Ларин егэ 191

Задание 1

Аспирант Егор планирует распечатать автореферат диссертации объемом 28 страниц. Известно, что из одного листа бумаги формата А4 получается 4 печатные страницы. Какое наименьшее количество пачек бумаги формата А4 должен купить Егор, чтобы ее хватило на распечатывание 150 экземпляров автореферата? Известно, что в одной пачке бумаги содержится 500 листов.

Ответ: 3

Скрыть

1. 150 экземпляров в страницах : 150 * 28 = 4200
2. В страницах А4 : 4200 / 4 = 1050
3. В пачках бумаги: 1050 / 500 = 2.1
4. Округлим до большего: 3

Задание 2

Ответ: -7

Скрыть

Нам необходимо 27 апреля. Находим на графике эту дату( выделена желтым) и затем находим наименьшуюю температуру. Цена деления шкалы равна 1, поэтому температура будет -7

Задание 3

Ответ: 9,5

Скрыть

Для того, чтобы найти площадь, поместим треугольник в квадрат. Найдем площадь данного квадрата и вычтем из нее площади прямоугольных треугольников( отмечены галочками). Площадь квадрата — сторона на сторону. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения его катетов.

5*4 – 0,5*1*5 – 0,5 *3*4 – 0,5 * 4*1 = 9,5

Задание 4

Вероятность, что два случайно взятых лотерейных билета окажутся выигрышными, составляет 0,04. Какова вероятность, что хотя бы один из двух билетов окажется выигрышным?

Ответ: 0,36

Скрыть

Пусть P — вероятность выигрышного билета. Так как билеты одинаковые, то и вероятности у них одинаковые. Следовательно, вероятность двух выигрышных билетов вычисляется как: P * P = 0.04. Отсюда найдем P = 0.2 — вероятность найти выиграшный билет. Следовательно, вероятность получить невыигрышный : 1-0,2=0,8. Тогда вероятность получить два невыигрышный: 0,8*0,8=0,64. Следовательно, вероятность получить хотя бы один выигрышный: 1-0,64=0,36 

Задание 5

Решите уравнение $$ sqrt{-x^{2}}=x-x^{2} $$ .Если корней несколько, то в ответе укажите больший корень.

Ответ: 0

Скрыть

$$ sqrt{-x^2}=x-x^2 $$ $$ -x^2=x^2-2x^3+x^4 $$ $$ 2x^2-2x^3+x^4=0 $$ $$ x^2left(2-2x+x^2right)=0 $$ $$ x=0 $$ или $$ 2-2x+x^2 = 0 $$ у него решений нет

Задание 6

Ответ: 4,5

Скрыть

AB = BC / cos B = 6 * 3 / 2 = 9 Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Получаем 9 / 2 = 4,5

Задание 7

Ответ: 4

Скрыть

Задание 8

Ответ: 20

Скрыть

Рассмотрим новое основание. Оно представляет из себя пятиугольник. Площадь этого пятиугольника составляет 5/6 от площади шестиугольника, поэтому: площадь основания нового: 12 * 5/6=10

Объем пирамиды вычисляется как одна третья основания на высоту: объем = 1/3 * 6*10 = 20

Задание 9

Найдите значение выражения $$log^{3}_{sqrt{3}}{{frac{1}{3}}^3}$$

Ответ: -216

Скрыть

Рассмотрим сам логарифм: $$ log_{sqrt{3}}{{frac{1}{3}}^3}=log_{3^{1/2}}{3^{-3}}=frac{1}{frac{1}{2}}*left(-3right)log_33=-6 $$ Так как он был в третьей степени, то возведем -6 в нее и получим -216

Задание 10

Расстояние h(t) =gt²/2, пройденное свободно падающим телом, вычисляется по формуле:  где g = 10 м/с² (ускорение свободного падения), t – время в секундах. На каком расстоянии от земли (в метрах) будет находиться тело, падающее с высоты 100 м, через 4 с после начала падения?

Ответ: 20

Скрыть

Найдем расстояние, пройденное телом за 4 секунды : $$ frac {10*4^{2}}{2} = 80 $$ Получается, что расстояние до земли будет : 100 — 80 = 20

Задание 11

Барсик съедает миску корма за 40 секунд, а Мурка такую же миску корма съедает за 1 минуту. Утром к миске с кормом подошел Барсик и начал есть, а через 10 секунд к этой же миске прибежала Мурка и стала помогать Барсику. Спустя 10 секунд после этого Мурка прогнала Барсика и продолжила доедать корм одна. Определите, за какое время была съедена миска корма? Ответ дайте в секундах.

