ( displaystyle x).

А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида ( t={{a}^{x}})), меня будут интересовать только положительные корни!

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом, ( {{t}_{1}}=-3) нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

( {{t}_{2}}=1), тогда ( {{2}^{x}}=1), откуда ( x=0).

Ответ: ( x=0)

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.

Пример 2. Метод простой замены

( {{3}^{3x+1}}-4cdot {{9}^{x}}=17cdot {{3}^{x}}-6)

Решение:

Ясно, что скорее всего заменять придется ( {{3}^{x}}) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:

( {{3}^{3x+1}}=3cdot {{left( {{3}^{x}} right)}^{3}}), ( {{9}^{x}}={{({{3}^{x}})}^{2}}).

Тогда можно заменять ( t={{3}^{x}}), в результате я получу следующее выражение:

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}=17t-6)

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0)

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить ( t) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение ( displaystyle t=1). Не является корнем. Увы и ах! Хорошо, а теперь возьмем…

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.

Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

( {{9}^{x+1}}-2cdot {{3}^{x+2}}+5=0,~) при ( ~xin (lo{{g}_{3}}frac{3}{2};sqrt{5}))

Решение:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену ( t={{3}^{x}}) мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

( {{t}^{2}}-18t+5=0)

( {{t}_{1}}=frac{1}{3},~{{t}_{2}}=frac{5~}{3})

Тогда ( {{x}_{1}}=-1,~{{x}_{2}}=mathbf{lo}{{mathbf{g}}_{3}}left( frac{5}{3} right)~~~)

Вначале давай рассмотрим первый корень. 

Сравним ( -1) и ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)):

так как ( frac{3}{2}>1), то ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>0). (свойство логарифмической функции ( y=lo{{g}_{a}}x) при ( a>1)).

Тогда ясно, что( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>-1) и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень:

Пример уравнения с нестандартной заменой!

( displaystyle 4sqrt[x]{81}-12sqrt[x]{36}+9sqrt[x]{16}=0)

Решение:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что ( 81={{9}^{2}},~16={{4}^{2}},~) а ( 36=4cdot 9.)

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

( displaystyle 4cdot {{9}^{frac{2}{x}}}~-12cdot {{4}^{frac{1}{x}}}{{9}^{frac{1}{x}}}+9cdot {{4}^{frac{2}{x}}}=0)

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на ( {{4}^{frac{2}{x}}}):

Например, уравнение вида:

( {{a}^{F(x)}}=b(x)), причем ( b(x)ne {{a}^{i}}), ( i)( in R/Q)

В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию ( a)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

( F(x)=lo{{g}_{a}}b(x))

Давай рассмотрим следующий пример:

( {{x}^{1+lgx}}=10x)

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только ( x>0). Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию ( 10):

( lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x))

( (1+lg(x))cdot lg(x)=1+lg(x))

( (1+lg(x))(lg(x)-1)=0)

( lg(x)=1,~lg(x)=-1)

( {{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1)

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

( {{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}})

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию ( 4), тогда получим:

( lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});)

( left( lo{{g}_{4}}x-2 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}x=2left( text{lo}{{text{g}}_{4}}x-1 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}2;)

( (lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);)

Сделаем замену: ( t=lo{{g}_{4}}x)

( {{t}_{1}}=frac{3+sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=frac{3-sqrt{5}}{2})

Тогда ( {{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right),~)

Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?

Ведь ( frac{3-sqrt{5}}{2}<1,~) тогда:

( {{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right)<0,~~) что не удовлетворяет требованию ( x>0) (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: ( lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right))

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже

• ( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=sqrt{10})
• ( {{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7)

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию ( 10), учитывая, что ( x>0):

( lg left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} right)=lgsqrt{10})

( left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx right)lgx=frac{1}{2},~), замена ( ~t=l{{g}^{2}}xge 0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0) (второй корень нам не подходит ввиду замены)

( l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~)

2. Логарифмируем по основанию ( displaystyle 7):

( displaystyle lo{{g}_{7}}{{left( x+5 right)}^{lo{{g}_{7}}left( x+5 right)}}=lo{{g}_{7}}7)

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

( displaystyle left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)+1 right)left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)-1 right)=0)

( displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-frac{34}{7})

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$

Где (a) и (b) — некоторые числа, а (f(x)) и (g(x)) — какие-то выражения, зависящие от (x). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

$$2^x=8;$$
$$ 2^x=2^{2x+1};$$
$$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

$$ 7x+2=16;$$
$$x^2-4x+5=0;$$

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Пример 1
$$ 2^x=8;$$

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

$$ 2^3=2*2*2=8; $$

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь по-сложнее.

