Задание 1
К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсечных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Ответ: 24
Скрыть
$$P_{Delta MNC}=6$$
$$P_{Delta FEB}=8$$
$$P_{Delta AKG}=10$$
$$P_{Delta ABC}=P_{Delta MNC}+P_{Delta FEB}+P_{Delta AKG}$$
$$P_{Delta ABC}=6+8+10=24$$
Задание 2
Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Ответ: 25
Скрыть
Площадь поверхности шара определяется формулой:
$$S=4pi R^2$$
Соответственно, получаем суммарную площадь поверхности, равную:
$$S=4pi7^2+4pi24^2=4cdot625pi$$
Здесь число $$625=R^2_{Sigma}$$ — квадрат радиуса шара, у которого площадь поверхности будет равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров. Имеем:
$$R_{Sigma}=sqrt{625}=25$$
Задание 3
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее число раз стрелок должен выстрелить по мишени, чтобы поразить её с вероятностью не менее 0,4?
Ответ: 3
Скрыть
Эту задачу проще решать от обратного и вычислять вероятность промаха цели при одном, двух, трех и т.д. числу выстрелов. А, затем, взять противоположную вероятность, которая будет определять поражение цели. Имеем:
— 1 выстрел. Вероятность промаха: $$P=1-0,2$$, вероятность попадания: $$1-P=0,2$$;
— 2 выстрела. Вероятность промаха: $$P=(1-0,2)^2$$, вероятность попадания: $$1-P=0,36$$;
— 3 выстрела. Вероятность промаха: $$P=(1-0,2)^3$$, вероятность попадания: $$1-P=0,488$$.
То есть, стрелку нужно сделать 3 выстрела (минимум).
Задание 4
На диаграмме Эйлера показаны события А и В в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновозможных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите Р(В|А) — условную вероятность события В при условии А.
Ответ: 0,6
Скрыть
$$P(B|A)=frac{P(BA)}{P(A)}$$ – по определению
$$P(A)=frac{5}{10}$$ (всего 10 точек, 5 точек лежат в левом круге, т.е. принадлежат событию А)
$$P(BA)=frac{3}{10}$$ (всего 3 точки принадлежат пересечению двух кругов)
$$P(B|A)=frac{frac{3}{10}}{frac{5}{10}}=frac{3}{5}=0,6$$
Задание 5
Решите уравнение $$sqrt{frac{20+x}{x}}+sqrt{frac{20-x}{x}}=sqrt{6}$$
Ответ: 12
Скрыть
$$sqrt{frac{20+x}{x}}+sqrt{frac{20-x}{x}}=sqrt{6}Leftrightarrowsqrt{frac{20}{x}+1}+sqrt{frac{20}{x}-1}=sqrt{6}$$.
Пусть $$frac{20}{x}=t: sqrt{t+1}+sqrt{t-1}=sqrt{6}Rightarrow t+1+2sqrt{t^2-1}+t-1=6Rightarrow$$
$$Rightarrow2t+2sqrt{t^2-1}=6Rightarrowsqrt{t^2-1}=3-tRightarrow t^2-1=9-6t+t^2Rightarrow$$
$$Rightarrow 6t=10Rightarrow t=frac{5}{3}$$.
Обратная замена: $$frac{20}{x}=frac{5}{3}Rightarrow x=12$$.
ОДЗ не писали, выполнили проверку, так проще.
Задание 6
Найдите значение выражения $$(frac{c}{2d^2})^{-6}:frac{d^{18}}{c^6}$$ при $$c = -1,3, d = sqrt{2}$$
Ответ: 8
Скрыть
$$(frac{c}{2d^2})^{-6}:frac{d^{18}}{c^6}=frac{c^{-6}cdot c^6}{2^{-6}d^{-12}cdot d^{18}}=frac{2^6}{d^6}=frac{2^6}{sqrt{2}^6}=sqrt{2}^6=8$$.
Задание 7
Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите $$f(2)$$.
Ответ: 1,5
Скрыть
Достроим прямоугольный треугольник, вычислим тангенс угла:
$$tgalpha=frac{3}{2}=1,5$$
Задание 8
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $$v = 5$$ м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $$u = frac{m}{m+M}cdot vcdotcosalpha$$ м/с, где $$m = 70$$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $$M = 430$$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $$alpha$$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,35 м/с?
Ответ: 60
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 9
Моторная лодка проплыла по озеру, а потом поднялась вверх по реке, впадающей в озеро. Скорость движения лодки по озеру на 4% больше, чем скорость движения лодки вверх по реке, а время движения по озеру оказалось на 15% больше времени движения лодки по реке. На сколько процентов путь по озеру больше пути по реке?
