Ларин 400 вариант егэ

Задание 1

В тупоугольном треугольнике АВС известно, что $$AC=BC=4sqrt{5},$$ высота АН равна 4.  Найдите $$tg angle ACB.$$

Ответ: -0,5

Скрыть

Тангенс угла ACB можно выразить через угол ACH следующим образом:

$$tgangle ACB=tg(pi-angle ACH)=-tgangle ACH$$.

Найдем тангенс угла ACH из прямоугольного треугольника ACH как отношение противолежащего катета AH на прилежащий катет CH:

$$tgangle ACH=frac{AH}{CH}=frac{AH}{sqrt{AC^2-AH^2}}$$

$$tgangle ACH=frac{4}{sqrt{80-16}}=frac{4}{8}=0,5$$

Тогда

$$tgangle ACB=-0,5$$.

Задание 2

Ответ: 750

Скрыть

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASH, в котором высота SH=15, угол SAH=60°, а угол ASH=30°. Тогда отрезок AH будет равен

$$tgangle ASH=frac{}{}Rightarrow AH=SHcdottg 30^{circ}$$

$$AH=15cdotfrac{sqrt{3}}{3}=5sqrt{3}$$

Из рисунка видно, что треугольник ASD имеет два угла по 60°, следовательно, третий угол ASD также равен 60° и треугольник ASD равносторонний. В равностороннем треугольнике высота SH делит основание AD пополам, то есть $$AD=2AH$$ и $$AD=10sqrt{3}$$

Для нахождения второй стороны основания рассмотрим прямоугольный треугольник SHG, в котором угол SGH=60° по условию задачи. Следовательно, угол HSG будет равен 30° (так как сумма углов в треугольнике всегда 180°). Аналогично находим длину HG:

$$HG=SHcdottg 30^{circ}$$

$$HG=15cdotfrac{sqrt{3}}{3}=5sqrt{3}$$

Тогда площадь основания пирамиды будет равна

$$S_{осн}=ADcdot HG=10sqrt{3}cdot5sqrt{3}=150$$

и объем пирамиды

$$V=frac{1}{3}S_{осн}cdot h=frac{1}{3}cdot150cdot15=750$$

Задание 3

В группе шесть человек, среди них — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

Ответ: 0,2

Скрыть

Пусть Михаил попадет в какую-то из групп (неважно в какую), тогда для Олега останется только 1 место в этой группе, а всего мест 5 (т.к Михаил свое занял)

$$​P(A)=frac{1}{5}=0,2$$

Задание 4

Ответ: 29

Скрыть

$$600+360+35+5=1000$$ — всего билетов

$$frac{600}{1000}=0,6$$ — шанс купить билет с выигрышем 8 рублей

$$0,36; 0,035; 0,005$$ — остальные билеты

$$8cdot0,6+20cdot0,36+400cdot0,035+5000cdot0,005=4,8+7,2+14+25=51$$ — математическое ожидание выигрыша

$$80-51=29$$ — ответ

Задание 5

Ответ: -1

Скрыть

$$frac{1}{x^2-3x+2}=frac{1}{2x^2-3x+1}Leftrightarrowleft{begin{matrix} x^2-3x+2=2x^2-3x+1\ x^2-3x+2neq0 end{matrix}right.$$

Получим: $$x^2-1=0Rightarrow x=pm1.$$ Но при $$x=1$$ имеем $$x^2-3x+2=0,$$ значит — это посторонний корень и $$x=-1$$

Задание 6

Ответ: 5

Скрыть

$$frac{18cdotsqrt[3]{sqrt[8]{a}}-3cdotsqrt[4]{sqrt[6]{a}}}{3cdotsqrt{sqrt[12]{a}}}=frac{18sqrt[3cdot8]{a}-3sqrt[4cdot6]{a}}{3cdotsqrt[2cdot12]{a}}=frac{18sqrt[24]{a}-3sqrt[24]{a}}{3sqrt[24]{a}}=frac{15sqrt[24]{a}}{3sqrt[24]{a}}=5$$

Задание 7

Ответ: 2

Скрыть

Так как дан график производной, то точки минимума функции — точки пересечения оси $$Ox$$ с нижней полуплоскости на верхнюю:

$$x=3;16Rightarrow 2$$ шт.

