Решу егэ теорема птолемея - Exhelper.top

Всего: 8 1–8

Добавить в вариант

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB  =  3, BC  =  CD  =  5, AD  =  8, AC  =  7.

а)  Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б)  Найдите BD.

Источник: ЕГЭ по математике 11.04.2018. Досрочная волна, резервная волна. Запад (часть С)

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.

а)  Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б)  Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М, если известно, что площадь равна  а радиус окружности равен

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 104.

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС  =  АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

а)  Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.

б)  Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ  =  6, ВС  =  5, СА  =  3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 180.

Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены перпендикуляры MK и MP соответственно.

а)  Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K.

б)  Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP  =  30°, ∠AOC  =  15°, а радиус окружности равен 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 140.

Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность.

а)  Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б)  Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 163.

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.

а)  Докажите, что АВ  =  CD.

б)  Найдите AD, если AB  =  2, BC  =  7.

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервная волна 25.06.2018), Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а)  Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б)  Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).

Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.

а)  Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.

б)  Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (C часть).

Всего: 8 1–8

Источник

2364 В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M, причем /_BAM=30^@. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC в точке N, отличной от А. Известно, что /_BNC=105^@, AB=2, AC=2sqrt6. а) Доказать, что BN:NC = 1:sqrt2 б) Найдите длину отрезка AN

Решение В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M, причем угол BAM = 30 градусам ! ларин егэ по математике 2020 профильный уровень Вариант 320 Задание 16 # Два способа решения: 1 способ) Через теорему синусов и косинусов
(Решение Leonid Argail) 2 способ) через теорему Птолемея — Решение Елены Ильиничны Хажинской

Источник

4. Теорема Птолемея

Клавдий Птолемей (ок.100-ок.178)– древнегреческий астроном, математик, географ. Он ввёл понятия широты и долготы местности. Автор «Великого математического построения астрономии в 13 книгах» («Альмагест»), в котором, в частности, изложены сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии и дана теорема о выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность. Благодаря теореме он составил таблицу хорд, которой воспользовался для астрономических вычислений.

Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей

Запишем теоремы синусов для треугольников АВD, АВС, ВСD:

, , , , , .

Теорема будет доказана, если будет показано равенство тригонометрических выражений, получившихся при подстановке в формулу после сокращения на :

и . После тригонометрических преобразований левой и правой части и получаем тождественное равенство.

Другое доказательство прямой теоремы связано с небольшим дополнительным построением. Проведём отрезок АQ так, чтобы углы QАD и ВАС были равны. Из подобия треугольников QАD и ВАС следует равенство или . Из подобия треугольников QАВ и АСD следует равенство или .

Сложив равенства , получаем .

Покажем, как Птолемей составил таблицу хорд. Допустим, дан диаметр окружности d и хорды двух дуг: а и b.

Найдём хорду разности этих дуг.

Запишем теорему с учётом того, что треугольники МАС и МВС прямоугольные:

, откуда получаем формулу для хорды . Следует заметить, что . Разделив дугу пополам, можно найти хорду половины дуги. Птолемей установил длину хорды дуги 0,50 и, пользуясь этим, вычислил хорды всех дуг с шагом в 0,50. Это были первые тригонометрические таблицы в истории математики.

Задачи на теорему Птолемея

На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная точка М, отличная от А, В и С. Доказать, что один из отрезков АМ, АВ, АС равен сумме двух других.
В шестиугольнике АВСDЕF, вписанном в окружность, АС = СЕ = ЕА, . Найти периметр шестиугольника.
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что .

5. Определение радиуса вневписанной окружности в треугольнике

Пусть в треугольнике АВС точка О – центр вневписанной окружности, точка Р – центр описанной окружности, Е – центр вписанной окружности, угол ВАС равен α, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, ρ – радиус вневписанной окружности, M, F, D, H, K, Q – точки касания окружностей со сторонами треугольника или угла.

Запишем следующую систему равенств: . Из системы следует формула . Запишем теорему косинусов для стороны а:

Таким образом, и .

Можно получить формулу для r следующим образом: , , , следовательно

Воспользовавшись формулой для ρ несложно получить следующие равенства:

и .

Теорема Мансиона

Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Пауль Мансион – бельгийский математик, 1844-1919 г.

