Ларин 241 вариант егэ

Задание 1

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 2 раза в день в течение 19 дней. Лекарство выпускается в упаковках по 10 таблеток по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В день 0,5*2=1 гр. За 19 дней 1*19=19 гр. В пачке 10*0,5=5 гр. Кол-во упаковок : $$frac{19}{5}=3,8Rightarrow 4$$ пачки.

Задание 2

Ответ: 2330

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Выберем сторону, и проведем к ней высоту, тогда: $$S=frac{1}{2}*a*h=frac{1}{2}*1*2=1$$

Задание 4

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найти вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,0476

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Вероятность быть исправленной 1-0,04=0,96. Вероятность быть при этом быть заблокированной 0,96*0,01=0,0096. Вероятность заблокировать неисправную 0,04*0,95=0,038. Общая вероятность :0,038+0,0096=0,0476

Задание 5

Острые углы прямоугольного треугольника равны 84 и 6. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 39

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$angle MCB=frac{90}{2}=45.$$ $$Delta CHB: angle HCB=90-angle HBC=6$$ $$angle MCH=angle MCB-angle HCB=39$$

Задание 6

Ответ: -2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Значение производной есть тангенс угла между касательной, проведенной в заданную точку и осью Ох. Достроим $$Delta ABC$$ : $$tgangle ABC=frac{AC}{CB}=frac{2}{1}=2$$. Так как функция убывает, то значение производной будет отрицательное, то есть -2

Задание 7

Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см². Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см²

Ответ: 8

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=pi *R*l$$- площадь боковой поверхности конуса. Пусть $$R_{1}$$ и $$l_{1}$$ — радиус и образующая начального конуса , тогда $$S_{1} =pi*R_{1}*L_{1}$$, и $$R_{2}=frac{R_{1}}{4}$$; $$L_{2}=2L_{1}$$, где $$R_{2}$$ и $$L_{2}$$ –нового. $$S_{2}=pi *R_{2}*l_{2}=pi *frac{R_{1}}{4}*2*L_{1}=$$$$frac{1}{2}*pi *R_{1}*L_{1}=frac{1}{2}*S_{1}=frac{1}{2}*16=8$$

Задание 8

Найдите значение выражения $$log_{4} 11 cdot log_{11} 16$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$log_{4}11*log_{11}16= log_{4}11*log_{11}4^{2}=$$$$log_{4}11*2*log_{11}4=frac{2*log_{4}11}{log_{4}11}=2$$

Задание 9

Небольшой мячик бросают под острым углом $$alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H=frac{v_{0} ^{2}}{4g}(1-cos 2alpha)$$, где $$v_{0}=26$$ м/с ‐ начальная скорость мячика, а g ‐ускорение свободного падения (считайте g =10 ). При каком наименьшем значении угла $$alpha$$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 15,9 м на расстоянии 1 м?

Ответ: 45

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$H=frac{v_{o}^{2}}{4*g}*(1-cos2alpha )Rightarrow$$ $$1-cos2alpha =frac{4 *H*g}{v_{o}^{2}}Rightarrow$$ $$cos2alpha =1-frac{4*H*g}{v_{o}^{2}}$$. $$cos2alpha =1-frac{4*16,9*10}{26^{2}}=1-1=0$$ $$2alpha =90Rightarrow alpha =45$$.

Задание 10

Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Ответ: 40

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x-стоимость брюк ,y — рубашки ,z — пиджака: Выразим стоимость рубашки через стоимость брюк: 1)y-100% x-130% $$y=frac{100x}{130}$$. Выразим стоимость пиджака через стоимость брюк: 2) z-100% x-78% $$z=frac{100x}{78}$$ Выразим стоимость рубашки через стоимость пиджака: 3) $$frac{100x}{78}-100$$% $$frac{100x}{130}-a$$% $$A=frac{frac{100x}{130}*100}{frac{100x}{78}}=$$$$frac{100x*78}{130x}=60$$% Следовательно, так как стоимость рубашки составляет 60% от стоимость пиджака, то рубашка дешевле на 40%.