Ответ: 19,6
Скрыть
Пусть $$V$$ — скорость движения вверх по реке, тогда $$1,04V$$ — по озеру.
Пусть $$t$$ — время по реке, тогда $$1,15t$$ — по озеру.
Получим:
$$S_1=Vt$$ — расстояние по реке
$$S_2=1,04Vcdot1,15t=1,196Vt=1,196S_1$$ — по озеру $$Rightarrow$$ на $$19,6%$$
Задание 10
На рисунке изображены графики функций $$f(x)=-2x^2+7x-2$$ и $$g(x)=ax^2+bx+c$$, которые пересекаются в точках А и В. Найдите ординату точки В.
Ответ: -17
Скрыть
Правый график уже, значит модуль коэффициента при $$x^2$$ у него больше, т.е. это $$f(x).$$
$$g(x)$$ проходит через $$(0;3),$$ значит $$c=3$$ и через $$(-1;1)$$ и $$(1;3).$$ Тогда:
$$left{begin{matrix} 1=acdot(-1)^2+bcdot(-1)+3\ 3=acdot1^2+bcdot1+3 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} -2=a-b\ 0=a+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2a=-2\ 2b=2 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a=-1\ b=1 end{matrix}right.$$
Получили $$g(x)=-x^2+x+3.$$ Тогда:
$$-2x^2+7x-2=-x^2+x+3Rightarrow x^2-6x+5=0Rightarrowleft[begin{matrix} x=1\ x=5 end{matrix}right.$$
Тогда $$B_x=5$$
$$g(5)=-5^2+5+3=-25+8=-17$$
Задание 11
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=cos^{2}x+sin x$$ на отрезке $$[0;frac{pi}{4}]$$.
Ответ: 1,25
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 12
А) Решите уравнение $$sqrt{2}sin2xcdotsin(x-frac{pi}{4})=2sinfrac{3pi}{4}$$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3pi;5pi]$$
Ответ: А)$$-frac{pi}{4}+2pi n,nin Z$$ Б)$$-frac{9pi}{4};-frac{pi}{4};frac{7pi}{4};frac{15pi}{4}$$
Задание 13
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно $$5sqrt{3}$$. На ребре DD1 отмечена точка М так, что DM:MD1=2:3. Плоскость $$alpha$$ параллельна прямой A1F1 и проходит через точки М и B.
A) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью $$alpha$$ — равнобедренная трапеция.
Б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка А1, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью $$alpha$$.
Ответ: 189
Задание 14
Решите неравенство: $$log_{1-log_3 x}(1+log_x^2 3)leq1$$
Ответ: $$(0;frac{1}{3}],(1;3)$$
Задание 15
Банк выдаёт кредиты только под 20% годовых при условии погашения кредита ежегодными равными платежами (кредиты с аннуитетными платежами). Предприниматель взял в кредит некую сумму S на целое число лет. Через некоторое целое число лет после исполнения очередного платежа он обнаружил, что уже выплатил банку сумму, большую S. При этом сумма оставшихся причитающихся платежей также больше S. Найдите минимальный срок, на который предприниматель мог взять кредит.
Ответ: 8
Задание 16
В квадрате ABCD точки Р и Q — середины сторон АВ и ВС соответственно. Отрезки СР и DQ пересекаются в точке F.
A) Докажите, что $$angle$$BFP = 45°.
Б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВЕ, если АВ = $$2sqrt{7}$$.
Ответ: $$frac{sqrt{70}}{3}$$
Задание 17
Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых неравенство
$$log_{frac{1}{a}}^2(ax)-log_a xleq7$$
имеет решения, каждое из которых не принадлежит отрезку [2;8]
Ответ: $$(frac{1}{sqrt[3]{2}};1),(1;sqrt{2})$$
Задание 18
Обозначим через $$s(n)$$ сумму цифр числа $$n$$, через $$a(n)$$ сумму квадратов цифр числа $$n$$.
А) Может ли $$a(n)$$ быть в 12 раз больше, чем $$s(n)$$?
Б) У каких натуральных чисел $$n$$ число $$a(n)$$ в 9 раз больше, чем $$5(n)$$?
В) Возьмем любое натуральное число $$m$$ и составим бесконечную последовательность $$left{x_n,ngeq1right}$$ следующим образом: $$x_1 = m$$ и $$x_{n+1} = a(x_n)$$ для всех $$ngeq1$$. При каких $$m$$ множество значений этой последовательности конечно?