Задание 8

Ответ: 2,2

Скрыть

$$40−5t^2geq15,8​$$

$$​−2,2leq tleq2,2​$$

Т.к $$​tgeq0​,$$ то сосулька будет находится на высоте не менее 15,8 в течении 2,2 секунд

Задание 9

Из пункта А в пункт В одновременно выезжают два велосипедиста. Через 4 часа первый велосипедист отстал от второго на 2/5 расстояния от А до В. За сколько часов проедет расстояние от А до В первый велосипедист, если второму на это требуется на 1 час 40 мин меньше?

Ответ: 5

Скрыть

Пусть скорость первого х км в час, скорость второго у км в час.

S км – весь путь.

$$left{begin{matrix} 4y-4x=frac{2}{5}S\ frac{S}{x}-frac{S}{y}=frac{5}{3} end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} S=10y-10x\ Scdotfrac{y-x}{xy}=frac{5}{3} end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} S=10y-10x\ 3S(y-x)=5xy end{matrix}right.$$

$$3cdot(10y-10x)(y-x)=5xy$$ $$|:5$$

$$6(y-x)cdot(y-x)=xy$$

$$6x^2-13xy+6y^2=0$$

$$D=169y^2-4cdot6cdot6y^2=25y^2$$

$$x_1=frac{8y}{12}$$ или $$x_2=frac{18y}{12}$$

$$x_1=frac{2y}{3}$$ или $$x_2=frac{3y}{2}$$

$$x_2$$ говорит о том, что скорость первого больше скорости второго, это не удовлетворяет смыслу задачи, первый не отстанет.

при $$x=frac{2y}{3}Rightarrow y=frac{3}{2}x$$

$$S=10cdot(y-x)$$

$$S=10cdot(frac{3}{2}x-x)$$

$$S=10cdot0,5xRightarrow S=5x$$

$$frac{S}{x}=5$$

Задание 10

Ответ: 11

Скрыть

График проходит через $$(-3;1)$$ и $$(-1;2).$$

Получим: $$left{begin{matrix} 1=log_a(b-3)\ 2=log_a(b-1) end{matrix}right.Rightarrowleft{begin{matrix} a=b-3\ a^2=b-1 end{matrix}right.$$

$$(b-3)^2=b-1Rightarrow b^2-6b+9=b-1Rightarrow b^2-7b+10=0Rightarrowleft[begin{matrix} b=2\ b=5 end{matrix}right.$$

При $$b=2$$ имеем $$b-3<0Rightarrow$$ посторонний

При $$b=5$$: $$a=5-3=2$$

Получим $$f(x)=log_2(x+5)=4Rightarrow x+5=16Rightarrow x=11$$

Задание 11

Ответ: 7

Скрыть

$$y’=(x+frac{8}{x^4})’=1-frac{32}{x^5}=0Rightarrowfrac{x^5-32}{x^5=0}Rightarrowleft{begin{matrix} x^5=32\ xneq0 end{matrix}right.Rightarrowleft{begin{matrix} x=2\ xneq0 end{matrix}right.$$

$$f'(-1)=1+frac{32}{1}=33>0Rightarrow$$ на $$[-2;-1]$$ функция возрастает и $$max(f(x))=f(-1)=-1+frac{8}{(-1)^4}=7$$

А) Решите уравнение $$(1-cos 2x)cdotsin 2x=sqrt{3}cdotsin^2 x$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-pi;frac{pi}{3}]$$

На ребре CD куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ отмечена точка R так, что DR=10. Ребро куба равно 30. На ребре $$B_1C_1$$ отмечена точка L так, что $$B_1L=15.$$ Плоскость ALR пересекает ребро $$СС_1$$ в точке Q.