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции $$y=frac{2}{3}xsqrt{x}-12x+11$$ на отрезке [137;156]

Ответ: -565

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=frac{2}{3}*xsqrt{x}-12x+11=frac{2}{3}x^{frac{3}{2}}-12x+11$$

Найдем значение производной:

$$y’=frac{2}{3}*frac{3}{2}*x^{frac{1}{2}}-12=0$$

Найдем точки экстремума:

$$sqrt{x}-12=0Rightarrow x=144$$ — точка минимума (при х=9 y'<0, а при x=169 y’>0)

Найдем наименьшее значение на данном промежутке:

$$y(144)=frac{2}{3}*144*sqrt{144}-12*144+11=1152-1728+11=-565$$

Задание 12

Ответ: a)$$-frac{pi }{6}+pi *n, nin Z$$ б)$$-frac{7pi }{6};-frac{pi }{6};frac{5pi }{6}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)$$(1+tg^{2}x)*cos(frac{pi }{2}+2x)=frac{2}{sqrt{3}}$$

Найдем ограничения по х:

$$cos xneq 0Leftrightarrow x+frac{pi }{2}+pi *n, nin Z$$

Учтем, что $$1+tg^{2}x=frac{1}{cos^{2}x}$$ и $$cos(frac{pi }{2}+2x)=-sin 2x$$

$$frac{1}{cos^{2}x}*(-sin 2x)=frac{2}{sqrt{3}}$$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$$frac{-2*sin x*cos x}{cos^{2}x}=frac{2}{sqrt{3}}$$ $$-tgx=frac{1}{3}$$

$$tg x=-frac{sqrt{3}}{3}$$ $$x=-frac{pi }{6}+pi *n, nin Z$$

б)Отметим полученные корни в общем виде на окружности, а так же интервал, данный по условию (он включает в себя полностью всю окружность (синий цвет) и сектор во второй четверти (красный цвет))

Найдем корни, которые попадут в данный промежуток:

$$-pi -frac{pi }{6}=-frac{7pi }{6}$$

$$0-frac{pi }{6}=-frac{pi }{6}$$

$$pi -frac{pi }{6}=frac{5pi }{6}.$$

Задание 13

Ответ: 60

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) $$Delta A_{1}B_{1}C_{1}Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$

2) $$BC:MC=3:1Rightarrow BM :MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 Rightarrow Delta CNMsim Delta ABC$$ и $$NMleft | right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$

3) $$C_{1}L=CK, C_{1}Lleft | right | CK$$ и $$KH=frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=frac{2}{3}C_{1}L Rightarrow$$

$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$Rightarrow KO left | right | C_{1}H Rightarrow KO left | right | NMC_{1}$$

Б) 1) $$KO left | right | C_{1}H Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$

2) из $$Delta ABC: CK=CB*sin60=6sqrt{3}*frac{sqrt{3}}{2}=9$$.

$$CH=frac{1}{3}CK=3$$.

3) $$NM=frac{1}{3}AB=2sqrt{3}; C_{1}Hperp HMRightarrow C_{1}H=frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=frac{2*6sqrt{3}}{2sqrt{3}}=6$$.

4) $$cos angle C_{1}HC=frac{HC}{HC_{1}}=frac{3}{6}=frac{1}{2}$$. Тогда $$angle C_{1}HC=60^{circ}$$

Задание 14

Решите неравенство: $$frac{log_{9} x-log_{18} x}{log_{18} (2-x)-log_{36} (2-x)}=log_{36} 9$$

Ответ: $$xin (0;1)cup (1;2)$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$frac{log_{9}x-log_{18}x}{log_{18}(2-x)-log_{36}(2-x)}leq log_{36} 9$$

$$left{begin{matrix}x> 0 & \2-x> 0 \ log_{18} (2-x)-log_{36}(2-x)neq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x> 0 \x< 2 \2-xneq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x> 0 & \x< 2\xneq 1end{matrix}right.Leftrightarrow xin ( 0; 1)cup (1;2)$$

Рассмотрим промежутки по отдельности и воспользуемся свойствами логарифмических функций:

При $$xin (0; 1) : (a)log_{9}x-log_{18}x< 0$$, $$(b)log_{18}(2-x)-log_{36}(2-x)> 0Rightarrow$$ $$(f)frac{log_{9}x-log_{18}x}{log_{18}(2-x)-log_{36}(2-x)}< 0$$.

Аналогично $$xin (1;2) (a) > 0; (b) < 0Rightarrow f< 0$$, но $$log_{36}9 >0$$ при всех х из полученных промежутков, следовательно, неравенство выполняется в обоих случаях и  $$Rightarrow xin (0;1)cup (1;2)$$.

Задание 15

Ответ: 1,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1)Пусть BC не параллельна AD. Построим $$a left | right |AD ;acap AD=P$$; $$MKcap BP=L_{1}$$ и $$BL_{1}=L_{1}P$$ (свойство трапеции)

2) $$BL=LC; BL_{1}=L_{1}PRightarrow LL_{1}$$-средняя линия. $$Delta BCP$$ и $$LL_{1}left | right |PC$$ и $$LMleft | right |AC$$, но $$LMcap AC=KRightarrow BCleft | right |AP ABCD$$-трапеция.