Пусть N – середина отрезка ЕО. Докажем, что в этом случае отрезок РN есть радиус описанной окружности. Итак, .

Источник

4 сентября 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теорема Птолемея на ЕГЭ по математике

Теорема Птолемея помогает при решении задач по планиметрии во второй части ЕГЭ по математике. Её можно использовать без доказательства.

Автор: Марсель Нуртдинов.

Источник: youtube.com/channel/UCQW7Z7r2CAgyDMDGw-Zt4CQ

Источник

��: 1 2 3 4 5 6 7 >> [�� : 34]

��, �� ң�� , �� .

� �� ABC �� BC �� . �� A � �� B’, C’ �� AB � AC �� Ω � � �� . ��, �� I �� ABC.

��

78539

��: 4+
��: 9,10

� �� ABC �� BC �� . ��,
�� A �� , ��
� �� .

�� ABC, ��ޣ� �� BC �� .
��, �� A, �� AB � AC �
�� (�� 4 �� 9 ��).

��

55464

��: 5-
��: 8,9

�� A₁A₂…A_n – �� ޣ�� , M – �� A₁A_n ��, �� . ��, �� M �� ޣ�� M �� ޣ�� .

��: 1 2 3 4 5 6 7 >> [�� : 34]

Источник

1. Метод проведения вспомогательной
окружности.

Проведение вспомогательной окружности около
четырехугольника позволяет установить
равенство вписанных углов, либо использовать
свойства четырехугольника, вписанного в
окружность и свойства описанной окружности.

Задача 1. В треугольнике АВС
проведены биссектрисы из вершин А и С. Пусть К и L
– основания перпендикуляров, опущенных из
вершины В на эти биссектрисы.

Докажите, что прямая КL параллельна АС. [3]

Задача 2. Внутри острого угла,
равного ,
взята точка М, удаленная от сторон угла на
расстояния k и n.

Найти расстояние от вершины угла до точки М.
[3]

Задача 3. Дан остроугольный
треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС во внешнюю
сторону построены равные прямоугольники АВМN и
LВСК так, что АВ = КС.

Докажите, что прямые АL, NК и МС пересекаются
в одной точке. [3]

Задача 4. В треугольнике NMF
медиана МА делит угол М так, что NMА = 20° и АMF= 30°. Из точки А опущены
перпендикуляры АК и АС на стороны NM и MF
соответственно.

Вычислить площадь треугольника АКС, если АК
= 5 и КС = 7. [2]

Задача 5. Пусть А₁,В₁, С₁ – точки касания вписанной
окружности остроугольного треугольника АВС со
сторонами ВС, АС, АВ соответственно. Обозначим
через Н₁ и Н ортоцентры треугольников ВС₁А₁
и СА₁В₁ соответственно.

Доказать, что четырехугольник ВН₁НС —
вписанный. [3]

2. Применение теоремы Птолемея

Теорема Птолемея: В любом вписанном
четырехугольнике произведение диагоналей равно
сумме произведений противоположных сторон, т.е.
АС•ВD=AB•CD+BC•AD.

Задача 1. В окружность вписан
равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). На дуге
АВ взята произвольная точка К и соединена
хордами с вершинами треугольника.

Доказать, что АК • КС = АВ² – КВ².
[3]

Задача 2. Длины катетов
прямоугольного треугольника равны а и в. На его
гипотенузе во внешнюю сторону треугольника
построен квадрат, одна из сторон которого
совпадает с гипотенузой.

Найдите расстояние от вершины прямого угла
треугольника до центра квадрата. [3]

Задача 3. В равнобочной
трапеции основание АD равно диагонали АС.
Известно, что САD
= СDМ, где М –
середина ВС.

Найти углы трапеции. [1]

Задача 4. Вокруг
равностороннего треугольника АВС описана
окружность радиуса R и на дуге ВС окружности
взята точка М так, что дуга ВС делится этой точкой
в отношении 1:3, считая от вершины В.

Найти расстояние АМ. [1]

Задача 5. Доказать, что в
равнобочной трапеции произведение длин
оснований равно разности квадратов диагонали и
боковой стороны. [2]

Используемая литература

1. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по
математике для 10 кл. М., Просвещение, 1989 г.

