А. Ларин: Тренировочный вариант № 214.
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 4, СС1 = 8. Точка К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP : PD1 = 3 : 5.
а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ1.
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
Решите неравенство: 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.
а) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ∙АС.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма текущего долга увеличивалась на 10%, а в конце года производился платёж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928 200 руб. На сколько лет был взят кредит?
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
6
Найдите все а, при каждом из которых неравенство 
имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого укажите эти решения.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
7
В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков.
а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист
из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
По следам задачи 13 тренировочного варианта № 214 А.А. Ларина
Автору задачки респект!
По моему твердому убеждению задача имеет исключительно важное практическое значение.
При ее решении, кроме метода оценки левой и правой частей уравнения (или только левой части), могут быть также активно использованы такие теоретические положения, как:
свойство монотонной функции принимать какое-то значение не более одного раза;
теорема о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке;
теорема о корне.
Не так легко подобрать пример (задачу), которая позволила бы использование всех свойств функций, перечисленных выше.
Задачу увидел в субботу утром перед выездом в г. Москву к своим ученикам. Решал, как и всегда, в электричке именно тем путем, какой выкладываю здесь.
Вечером увидел весьма краткий и эффективный метод, использованный Еленой Ильиничной 
.
А в воскресенье со своим 11-классником полностью разобрали путь, изложенный здесь и только потом ученика своего «подтолкнул» к рассмотрению исключительно короткого пути для достижения поставленной цели (с использованием только лишь ограниченности функции косинус).
Спасибо всем авторам! Данная задача в моей практике будет использована ежегодно, в удобном месте и в удобное время.
3 декабря 2017
В закладки
Обсудить
Жалоба
Подробный разбор нового варианта профильной математики.
Вариант 214: trvar214.pdf