Пример 2
$$ 3^{4x-1}=frac{1}{9};$$

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

$$frac{1}{9}=frac{1}{3^2}=3^{-2};$$

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

$$ a^{-n}=frac{1}{a^n};$$

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

$$ 4x-1=-2;$$

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

$$4х=-2+1;$$
$$4x=-1;$$
$$x=-frac{1}{4}.$$

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3
$$125^x=25;$$

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

$$ (5^3)^x=5^2;$$

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^{n*m}):

$$ 5^{3*x}=5^2;$$

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

$$ 3*x=2;$$
$$ x=frac{2}{3};$$

И еще один пример:

Пример 4
$$2^x=-4;$$

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

$$ a^x=b;$$

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0)).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

$$ a^x=a^m;$$

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

$$x=m.$$

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Пример 5
$$2^x=16;$$

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

$$2^x=2^4$$

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$

Пример 6
$$5^{-x}=125 Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 Rightarrow 5^{-x}=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$

Пример 7
$$9^{4x}=81 Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 Rightarrow 3^{8x}=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac{1}{2}.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

Пример 8
$$ 3^x=2;$$

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

$$ b=a^{log_{a}(b)};$$

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$

Подставим данное преобразование в наш пример:

$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

$$x=log_{3}(2).$$

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Пример 9
$$ 7^{2x}=5;$$
$$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$
$$2x=log_{7}(5);$$
$$x=frac{1}{2}*log_{7}(5).$$

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

$$ x=frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{frac{1}{2}})=log_{7}(sqrt{5});$$

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Рассмотрим уравнение:

Пример 10
$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^{n*m}). Подставим:

$$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

$$t^2-5t+6=0;$$

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

$$D=5^2-4*6=25-24=1; Rightarrow t_{1}=frac{5+sqrt{1}}{2}=3; Rightarrow t_{2}=frac{5-sqrt{1}}{2}=2;$$

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

$$ 3^x=3;$$
$$3^x=3^1;$$
$$x=1.$$

И второй корень:

$$ 3^x=2;$$
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
$$x=log_{3}(2).$$

Ответ: (x_{1}=1; ; x_{2}=log_{3}(2).)

И еще один пример на замену:

Пример 11
$$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

$$ 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$

Подставим в исходное уравнение:

$$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

$$t=3^{2x^2-3x+1}; ; t>0;$$
$$3*t^2-10t+3=0;$$
$$D=100-36=64; Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=frac{1}{3};$$

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$
$$ 2x^2-3x+1=1;$$
$$x(2x-3)=0;$$
$$x=0; ; x=frac{3}{2}.$$

И второе значение (t):

$$3^{2x^2-3x+1}=frac{1}{3};$$
$$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$
$$2x^2-3x+1=-1;$$
$$2x^2-3x+2=0;$$
$$D=9-16=-7<0;$$

Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Ответ: (x_{1}=0; ; x_{2}=frac{3}{2}.)

Однородные показательные уравнения

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Пример 12
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} ; ; :3^x$$
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}+frac{3*7^{x}}{3^x}=frac{3^{x+2}}{3^x}+frac{3^{x}}{3^x};$$

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

$$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$ frac{a^n}{b^n}=(frac{a}{b})^n;$$

Разберем каждое слагаемое:

$$ frac{7^{x+1}}{3^x}=frac{7*7^x}{3^x}=7*frac{7^x}{3^x}=7*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3*7^{x}}{3^x}=3*frac{7^x}{3^x}=3*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$
$$ frac{3^{x}}{3^x}=1;$$

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

$$ 7*(frac{7}{3})^x+3*(frac{7}{3})^x=9+1;$$

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac{7}{3})^x):

$$7t+3t=10;$$
$$10t=10;$$
$$t=1;$$

Сделаем обратную замену:

$$(frac{7}{3})^x=1;$$

Вспоминаем, что (1=(frac{7}{3})^0):

$$(frac{7}{3})^x=(frac{7}{3})^0;$$
$$x=0.$$

Ответ: (x=0).

И последний пример на замену:

Пример 13
$$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$${(a^n)}^m=a^{n*m};$$

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$

И последнее слагаемое со степенью:

$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

$$2^x*(4+2+8)=28;$$
$$14*2^x=28;$$
$$2^x=frac{28}{14}=2;$$
$$2^x=2^1;$$
$$x=1.$$

Ответ: (x=1.)

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Пример 14
$$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

$$frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^{n+m}) и (frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}):

$$1=frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$
$$1=frac{5^{2x+3}}{5^x};$$
$$1=5^{2x+3-x};$$
$$1=5^{x+3};$$
$$5^0=5^{x+3};$$
$$x+3=0;$$
$$x=-3.$$
Ответ: (x=-3).