б) 1) $$Delta BCKsim Delta AKDRightarrow frac{LK}{KM}=frac{BC}{AD}=frac{1}{3}$$ Пусть BC=x; AD=3x.

2)Т.к. окружность можно вписать ,то $$AD+BC=AB+CDRightarrow CD=4x-3$$

3) Из C проведем $$CQleft | right |AB(CQcap AD=Q)$$, $$CQ=AB=3 BC=AQ=xRightarrow QD=2x$$.

4)Из $$Delta ADC$$: $$cosangle D=frac{3x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}$$

Из $$Delta QDC$$: $$cosangle D=frac{(2x)^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2*2x*(4x-3)}$$

$$frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}=$$$$frac{4x^{2}+(4x-3)-9}{2*2x(4x-3)}Leftrightarrow$$$$frac{25x^{2}-24x-4}{3}=frac{20x^{2}-24x}{2}Leftrightarrow$$$$25x^{2}-24x-4=30x^{2}-36xLeftrightarrow$$$$5x^{2}-12x+4=0Leftrightarrow$$$$left [begin{matrix}x_{1}=2 & & \x_{2}=0,4 & &end{matrix}right.$$

Т. К. 4x-3> 0, то $$x_{2}$$ не подходит $$Rightarrow x=2$$, тогда BC=2 QD=4 CD=5.

5 ) Из $$Delta QCD: QC^{2}+QD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=CD^{2}Rightarrow Delta QCD$$- прямоугольный $$QCperp APRightarrow r=frac{1}{2}*QC=1,5$$.

Задание 16

Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Ответ: 2ую ; 305

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для равных платежей:

Пусть $$S=100000$$ (руб. ) − сумма, взятая в кредит;

$$n=4$$ − количество месяцев;

$$p=5$$% − банковский процент, тогда $$k=1,05=frac{21}{20}$$− коэффициент, на который в конце каждого месяца умножается оставшаяся сумма долга;

x (руб. ) − ежемесячный платёж.

Все преобразования с суммами долга занесём в таблицу:

По условию задачи через 4 месяца долг выплачен полностью, то есть:

$$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0Leftrightarrow$$$$Sk^{4}-x(k^{3}+k^{2}+k+1)=0$$

Учтем, что $$k^{n-1}+k^{n-2}+…+k+1=frac{k^{n}-1}{k-1}$$. Получим;

$$Sk^{4}-x*frac{k^{4}-1}{k-1}=0Rightarrow$$$$x=frac{Sk^{4}(k-1)}{k^{4}-1}=$$$$frac{10^{5}*(frac{21}{20})^{4}*(frac{21}{20}-1)}{(frac{21}{20})^{4}-1}=$$$$frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}$$

Вся сумма равна 4 платежам, то есть $$4*frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}approx 112805$$ рублей

Для равномерного погашения долга:

По условию задачи каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, равную 1000000:4 = 25000 (тыс. рублей), тогда оставшиеся суммы долга равны: 1000000; 75000; 50000 и 25000 (руб.) на начало каждого месяца кредитования соответственно. Каждый месяц Алексей выплачивает четверть суммы, взятой в кредит (фиксированная часть выплаты) + проценты, начисленные на оставшуюся на этот месяц сумму долга. Вся выплаченная банку сумма в этом случае составит: S₂ = 100000 + 0,05 ∙ (100000 + 75000 + 50000 + 25000) = 100000 + 0,05 ∙ 250000 = = 100000 + 12500 = 112500 (руб. )

Так как 112805>112500, то выгоднее вторая схема, на 112805-112500=305 рублей (приближенное значение с учетом расчетов)

Задание 17

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+8|x-5|+2sqrt{x^{2}-10x+29}=2a+|x-2a-5|$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a ^{2}+8left | x-5 right |+2sqrt{x^{2}-10x+29}=2a +left | x-2a -5 right |$$

Пусть x-5=y

$$a ^{2}+8left | y right |+2sqrt{y^{2}+4}=2a +left | y-2a right |$$

$$2sqrt{y^{2}+4}= 2a -a ^{2}-8left | y right |+left | y-2a right |$$

Рассмотрим обе части уравнения как отдельные функции g(y) и f(y):

$$g(y)=2sqrt{y^{2}+4}$$ — график данной функции — ветви параболы

При этом минимальное значение будет: $$g_{min}=g(0)=2sqrt{0+4}=4$$

Рассмотрим функцию f(y): так как там есть модуль и параметр, то будет несколько вариантов раскрытия:

$$f(g)=2a -a ^{2}-8left | y right |+left | y-2a right |$$ — кусочно-линейная функция

а)Пусть $$2a geq 0$$, тогда

1)$$yleq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ — синий цвет

2)$$yin (0 ; 2a )$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ — зеленый цвет

3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ — красный цвет

Схематичное изображение графика:

Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+left | -2a right |$$

б)Пусть $$2a < 0$$

1)$$yleq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$

2)$$yin (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$

3)$$ygeq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$

Схематичное изображение графика:

И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.