Ответ: 40

Скрыть

Пусть скорость поедания Барсиком V₁ , а Муркой V₂. Учтем, что 40 секунд = 2/3 минуты, а всю миску примем за 1. Тогда V₁=1/(2/3)=1,5 миски/минута, а  V₂=1/1=1 миски/минуты. Барсик ел 10 секунд, то есть 1/6 минуты один, потом столько же с Муркой, следовательно на пару они съели: $$ 1.5*frac{1}{6}+left(1.5+1right)*frac{1}{6}=frac{2}{3} $$миски Оставшуюся часть Мурка ела одна и затратила на это $$ frac{1-frac{2}{3}}{1}=frac{1}{3} $$ минуты , то есть 20 секунд Следовательно, общее время: 10 + 10 + 20 = 40 секунд

Задание 12

Найти наибольшее значение функции  f(x) = cos πx — 6x на отрезке [-2/3 ; 1]

Ответ: 3.5

Скрыть

Производная данной функции равна: $$ f^{‘}left(xright)=-pi{}*sin{pi{}x}-6 $$ С учетом того, что sin x принадлежит промежутку [-1;1], данная производная имеет максимальное значение -π*(-1)-6=π-6. Данное значение отрицательное, значит функция убывает на всей области определения. Значит ее максимальное значение в начале промежутка. $$ fleft(-2/3right)=cos{pi{}(-frac{2}{3})}-6*left(-frac{2}{3}right)=-0.5+4=3.5 $$

Задание 13

Ответ: А) $$frac{pi}{4}+2pi n;frac{3pi}{4}+2pi m,n,min Z$$ Б) $$frac{11pi}{4}$$

Скрыть

$$ sqrt{1-sin ^{2}x}=sin x Leftrightarrow left{begin{matrix}sqrt{1-sin ^{2}x}geq 0\ sin xgeq 0\ 1-sin ^{2}x=sin ^{2} xend{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-sin ^{2}xgeq 0\ sin xgeq 0\ 1-sin ^{2}x=sin ^{2} xend{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix}sin ^2 xleq 1\ sin xgeq 0\ 1=2sin ^{2} xend{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix}sin ^{2}xleq 1\ sin xgeq 0\ sin x = pm frac{sqrt{2}}{2}end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow sin x = frac{sqrt{2}}{2}$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix} x=frac{pi}{4}+2pi n , nin Z\ x=frac{3pi}{4}+2pi n nin Zend{matrix}right.$$

Дана правильная шестиугольная призма $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$

а) Докажите, что прямые $$CF$$ и $$AE_{1}$$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $$CF$$ и $$AE_{1}$$, если $$AA_{1}=8, AB=2sqrt{3}$$ .

Дан правильный шестиугольник $$ABCDEF$$. Точка $$P$$ – середина стороны $$AF$$, точка $$K$$ – середина стороны $$AB$$.

а) Докажите, что площади четырехугольников $$DPFE$$ и $$DPAK$$ равны.

б) Найдите площадь общей части четырехугольников $$DPAK$$ и $$DEAC$$, если известно, что $$AB=6$$.

1 апреля 2017 года Иван Арнольдович открыл в банке счёт «Управляй», вложив 1 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.

1 апреля 2018 года и 1 апреля 2019 года Иван Арнольдович решил пополнять счёт на n тысяч рублей (n – целое число).

1 апреля 2020 года Иван Арнольдович планирует снять со своего счета все набежавшие к тому времени проценты.

1 апреля 2021 года Иван Арнольдович собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.

Найдите наименьшее значение п, при котором доход Ивана Арнольдовича от вложений в банк за эти 4 года окажется не менее 500 тыс. рублей.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$$(ax-a-2)((ax-a-2)^2+1)=frac{(a-10x)((a-10x)^2+(x-1)^2)}{(x-1)^3}$$

имеет ровно два различных действительных корня.

Дана последовательность $$(a_{n})$$: $$a_{n}=n(n+1)+25$$.

а) Докажите, что при любом натуральном $$n$$ верно равенство $$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2$$.

б) Определите, сколько четырехзначных чисел содержит эта последовательность.

в) Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными квадратами.