2. О.Ю. Черкасов. Планиметрия на вступительном
экзамене, “Московский лицей”, 1996г.

3. Задачи математических конкурсов и олимпиад
2007-2010 гг.

Источник

Теорема (Птолемея)

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.

Дано:

4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)

Доказать:

AC·BD=AB·CD+AD·BC

Доказательство:

I способ

Из треугольников ABC и ADC по теореме косинусов

Введём обозначения AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, AC=d₁, BC=d₂.

Тогда

$[cos angle ABC = frac{{a^2 + b^2 - d_1^2 }}{{2ab}}, ]$

$[ cos angle ADC = frac{{c^2 + d^2 - d_1^2 }}{{2cd}}. ]$

Так как четырёхугольник ABCD — вписанный, то ∠ABC+∠ADC=180°.

Отсюда cos∠ADC=cos(180°-∠ABC)= -cos∠ABC,

$[ - frac{{a^2 + b^2 - d_1^2 }}{{2ab}} = frac{{c^2 + d^2 - d_1^2 }}{{2cd}}, ]$

$[ d_1^2 = frac{{ab(c^2 + d^2 ) + cd(a^2 + b^2 )}}{{ab + cd}} = ]$

$[ = frac{{abc^2 + abd^2 + a^2 cd + b^2 cd}}{{ab + cd}} = ]$

$[ = frac{{(abc^2 + a^2 cd) + (abd^2 + b^2 cd)}}{{ab + cd}} = ]$

$[ = frac{{ac(bc + ad) + bd(ad + bc)}}{{ab + cd}} = ]$

$[ = frac{{(ac + bd)(ad + bc)}}{{ab + cd}}. ]$

Аналогично

$[ d_2^2 = frac{{(ab + cd)(ac + bd)}}{{ad + bc}}. ]$

Отсюда

$[ d_1^2 cdot d_2^2 = frac{{(ac + bd)(ad + bc)(ab + cd)(ac + bd)}}{{(ab + cd)(ad + bc)}} = (ac + bd)^2 , ]$

Что и требовалось доказать.

В ходе доказательства получили полезные соотношения:

1) Диагонали вписанного четырёхугольника связаны с его сторонами равенствами:

$[ d_1^2 = frac{{(ac + bd)(ad + bc)}}{{ab + cd}};d_2^2 = frac{{(ab + cd)(ac + bd)}}{{ad + bc}}. ]$

2)Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника.

$[ frac{{d_1^2 }}{{d_2^2 }} = frac{{(ac + bd)(ad + bc)}}{{ab + cd}}:frac{{(ab + cd)(ac + bd)}}{{ad + bc}} = frac{{(ad + bc)^2 }}{{(ab + cd)^2 }}, ]$

$[ frac{{d_1 }}{{d_2 }} = frac{{ad + bc}}{{ab + cd}}, ]$

то есть диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.

II способ

Построим угол CBK, равный углу DBA.

У треугольников CBK и DBA

∠CBK=∠DBA (по построению)

∠BCK=∠BDA (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB).

Значит треугольники CBK и DBA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$[ frac{{BC}}{{BD}} = frac{{CK}}{{AD}}, ]$

откуда по основному свойству пропорции

Рассмотрим треугольники ABK и DBC.

∠BAK=∠BDC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC).

∠ABK=∠ABD+∠DBK,

∠DBC=∠CBK+∠DBK,

а так как ∠ABD=∠CBK, то и ∠ABK=∠DBC.

Следовательно, треугольники ABK и DBC подобны (по двум углам), и

$[ frac{{AB}}{{BD}} = frac{{AK}}{{CD}}, ]$

Сложим почленно полученные равенства:

$[ + frac{begin{array}{l} BC cdot AD = BD cdot CK \ AB cdot CD = BD cdot AK \ end{array}}{{BC cdot AD + AB cdot CD = BD cdot CK + BD cdot AK}}, ]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Теорема Птолемея на ЕГЭ по математике

������ 78539

������ 55464

1. Метод проведения вспомогательной окружности.

2. Применение теоремы Птолемея

Новое и интересное на сайте:

��

78539

��

55464

1. Метод проведения вспомогательной
окружности.