Тогда , чтобы были решения $$g_{min}leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):

Тогда:

$$4leq 2a -a ^{2}+left | -2a right |Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -left |- 2a right | +4leq 0$$

Расскроем модуль:

1)$$-2a geq 0Rightarrow a leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4leq 0Rightarrow a ^{2}+4leq 0Rightarrow$$ решений нет

2) $$-2a < 0Rightarrow a > 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a -2a +4leq 0Rightarrow (a -2)^{2}leq 0Rightarrow a =2$$

Задание 18

Ответ: да; 11; $$frac{6}{13}$$.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x–число мальчиков собакой, y- с кошкой, z-с кошкой и собакой. Тогда общее кол-во мальчиков: $$S_{1}=x+y-z$$ Тогда общее количество девочек: $$S_{2}=21-x-y+z$$ Пусть у всех девочек есть кошка и собака, тогда общее количество детей с собаками : $$x+21-x-y+z$$ и согласно условию : $$xleq frac{1}{4}(x+21-x-y+z)=frac{21}{4}-frac{1}{4}y+frac{1}{4}$$ детей с кошками $$y+21-x-y+z$$, и согласно условию: $$yleq frac{5}{11}(y+21-x-y+z)=frac{5*21}{11}-frac{5}{11}x+frac{5}{11}z$$ Сложим оба неравенства: $$x+yleq frac{21}{4}+frac{105}{11}+frac{1}{4}z+frac{5}{11}z-frac{1}{4}y-frac{5}{11}x|*44$$ $$44x+44yleq 21*11+105*4+11z+20z-11y-20x$$ $$64x+55yleq 651+31z$$ $$yleq frac{651+31z-64x}{55}(1).$$ Чем больше z, тем меньше x+y-z , тогда пусть z=0 , следовательно, $$yleq frac{651-64x}{55} , x,y in N$$ пусть x=3 , тогда $$yleq frac{651-3*64}{55}Rightarrow yleq 8,34(54)$$,пусть y=8 Проверим полученные значения: Всего собак: $$a=x+21-x-y=21-y=13$$ Всего кошек: $$b=y+21-x-y=21-x=21-3=18$$ Проверяем условие: $$xleq frac{1}{4}a=frac{1}{4}*13=frac{13}{4}$$ $$3leq frac{13}{4}$$- верно $$yleq frac{5}{11}b=frac{5}{11}*18=frac{90}{11};$$ $$9leq frac{90}{11}$$-верно Из неравенства 1: $$xin left [ 0; 10 right ]; yin (0 ;11]$$ Можно проверить все $$xin N$$ при $$xin [0; 10]$$ и найти y с учетом выполнения(1), но $$max(x+y)=11.$$ b) Пусть d –всего девочек,$$m_{1}$$ -число мальчиков с собаками,$$m_{2}$$ — с кошками, тогда доля девочек $$frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}rightarrow min (2)$$ C учетом условия задания: $$left{begin{matrix}m_{1}leq frac{1}{4}(m_{2}+d) & & \ m_{2}leq frac{5}{11}(m_{2}+d)& & end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$ left{begin{matrix}frac{3}{4}*m_{1}leq frac{1}{4}*d & & \ frac{6}{11}*m_{2}leq frac{5}{11}*d& & end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$ left{begin{matrix}3m_{1}leq d & & \6m_{2}leq 5d & & end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$ left{begin{matrix}frac{m_{1}}{d}=frac{1}{3} & & \ frac{m_{2}}{d}=frac{5}{6}& & end{matrix}right.$$ Сложим оба неравенства: $$frac{m_{1}}{d}+frac{m_{2}}{d}leq frac{7}{6}Leftrightarrow$$$$ frac{m_{1}+m_{2}}{d}leq frac{7}{6}$$ Рассмотрим выражение(2) $$frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=(frac{1}{m_{1}+frac{m_{2}}{2}+d})=(frac{1}{frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1});$$ Чем больше $$frac{m_{1}+m_{2}}{d}$$, тем меньше доля : $$frac{1}{frac{7}{6}+1}=frac{6}{13}$$ Ответ: да; 11; $$frac{6}{13}$$.