А) Докажите, что $$CQ:QC_1=4:1$$

Б) Найдите расстояние от точки С до плоскости ALR.

Задание 15

Предприниматель взял в банке кредит. Банк увеличивает долг предпринимателя ежегодно на p процентов ( p < 40%). Через год его долг увеличился на З0 тыс. руб.
Предприниматель вернул часть долга так, что остался должен банку половину первоначального долга, а ещё через два года его долг составил 108 тыс. руб. Найти годовую процентную ставку, по которой банк ежегодно увеличивал долг.

Ответ: 20

Скрыть

Пусть сумма кредита равна S тыс. руб., а $$k=1+frac{p}{100},$$  тогда через год долг станет равен kS тыс. руб. или S+30 тыс. руб. Приравняем эти значения и выразим S:

$$kS=S+30Leftrightarrow kS-S=30Leftrightarrow S(k-1)=30Leftrightarrow S=frac{30}{k-1}.$$

После возврата части долга, долг стал равен $$frac{S}{2}$$ тыс. руб., а еще через два года $$frac{Sk^2}{2}$$ тыс. руб. или 108 тыс. руб. Приравняем эти значения, подставим $$S=frac{30}{k-1},$$ получим уравнение на k:

$$frac{30k^2}{k-1}=108Leftrightarrowfrac{k^2}{k-1}=7,2Leftrightarrow k^2-7,2k+7,2=0Leftrightarrowleft[begin{matrix} k=1,2,\ k=6 end{matrix}right.$$

По условию, $$p<40,$$ тогда $$k<1,4.$$ Значит, $$k=1,2,$$ откуда получаем

$$1+frac{p}{100}=1,2Leftrightarrow p=20.$$

Дан остроугольный треугольник АВС. Биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М, а биссектриса внутреннего угла при вершине С пересекает биссектрису внешнего угла при вершине В в точке N.

А) Докажите, что $$angle NМВ = angle NСА.$$

Б) Найдите СN, если АВ = АС = 10, ВС = 16.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых для функции $$f(x)=x^2-4ax+a^2$$ уравнение $$f(f(x))=0$$ имеет ровно 4 решения.

Целочисленным треугольником называется треугольник, длины сторон которого равны целым числам.

А) Найдите все целочисленные прямоугольные треугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию;

Б) Существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники в которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины прямого угла, образуют арифметическую прогрессию?

В) Найдите все целочисленные прямоугольные треугольники, у которых площадь численно равна периметру.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Друзья! Мы хотим стать лучше и нам нужна ваша помощь. Пожалуйста, пройдите опрос — https://forms.gle/cWdAXprVfAHEtE4o7
Он поможет нам скорректировать нашу работу и создавать для вас еще более качественный контент. В качестве благодарности мы в течение недели вышлем вам на почту наши уникальные файлы: методичку по параметрам и методичку по методу рационализации. Ссылка на вариант — http://alexlarin.net/ege/2023/trvar400.html
Купить курс — https://profimatika.ru/ege2023
Больше полезного контента: VK: https://vk.com/profimatika
Telegram: https://t.me/profimatika
TikTok: https://vm.tiktok.com/ZSenxy5bb/
Канал ОГЭ: https://www.youtube.com/channel/UCgad…
Telegram ОГЭ: https://t.me/oge_profimatika
Тайм-коды видео: 00:00 — Введение 07:40 — Задача №1 11:17 — Задача №2 22:31 — Задача №3 24:25 — Задача №4 28:51 — Задача №5 31:38 — Задача №6 34:34 — Задача №7 38:25 — Задача №8 43:16 — Задача №9 53:54 — Задача №10 57:45 — Задача №11 1:01:11 — Задача №12 1:11:49 — Задача №13 1:34:03 — Задача №14 1:43:28 — Задача №15 1:57:00 — Задача №16 2:15:32 — Задача №17 2:24:31 — Задача №18 #егэ #математикаегэ #ЕГЭ2023 #математика #тригонометрия #профильнаяматематика#математикапрофильегэ #математикапрофиль2023