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

В 10-11 классе в курсе алгебры изучаются показательные уравнения, решение показательных уравнений является обязательным навыком, который проверяется на ЕГЭ. Рассмотрим методы решения показательных уравнений. Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная выступает как показатель степени некоторой другой переменной. Например, уравнение 2^x = 8 является показательным уравнением, потому что переменная  x появляется как показатель степени с основанием 2. Экспоненциальные уравнения могут иметь множество различных форм в зависимости от конкретных значений и задействованных переменных.

Как правило, экспоненциальные уравнения могут быть трудны для решения, потому что экспоненциальная функция растет очень быстро, что может затруднить поиск точного значения переменной. Однако есть несколько различных методов, которые можно использовать для решения экспоненциальных уравнений, таких как использование логарифмов или выражение уравнения в виде одного и того же основания с обеих сторон.

Показательными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестное входит в показатель степени, общий вид их таков:

displaystyle a^{f (x)}=a^{g (x)}. Решением показательного уравнения будет число или выражение, которое называется корнем уравнения. Корней может быть один или несколько. Решить уравнение это значит найти его корни.

Однако некоторые из них (сложные) еще надо к такому виду привести.

Показательные уравнения решаются после степенных преобразований, в которых могут быть использованы показатели степени дробные, нулевые, отрицательные.

Таблица основных свойств показателей степени, которые используются при решении показательных уравнений.

1	displaystyle a^m cdot a^n	displaystyle a^{m+n}
2	displaystyle frac{a^m}{a^n}	displaystyle a^{m-n}
3	displaystyle (a cdot b)^n	displaystyle a^n cdot b^n
4	displaystyle a	displaystyle a^1
5	displaystyle (frac{a}{b})^n	displaystyle frac{a^n}{b^n}
6	displaystyle 1	displaystyle a^0
7	displaystyle sqrt[n]{a^m}	displaystyle a^{frac{m}{n}}
8	displaystyle a^{-n}	displaystyle frac{1}{a^{n}}
9	displaystyle (frac{a}{b})^{-n}	displaystyle (frac{b}{a})^{n}

Рассмотрим примеры решения и методы решения показательных уравнений из ЕГЭ. Они помогут вам понять, как решаются показательные уравнения и какие они могут встретиться на экзамене.

Показательная функция

• Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
• Область определения показательной функции: D (y)=R — множество всех действительных чисел.
• Область значений показательной функции: E (y)=R₊ -множество всех положительных чисел.
• Показательная функция  y=a^x возрастает при a>1.
• Показательная функция y=a^x убывает при 0

График показательной функции:

Решение простейших показательных уравнений вы найдете вот в этих статьях:

Решение простейших показательных уравнений

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Повторим решение показательных уравнений на примерах.

Примеры решения показательных уравнений

Метод приведения к одному основанию

Задание 1

Решите уравнение:

3^{2x-1}=27

Решение:

В левой части можно сразу получить степень с основанием 3:

3^{2x-1}=3^3
2x-1=3
2x=3+1
2x=4
x=2

Ответ: 2

Задание 2

Решить 4^{3x-1}=4 cdot 4^{5x+10}

Решение:

В правой части у нас множитель 4, представим его по формуле (4) так: 4=4^1

и получаем:

4^{3x-1}=4^{5x+11}

Если основания степеней равны слева и справа от знака «равно», значит, равны и показатели степеней:

3x-1=5x+11
3x-5x=11+1
-2x=12
x=-6

Таким образом, -6 — корень уравнения.

Ответ: x=-6

Метод деления на степень

Задание 3

Допустим нам надо решить вот такое уравнение:

2^{5x-2}=3^{5x-2}

Решение:

Если показатели степени одинаковые, и данные степени равны, хотя их основания разные, это значит, что данные показатели равны нулю.

5x-2=0
5x=2
x=2/5
x=0,4

Однако, данное уравнение легко решается и первым методом, если мы разделим левую и правую части равенства на 3^{5x-2}. Получим:

displaystyle frac{2^{5x-2}}{3^{5x-2}}=1

По формулам (2) и (6) из таблицы, проведем преобразование: displaystyle (frac{2}{3})^{5x-2}=(frac{2}{3})^0

отсюда:

5x-2=0
x=0,4

Ответ: 0,4

Вынесение множителя за скобки

Суть метода заключается в вынесении за скобки степени с наименьшим показателем.

Чтобы решить показательное уравнение, вынеся общий множитель, можно использовать тот факт, что если два числа имеют общий множитель, то на этот множитель можно сократить, разделив оба числа на один и тот же множитель. Это можно использовать для решения экспоненциальных уравнений путем исключения общих множителей, которые появляются как в основании, так и в показателе степени уравнения.

Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:

   

Чтобы решить это уравнение, мы можем вынести общий множитель , разделив обе части уравнения на :

   

Это упрощает уравнение до:

   

Решением исходного уравнения является .

Это всего лишь один пример того, как решить показательное уравнение, вынеся общий множитель. Решим еще несколько примеров этим методом.

Пример 4

3^{3x+1}-2 cdot 3^{3x}=27

Решение: наименьшим показателем степени является 3x, вынесем за скобки 3^{3x}
3^{3x}(3-2)=27
3^{3x}=27
3^{3x}=3^3
3x=3
x=1

Ответ: x=1

Пример 5

3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}=315

Решение: наименьший показатель степени: 2x-4, тогда вынесем за скобки 3^{2x-4}:

3^{2x-4}(3^3+3^2-1)=315
3^{2x-4}(27+9-1)=315
3^{2x-4} cdot 35=315
3^{2x-4}=315:35
3^{2x-4}=9
3^{2x-4}=3^2
2x-4=2
2x=6
x=3

Ответ: x=3

Метод подстановки и сведения к квадратному уравнению

Рассмотрим еще один вид показательных уравнений — это уравнения, которые можно с помощью подстановки привести к квадратному уравнению.

Пример 6

5 cdot 4^{2x}-6 cdot 4^x+1=0

Решение:

5 cdot 4^{2x}-6 cdot 4^x+1=0

Полагая 4^x=t, получим квадратное уравнение:

5 cdot t^{2}-6 cdot t+1=0

Решим его. Здесь a=5,  b=-6, c=1.

Дискриминант displaystyle D=b^2-4ac=(-6)^2-4 cdot 5cdot 1=36-20=16
displaystyle sqrt{D}=4.

Используя формулу displaystyle t_{1,2}=frac{-b pm sqrt{D}}{2a}, находим:

displaystyle t_{1}=frac{-6 — 16}{10}=frac{-22}{10}=-2,2
displaystyle t_{1}=frac{-6 + 16}{10}=frac{10}{10}=1

Возвращаемся к первоначальной переменной:

1.  4^x=-2,2. Это равенство невозможно, поскольку показательная функция может принимать только положительные значения.
2. 4^x=1
   x=0

Ответ: x=0

Пример 7

Найдите корни уравнения displaystyle 3^{2x}-4 cdot 3^{x}=45

Решение:

Выполним замену displaystyle 3^x=t:

displaystyle t^2-4t-45=0

Решим с помощью теоремы Виета:

begin{cases} t_1+t_2 = 4, \ t_1 cdot t_2=-45 end{cases}

Подбирая корни, получаем:

displaystyle t_1=-5
displaystyle t_2=9

Переходим к первоначальной переменной:

1. displaystyle 3^x=-5. Такое равенство не существует, так как область значений показательной функции — положительные числа.
2. displaystyle 3^x=9. Прологарифмируем данное равенство логарифмом по основанию 3.

   displaystyle log_{3}{3^x}=log_{3}9
   displaystyle x=2

Ответ: 2

Здесь мы использовали логарифмирование, что это такое и как это применяется к решению экспоненциальных уравнений давайте рассмотрим на примерах.

Логарифмирование

Логарифмирование обеих частей показательного уравнения — это математическая операция, которая часто используется для решения показательных уравнений.

Пример 8

Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:

   

Решение: Чтобы решить это уравнение с помощью логарифмов, мы можем взять логарифм обеих частей уравнения. Это дает нам:

   

Поскольку логарифм степени равен показателю степени, мы можем упростить левую часть уравнения до:

   

Чтобы найти значение x, мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что эквивалентно . В этом случае у нас есть , поэтому x=3.

Ответ: x=3.

Пример 9

Решить displaystyle e^{2x}=55

Решение: прологарифмируем левую и правую части равенства логарифмом по основанию e — натуральным логарифмом ln
displaystyle ln e^{2x}=ln 55
displaystyle 2x=ln 55
displaystyle x=frac{1}{2}ln 55

Ответ: displaystyle x=frac{1}{2}ln 55

Пример 10

displaystyle 3^x cdot 5^{2x}=150

Решение: Прологарифмируем левую и правую части уравнения логарифмом по основанию 150:

displaystyle log_{150}(3^x cdot 5^{2x})=log_{150}150
displaystyle log_{150}3^x+log_{150}5^{2x}=1

displaystyle x (log_{150}3 +log_{150}25)=1
displaystyle x log_{150}75=1
displaystyle x= frac{1}{log_{150}75}=log_{75}{150}

Ответ: displaystyle log_{75}{150}

Далее мы рассмотрим показательное неравенство и систему показательных уравнений и неравенств.