Ответ: А) нет, Б) $$n$$ состоит из 9 и 0, В) $$min N$$
30
Ноя 2017
Категория: 15 (С4) Практич. задачиТ/P A. Ларина
2017-11-30
2017-11-28
Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.
17. 1 июня планируется в банке взять в кредит некоторую сумму денег на срок 
месяцев. Условия возврата таковы:
— 15 числа каждого месяца долг возрастает на 
% ( – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;
— с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.
Найдите наименьшую возможную ставку , если известно, что за вторую половину года было выплачено более, чем на 
% меньше, нежели за первую половину.
Решение:
Пусть сумма кредита – 
Так как долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем, то каждый раз выплата будет состоять из суммы двух величин –
1-я – 
и
2-я – процентов от остатка долга.
Рассмотрим выплаты 
за первую половину года:
Рассмотрим выплаты 
за вторую половину года:
Так как известно, что за вторую половину года было выплачено более, чем на % меньше, нежели за первую половину, то
Наименьшее целое 
отвечающее неравенству – это 
Ответ:
Автор: egeMax |
Нет комментариев
Перейти к контенту
Условие
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4 200 000 рублей;
- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r , если долг выплачен полностью в 2021 году и общие выплаты составили 6 100 000 рублей.
Решение
Каждый январь долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего года, следовательно сумма долга каждый январь умножается на величину (1 + r/100).
Введем новую переменную: t = (1 + r/100).
Пусть выплаты в июле 2017, 2018, и 2019 годов составили по млн. рублей. После начисления процентов и выплаты млн. рублей долг остается равным 4,2 млн. руб.
Получаем первое уравнение:
4.2t + x = 4.2.
— все три года ситуация повторяется.
Пусть выплаты в июле 2020 и 2021 годов составили по Y млн. рублей. Долг возвращен полностью за 2 года.
Получаем второе уравнение:
(4.2t — y)t — y = 0.
Всего было произведено 5 выплат: 3 раза по x млн. рублей и 2 раза по y млн. рублей, что в сумме составило 6,1 млн. руб.
Получаем третье уравнение:
3x + 2y = 6.1.
Нам надо решить систему уравнений:
Нас интересует положительное значение t
t = (6.1+40.1)/42 = 1.1
1 + r/100 = 1.1
r = 10.
Ответ: 10.
Вариант №405 Алекса Ларина ЕГЭ 2023 по математике профильный уровень 11 класс с ответами и решением, а также полным видео разбором, который опубликован на сайте 5 ноября 2022 года, по новой демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ.
вариант-405-ларин-егэ2023
Видео решение заданий вариант 405 Ларин ЕГЭ 2023
1. Диагональ АС параллелограмма АВСD равна 21, а расстояние от вершины В до этой диагонали равно 12. Найдите площадь параллелограмма.
3. Вероятность того, что мобильный телефон выйдет из строя в течение первого года службы, равна 0,2. Если телефон проработал какое‐то время, то вероятность его поломки в течение следующего года не меняется – она по‐прежнему равна 0,2. Найдите вероятность того, что такой новый телефон сломается, не прослужив трех полных лет после покупки.
4. В походе будут нужны 6 батареек для фонарей. Считая, что каждая батарейка может оказаться неисправной с вероятностью 0,02, определите, сколько батареек нужно взять, чтобы среди них оказалось хотя бы 6 исправных с вероятностью 0,95 или выше.
9. Из А в В вышла машина с почтой. Через 20 минут по тому же маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45 км/ч. Догнав первую машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью (время, затраченное на остановку и разворот, не учитывается). В тот момент, когда первая машина прибыла в В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи ее с первой машиной до пункта А. Найдите скорость первой машины (в км/ч), если расстояние между А и В равно 40 км.
15. В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях: – в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая – может быть разным для разных годов); – в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью. В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором – 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита (в млн рублей), если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.
16. В четырехугольнике АВСD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О. А) Докажите, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, если АС = 10, BD = 26.
18. Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n . А) Может ли n равняться 68? Б) Может ли равняться 86? n В) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
Ответы для варианта
Варианты Ященко ЕГЭ 2023 по математике
Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Вклады и кредиты
Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.
Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.
С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).
Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:
• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);
• выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);
• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;
• решение полученного уравнения, неравенства или системы;
• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.
Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.
На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.
Далее переходим к изучению «Сложных процентов».
Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.
Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.
Формула вычисления сложных процентов:
(начисление процентов к исходной сумме)
или 
(списание процентов)
Где S— размер первоначального вклада;
– размер вклада через n лет;
r — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.
Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.
Решение экономической задачи целесообразно начинать:
1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)
2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!
Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.
Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.
И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!
1. Задачи на «сложные» проценты.
1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?
Решение.
S– вклад, S= 500 000 рублей,
r=20% — процент годовых по вкладу,
– «накапливающий» множитель, m=1,2
|
Год |
Сумма на счете в начале года |
Сумма на счете после начисления % |
Платеж |
Остаток на счете в конце года |
|
1 |
S |
Sm |
x |
Sm+x |
|
2 |
Sm+x |
Sm2+xm |
x |
Sm2+xm+x |
|
3 |
Sm2+xm+x |
Sm3+xm2+xm |
x |
Sm3+xm2+xm+x |
|
4 |
Sm3+xm2+xm+x |
Sm4+xm3+xm2+xm |
— |
Sm4+xm3+xm2+xm |
Можно использовать формулы:
Парная задача
1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?
Ответ: 25000 рублей.
2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.
Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.
2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;
– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.
Решение.
S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,
r=20% — процент годовых по вкладу,
– «накапливающий» множитель, m=1,2
x рублей- ежегодная выплата,
|
Год |
Сумма на счете в начале года |
Сумма на счете после начисления % |
Платеж |
Остаток на счете в конце года |
|
1 |
S |
Sm |
x |
Sm-x |
|
2 |
Sm—x |
Sm2—xm |
x |
Sm2-xm-x |
|
3 |
Sm2—xm—x |
Sm3—xm2—xm |
x |
Sm3-xm2-xm-x |
|
4 |
Sm3—xm2—xm—x |
Sm4—xm3—xm2—xm |
x |
Sm4-xm3—xm2-xm-x |
Sk=4x;
Кредит был погашен за 4 года, значит:
Ответ: 201 300 рублей.
3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.
Основные характеристики дифференцированного платежа
1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
3. Дифференцированный платеж равен 
, где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;
4. Первый платеж самый большой;
5. Последний платеж самый маленький.
При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.
3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение.
S–сумма кредита,
r=1% — ежемесячный процент по вкладу,
n=24 – срок кредитования
|
Месяц |
Сумма на счете в начале месяца |
Погашение % по вкладу |
Погашение тела кредита |
Общие ежемесячные выплаты |
Остаток на счете в конце месяца |
|
1 год |
|||||
|
1 |
S |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
…. |
… |
… |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2 год |
|||||
|
13 |
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
24 |
|
|
|
|
|
Выплаты за 2 год
Выплаты за 1 год
Ответ:1 066 500 рублей.
4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).
4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
|
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
15.04 |
15.05 |
15.06 |
15.07 |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0.6 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.
Решение.
r% — ежемесячный процент по вкладу,
– «накапливающий» множитель,
|
Месяц |
Сумма на счете в начале месяца |
Сумма на счете после начисления % |
Платеж |
Остаток на счете в конце месяца |
|
1 |
1 |
1m |
m-0.6 |
0.6 |
|
2 |
0,6 |
0.6m |
0.6m-0.4 |
0.4 |
|
3 |
0,4 |
0.4m |
0.4m-0.3 |
0.3 |
|
4 |
0,3 |
0.3m |
0.3m-0.2 |
0.2 |
|
5 |
0,2 |
0.2m |
0.2m-0.1 |
0.1 |
|
6 |
0,1 |
0.1m |
0.1m |
0 |
Общая сумма выплат равна
Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;
2.6m<1.2; m<
Ответ: 7%.
Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.
Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.
Использованная литература
1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.
М.: 2020. — 168 с.
2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.
4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.
3
. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т.
4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.
М.: 2018. — 208 с.
В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!
Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы:
- банковские задачи,
- на ценные бумаги,
- задачи на оптимальный выбор.
В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.
Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.
- Как работает процент по кредиту?
- На какую сумму начисляется?
- Из каких частей состоит платеж?
- Как уменьшается долг?
На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс!
Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.
С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике
Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:
- Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
- Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
- Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг.
Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.
Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.
Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.
Тип 1. Равные платежи
Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.
Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!
Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.
Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.
Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!
Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.
Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:
Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается.
По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:
Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!
Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.
Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.
Ответ: 10%.
Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:
Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.
Тип 2. Равномерно убывающий долг
В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.
Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:
Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:
Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:
Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:
Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:
Ответ: 1%.
И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.
Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке
Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг(в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.
Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:
Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.
Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.
«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:
Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.
Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:
Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.
Ответ: 5%.
Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.
Тип 4. Погашение кредита в два этапа.
По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше
В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?
И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.
Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.
Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.
Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:
Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:
Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.
Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:
Посчитаем эту сумму:
Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:
Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!
Ответ: 700 тысяч.
Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.
Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике
Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:
- Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
- Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
- Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
- Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.
Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.
За что дают баллы?
Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.
17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.
Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа.
Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:
А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.
Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.
Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.